Лекция6-1 (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 1 часть)

Лекция 6ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙОпределение производнойПусть y = f (x) определена на множестве X.Рассмотрим xX и приращение независимой переменной x, такое, что(x + x)  X, (x – положительное или отрицательное число).y = f (x + x) - f (x) является приращением функции, соответствующимуказанному приращению x.Составим отношениеy f ( x  x)  f ( x)xxЭто отношение определено при всех x ≠ 0, достаточно малыхпо абсолютной величине.

Поскольку x фиксировано, отношение являетсяфункцией только x.Определение 6.1.Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношенияприращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при условии,что последнее стремится к нулю.Производную функции y = f (x) в точке x будем обозначать символомf '(x) илиy( x)y x' ( x)dy,dxdfdxyy ( x  x )  y ( x)y ( x)  lim limx  0 xx  0x'xdefОчевидно, что производнаяf x' ( x)представляет собою функцию,определенную на некотором множестве X1.Механический смысл производнойДопустим, что некоторая материальная точка M перемещается прямолинейно,а путь, пройденный этой точкой за время t, изменяется по закону s = s(t).Очевидно, что отношение'sопределяет среднюю скорость точки за время t,ts (t   t )  s (t )t  0tа производная s (t )  limесть мгновенная скорость точки в момент t.Физический смысл производной.Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическимивеличинами, то производная f (x) – скорость изменения величины yотносительно величины x .ПРИМЕРЫ.а) Пусть S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t.Тогда производная S  (t0) – скорость в момент времени t0.б) Пусть q = q(t) – количество электричества, протекающее черезпоперечное сечение проводника в момент времени t.Тогда q  (t0) – скорость изменения количества электричества вмомент времени t0, т.е.

сила тока в момент времени t0.в) Пусть m = m(x) – масса отрезка [a ; x].Тогда m  (x) – скорость изменения массы в точке x0, т.е. линейнаяплотность в точке x0.Производная от функции, описывающей закон движения материальнойточки, перемещающейся прямолинейно, определяет мгновенную скоростьэтой точки.ПримечаниеПроизводная может иметь смысл скорости и в том случае, когда функцияне определяет закона механического движения.Геометрический смысл производнойРассмотрим график функции y = f (x)yy  f (x )NMxВозьмем на нем точку M (x, y), где y = f (x), и близкую к ней, тоже лежащуюна кривой точку N (x + x, y + y).

Очевидно, чтоtg  y,xПри стремлении x к нулю точка N, оставаясь на кривой, будет неограниченноприближаться к точке M, а секущая MN будет разворачиваться и займетпредельное положение – станет касательной MK, которая образует угол с осью 0x.Производная f '(x) равна тангенсу угла a, образованного касательнойк кривой в точке M (x, f (x)) с положительным направлением оси 0x.Следовательно, существование производной связано с существованиемкасательной к кривой y = f (x), причем угловой коэффициент касательнойtg = f '(x) должен быть конечен (касательная не должна быть параллельна оси 0y):в этом случаеили23,2а тангенс такого угла равен бесконечности и при соответствующих x функцияf (x) не имеет производной.Односторонние производныеОпределение 6.2 (левосторонней производной)Левосторонней производной функции f (x) в точке xX,где X – область определения функции f (x), называется.yx 0 xx 0f' (x )  limОпределение 6.3 (правосторонней производной)Правосторонней производной функции f (x) в точке xX,где X – область определения функции f (x), называетсяyx 0 xx  0f' (x )  lim.Иногда левосторонняя производная обозначаетсяа правосторонняя –f ' ( x  0),f ' ( x  0)ПримечаниеПри определении производной функции y = f (x) в точке xспособ стремления приращения x к нулю предполагается произвольным.Поэтому ясно, что если у функции y = f (x) существует производная, тоf ' ( x )  f ' ( x )  f ' ( x )Пример 1.

Рассмотрим функцию y =x и вычислим ее односторонниепроизводные в точке x0 = 0.По определениюy x, x  0x  x , x  0 .21,Следовательно,210 12 xy(x  x )  x lim1x 0 xx 0xx  0x  0y ' (0)  limy(x  x )  ( x ) lim 1 .x 0 xx 0xx 0x 0y ' (0)  limОдносторонние производные функции в точке x0 = 0 существуют, но не овпадают,значит, в нуле у данной функции производная не существуетДифференцируемость функцииОпределение 6.4.

Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестноститочки x0 , называется дифференцируемой в этой точке, если существуетконечная производная f '(x0).Теорема 6.1. (Необходимое и достаточное условие дифференцируемостифункции в точке)Для того, что бы функция y = f (x) была дифференцируема в точке x, необходимои достаточно, чтобы полное приращение функции в точке x, соответствующееприращению x, можно было представить в виде y = A  x + (x)  x,где A не зависит от x, а (x)  0 при x 0.Доказательство.Необходимость.Пусть функция дифференцируема в точке x, тогдаyy y x'   ,x0 xxy x'  limгде   (x) – бесконечно малая функция, т.е.

(x)  0 при x 0.Отсюда следует, что.Остаетсятолько обозначитьи окончательно получимy  y x'  x   (x )  xy x'  Ay  A  x  (x)  xДостаточностьДопустим, что полное приращение функции можно представить в видеy  A  x  (x )  xПредположив, что x  0, получим отсюдаy A   ( x ),xгде (x)  0 при x 0. Перейдя к пределу, получим.y A,x 0 xlimа это и означает, что функция y = f (x) в точке x имеет конечную производную A,т.е.y x'  AЗамечание.Иногда функцию, дифференцируемую в точке, определяют как функцию,полное приращение которой в точке x можно представитьв виде y = A  x + (x)  x, где (x)  0 при x 0.В силу доказанной теоремы очевидно, что оба эти определения эквивалентны.Операцию нахождения производной от функции в дальнейшем будем называтьдифференцированием этой функции.Непрерывность дифференцируемой функцииТеорема 6.2.

Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x, то в этой точкеона и непрерывна.Доказательство. Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x, тогдаполное приращение функции в этой точкеy  A  x    x  lim y  0,x  0а это означает, что функция y = f (x) непрерывна в точке x.ПримечаниеОбратное утверждение неверно, т.е. из непрерывности функции в даннойточке x не следует ее дифференцируемость в точке x.Определение 6.5.Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (a, b),то ее называют дифференцируемой в этом интервале.ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.Производная постоянной.Рассмотрим функцию y = c, где c = const  xX, и пусть xX.По определению.

.Итак,c'  0ycc lim0x 0 xx 0 xc x'  limДифференцирование степенной функцииНайдем производную степенной функцииy  xa ,где a – любое вещественное число. По определению производнойx a 'xaxax 1    1aax y( x  x)  x lim lim limx 0 xx 0x 0xx..СледовательноИтак  x  a  x 1   1 ~ax xa 'x xaaxx  a  x a 1xxxa  a x limx 0 a 'x x a  x a 1'1Пример 1. Найти   x x'Решение.11   x xxПример 2. Найти 'x 1  x  2   x'x'Решение.1x2 x'x1 11122 x x  2 x x 2.Дифференцирование логарифмической функцииНайдем производную логарифмической функцииy  log a x (a > 0, a  1).Если x > 0 и x< xто при x  0 имеем:log a x 'x. x log a 1  log a ( x  x)  log a x1x  1 x  lim lim limlog a 1   x0x 0xxx x0 xx xxx.Итак,1x  xx1lim log a 1 x x  0x log a x 'x1x  ln a11log a e xx  ln aВ частности,ln x 'x  1xПравила дифференцированияТеорема 6.3.Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в данной точке x,то тогда имеют место следующие правила дифференцирования.1) U ( x)  V ( x)'  U ' ( x)  V ' ( x)xxx2)U ( x) V ( x)'x  U x' ( x) V ( x)  U ( x) Vx' ( x)'3)U ( x)  U x' ( x) V ( x)  U ( x)  Vx' ( x) V ( x)  2V(x)x(V(x) 0)Доказательство.Докажем п.3).

Рассмотрим частноеU ( x)V ( x)По условию теоремы предполагается, что V(x) 0, пусть для определенностиV(x)>0; т.к. V(x) дифференцируема в точке x, следовательно, она и непрерывнав этой точке, а значит в силу теоремы о стабилизации знака непрерывнойфункции, можно указать такую окрестность точки x, в которой V(x + x) > 0.Тогда получимU ( x  x ) U ( x )yV ( x  x ) V ( x )U ( x  x )  V ( x )  U ( x )  V ( x  x )lim lim lim x  0 xx 0x0xx  V ( x )  V ( x  x )U ( x  x)  V ( x )  U ( x)  V ( x )  U ( x )  V ( x )  U ( x )  V ( x  x )x 0x  V ( x )  V ( x  x) limU ( x)  V ( x)  U ( x)  V ( x)x 0x  V ( x)  V ( x  x) limU ( x)V ( x ) V ( x)  U ( x) U ' ( x)  V ( x)  U ( x)  V ' ( x)xx limx 0V ( x)  V ( x  x)V 2 ( x)Итак,' U ( x)  U ' ( x ) V ( x )  U ( x) V ' ( x ) V 2 ( x) V ( x)  xx3Пример 3.

НайтиРешение.x32Пример 4. Найти.Решение.x2 ln xx'1 22121'3  x   ln x  x   x 3   3  3x 3 x x x' ln x'2xx   x   e2x 'e xx 'e x2 'xx2 x x 'e x'Пример 5. Найти.Решение. x 2  1 x x'' 2x  e x  x 2  e x  x 2  2x  e x x 2  1x 2  1 x  x  x 2  1  x x' 2 x  x  x 2  1 x 2  1 x  22xxx2xДифференцирование тригонометрических функций1) Найдем производную функцииsin x 'xy  sin xsin( x  x)  sin x limx 0x 0x lim2 sinxx  cos x  22 x..2  xx x  cos x   lim cos x   cos x x  0 2  xx02 2  limИтак,sin x 'x cos xcos x 'x2) Аналогично можно доказать, что'3)'xtg x Итак,'  sin x'sin x x  cos x  sin x  cos x x1 sin x  cos 2 xcos 2 x cos x  xtg x 'x1cos 2 x( x  n , n  0,  1,  2, ...)24) Аналогично можно показать, чтоctg x 'x  1sin 2 x( x  n , n  0,  1,  2, ...)Правило дифференцирования сложной функцииТеорема 6.4.Если функция u = (x) дифференцируема в точке x, а функцияy = f (u) дифференцируема в соответствующей точке u = (x) , тогда сложнаяфункция y = f [(x)] дифференцируема в точке x, причем f ( x)'x f '   'x ( x )Доказательство.Функция u = (x) дифференцируема в точке x, значит ,u   x'  x   (x)  x, где  ( x )  0при x0.В свою очередь, функция y = f (u) дифференцируема по u, тогда ,y  f u'  u   (u )  u ,значитгде при u0,y  f u'  'x  x  (x)  x  (u )  uПусть x 0, тогда в силу непрерывности дифференцируемой функцииокажется, что также и u 0, следовательно,yu  lim  f u'  'x  ( x)  (y )  x  0 xx  0 x limЗдесьy u x' ; ( u )  0 при x0, т.к.x0 xlim ( x )  0.при x0при x0'Окончательно получимu  0 f u (x )x fu'  ux'(правило цепочки).Правило цепочки можно обобщить на большее число промежуточныхаргументов, если выполнены соответствующие условия: yuv(t  x ) 'x  yu'  uv'  vt'  t x'Пример 6.