Лекция5-2 (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 1 часть)

Лекция 5НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙНЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕРазличные формулировки определения непрерывности функции в точкеПусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0Определение 5.1.Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, еслиlim f ( x)  f ( x 0 )x  x01) функция f(x) определена в точке х0 и в ее окрестности;2) функция f(x) имеет предел при х → х0;3) предел функции в точке х0 равен значению функции в этойточке,Так какlim x  x0x  x0lim f ( x)  f (lim x)  f ( x0 )x  x0x  x0Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можноперейти к пределу под знаком функции, то есть в функцию f(x) вместо аргументах подставить его предельное значениеРассмотрим функцию f (x) и допустим, что она непрерывна в точке x0, т.еlim f ( x)  f ( x 0 )  lim f ( x)  f ( x 0 )  lim  f ( x)  f ( x 0 )x  x0x  x0x  x0Обозначим f (x0) = f (x) - f (x0) и назовем эту разность приращением функцииf (x) в точке x0, соответствующим приращению аргумента x = x - x0.Ясно, что x 0, если x x0.Таким образом,( lim f ( x)  f ( x0 ))  ( lim f ( x0 )  0)x  x0x 0Очевидно и обратное соотношение:( lim f ( x0 )  0)  ( lim f ( x)  f ( x0 )) ,т.еx 0x  x0( lim f ( x)  f ( x0 ))  ( lim f  0)x  x0x 0Приняв во внимание вышесказанное, можно дать другое определениенепрерывности функции в точке x0.Определение 5.2.Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если бесконечно маломуприращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малоеприращение функции, т.е.lim f ( x0 )  0x 0Если вспомнить определение конечного предела функции в точке x0,то очевидно, что непрерывность функции в точке можно определить иначе.Определение 5.3.Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если   0         0   x x  x0f  x   f  x0   ЗамечаниеПриведенные определения непрерывности функциив точке x0 эквивалентны, т.е.

из одного определения вытекает другое.Односторонняя непрерывность функции в точкеОпределение 5.4.Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 справа, если:1) существует конечное значение f(x0);2) существует конечный правосторонний пределlim f ( x)  f ( x0  0)xx0 03) выполняется условие f (x0) = f (x0 + 0).Определение 5.5.Функция f (x) называется непрерывной в точке x0 слева, если:1) существует конечное значение f (x0);2) существует конечный левосторонний пределlim f ( x)  f (x0  0)xx0 , x x03) выполняется условие f (x0) = f (x0 - 0).В заключение приведем еще одно определение непрерывности функции в точке x0.Определение 5.6.Функция f (x) называется непрерывной в точке x0, если она в этой точкенепрерывна и слева, и справа.Свойства функций, непрерывных в точкеТеорема 5.3.Если функция f (x) непрерывна в точке x0 и f (x0) 0, то существует некотораяокрестность U(x0, ), в которой функция имеет такой же знак, что и в точке x0.Доказательство.Пусть для определенности f (x0) > 0.Поскольку в точке x0 f (x) непрерывна, то это означает,что (  > 0)(  =  > 0)(  xŮ(x0, )): f (x0) -  < f (x) < f (x) + .Так как  можно выбрать любым, то положимтогдат.е.

f (x) > 0  xŮ(x0, ).f ( x0 );2f ( x0 )f ( x) ,2Теорема 5.4.Если функции f1(x) и f2(x) непрерывны в точке x0, то справедливыследующие утверждения:1)функция c· f1(x) непрерывна в точке x0 (c = const);2)функция f1(x) ± f2(x) непрерывна в точке x0;3)функция f1(x) · f2(x) непрерывна в точке x0;4) функцияf1 ( x)f 2 ( x)(f2(x0)  0) непрерывна в точке x0.Доказательство.Докажем одно из этих утверждений (остальные доказываются аналогично),а именно: произведение f1(x) · f2(x) непрерывно в точке x0.Действительно, поскольку существуют конечные значения f1(x0) и f2(x0),следовательно, существует и конечное значение f1(x0) · f2(x0);кроме того, существуютlim f1 ( x)  f1 ( x0 ), lim f 2 ( x)  f 2 ( x0 )x x0x  x0Значит существуетlim  f1 ( x)  f 2 ( x)  lim f1 ( x)  lim f 2 ( x)  f1 ( x0 )  f 2( x0 )x  x0x  x0x  x0А это и говорит о том, что произведение f1(x) · f2(x) непрерывно в точке x0.Теорема 5.5.

(Непрерывность сложной функции).Если функция (x) непрерывна в точке x0, а функция f (u) непрерывна в точке u0,где u0 = (x0), то функция f [φ(x)] непрерывна в точке x0,т.е. суперпозициянепрерывных функций непрерывна в данной точке.Доказательство.Теорема 5.6.

(Непрерывность обратной функции).Если функция y = y(x) строго возрастает (строго убывает) на промежутке[a; b] и непрерывна в точке x0(a; b), то у нее существует обратная функцияx = x(y), которая строго возрастает (строго убывает) на промежутке [p, q], гдеp = y(a), q = y(b) и непрерывна в точке y0 = y(x0).Теорема 5.7.Любая элементарная функция непрерывна в каждой точке ее множестваопределения.Докажем, например, непрерывность функцииy  cos x.Найдемlim y  lim (cos( x  x)  cos x)  2 lim cosx  0 x  0x  02 x  xxsin022lim y  0x  0что и доказывает непрерывность данной функции.,т.е.Функцияf ( x)  xнепрерывна в каждой точке х0 числовой прямой, так какlim f ( x)  lim x  x0  f ( x0 )x  x0x  x0Отсюда следует непрерывность функцииx2  x  x(непрерывность произведения непрерывных функций),x 3  x 2  x,..., x n  x n 1  x(n- натуральное число).Алгебраический многочленP ( x )  a 0 x n  a1 x n 1  a 2 x n  2  ...

 a nтакже является непрерывной функцией в любой точке числовой прямойтак как представляет собой сумму произведений непрерывных функций.Вычисление пределов от непрерывных функцийВ силу теоремы о непрерывности элементарных функций следует,что для каждой элементарной функции имеет место соотношениеlim f ( x)  f ( lim x );x x0x x0это обстоятельство упрощает подход к вычислению многих пределовот элементарных функций.Пример 1.Вычислитьln(1  x)x 0xlim1Решение.ln(1  x)1lim lim  ln(1  x)  lim ln(1  x) x  ln e  1x 0x 0 xx 0xОтметимln(1  x ) ~ x.ex 1limx 0xПример 2.

ВычислитьРешение. Заменяя числитель на эквивалентную величину, получимex 1ln e x  1  1ln e xx ln elim lim. lim lim1x 0x 0x0x0xxxxТо есть ex-1~ x в точке x 0  0ax 1limx 0xПример 3. ВычислитьРешение. Заменяя числитель на эквивалентную величину, получимax 1ln a x  1  1ln a xx ln alim lim lim lim ln ax 0x0x0x0xxxx(1  x) r  1limx0xПример 4. ВычислитьРешение.

Заменяя числитель на эквивалентную величину, получим(1  x) r  1ln (1  x) r  1  1ln(1  x) rln(1  x)lim lim lim r limrx 0x0x0x0xxxx(1  x) r  1  rxПример 5.Вычислитьlimx 02 x  3x4x  5xРешение. 2 x  2  xx3   13 ln  1  12x  3x  0  3  3 lim x x     limlimxxx0 4  5x0x00  445x   15x ln  1  1 5  5 x23  ln 2  ln 3limx 0 x4 ln 4  ln 55 x ln53x x ln=lim (cos x Пример 6.

Вычислитьlim 1   ( x) x  x0lim(cos x x01 ( x)x0e12 sin 3 x) arcsin xесли (x) – бесконечно малая в точке x0x 1  lim 1  2 sin 2  2 sin 3 x x 0 2 x2 sin 3x sin2 2 xarcsin x2 sin 3x 2 sin221 x  lim 1   2 sin 3x  2 sin2 x 02  12 sin 3x ) arcsin x1arcsin xx2  sin 3x  sin2 2 exp(lim )  e6 .x 0xНепрерывность функции в интервале и на отрезкеОпределение 5.7. Функция f (x), непрерывная в каждой точкеинтервала (a; b), называется непрерывной в интервале (a; b).Определение 5.8. Функция f (x) называется непрерывной на отрезке [a; b],если она непрерывна в интервале (a;b) и непрерывна справа в точке x=a инепрерывна слева в точке x=b.

ОтрезкаСформулируем теперь достаточно очевидные с геометрической точки зрениятеоремы, дающие нам свойства функций, непрерывных на отрезке.Теорема 5.8. (1-я теорема Вейерштрасса).Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то на этом отрезке она иограничена.Теорема 5.9. (2-я теорема Вейерштрасса).Если функция непрерывна на отрезке[a; b], то среди ее значений на этомотрезке имеется наименьшее и наибольшее значение.Теорема 5.10. (1-я теорема Больцано-Коши).Если функция непрерывна на отрезке [a; b] и на его концах принимаетзначения разных знаков, то внутри промежутка найдется хотя бы одна точка,в которой функция обращается в ноль.Теорема 5.11. (2-я теорема Больцано-Коши).Если функция непрерывна на отрезке[a; b],то, принимая любые два значения на [a; b],функция принимает и всякое промежуточноезначение.Следствие.Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке [а; b] и на его концах принимаетзначения разных знаков, то внутри отрезка [а;b] найдется хотя бы одна точка с,в которой данная функция f(x) обращается в нуль: f(с) = 0.Это следствие лежит в основе так называемого «метода половинногоделения», который используется для нахождения корня уравненияf(x) = 0.ЗамечаниеУтверждения теорем 5.8 -5.11 вообще говоря, делаются неверными, если нарушеныкакие-либо из ее условий: функция непрерывна не на отрезке [a;b],а в интервале (a; b), либо функция на отрезке [а; b] имеет разрыв.Разрыв функции в точкеОпределение 5.9.

Точка x0, принадлежащая множеству определения функцииили являющаяся его граничной точкой, называется точкой разрыва,если в этой точке функция не является непрерывнойТо есть,Функция определена в окрестности точки х0, но не определена в самой точке x0.Функция определена в точке х0 и ее окрестности, но не существуетпредела f(x) при х → x0.Функция определена в точке x0 и ее окрестности, существует предел в этойточке, но этот предел не равен значению функции в точке x0:Пример 7. Исследовать непрерывность функции y = x2 на промежутке [0; 2].Решение.