Лекция4-2 (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 1 часть)

Лекция 4ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (2)ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВlimПример 1. Вычислитьx 0x.x 1Решение. Заметим, что в точке x = 0 данное выражение принимает значениеравное 0. При x = 0 здесь нет неопределенности, таким образом,limx 0Пример 2.

Вычислитьx 0.x 1x.x 1 x  1limРешение. Примем во внимание связь между бесконечно малой иБесконечно большой функцией. Очевидно, чтоx .x 1 x  1limПример 3. Вычислитьx3  1lim 2.x 1 x  1Решение. Очевидно, что мы имеем неопределенность 0 .0Разложим числитель и знаменатель на множители:( x  1)( x 2  x  1)x2  x  1 3lim 2 lim lim .x 1 x  1x 1x 1( x  1)( x  1)x 12x3  1limПример 4.

Вычислитьx 0x3  x232x x x.Решениеlimx 0x3  x232x x x limx 0x 2 ( x  1)2x( x  x  1) limx 0x( x  1)2x  x 1 0.Пример 5. Вычислитьx xxlim.x 1x 1Решениеx xxx( x  1)x1lim lim lim .x 1x1x1x 1( x  1)( x  1)x 1 2Пример 6. Вычислитьx 1lim.xxРешение.x1 x 1lim limx  xx x1x lim 1 x  1  1.xПример 7. ВычислитьРешение.limxx 5  2x 4  x 3  2542x  x  x  1.2 12 5x125 x 5  2x 4  x 3  2xxx  1lim lim .x  2 x 5  x 4  x  1x  5 1 11  2x 2   4  5 x xx ЗамечаниеПоведение многочлена на бесконечности определяется поведениемего старшей степени. Поэтому при решении данного примера можно былочислитель и знаменатель заменить на эквивалентные им старшие степени, т.е.limx x 5  2x 4  x 3  22x 5  x 4  x  1x51.5x  2 x2 lim4Пример 8.

Вычислитьlimx3  x  1  3 x  13x  2.x  x 1Решение. Заменяя многочлены, стоящие под корнем, на эквивалентные имстаршие степени, получим4limx  x3  x  1  3 x  132x  x 1 limx  3x42x31x3 limx  3x42x3 limx  9x128x12 limx  12x  .Пример 9. Вычислитьsin 3x.x0 sin 5 xlimРешение.

Принимая во внимание первый замечательный пределзапишем данный предел так:3x  sin 3xsin 3x3x 33xlim lim lim  .x  0 sin 5 xx  0 5 x  sin 5 xx 0 5 x55xsin x 1,x 0xlimПример 10. Вычислитьsin 2 xlim.x  0 1  cos xРешение.2xx2sincossin 2 xsin 2 x22 lim lim lim x  0 1  cos xx 0x x 0x2 sin 22 sin 222xx cos 222 2x2 sin 224 sin 2limx 0При вычислении данного предела мы учли, что cos0 = 1.xПример 11.

Вычислить x 1lim  .x   x  2 Решение. Заметим, что мы имеем неопределенность  Примем во вниманиевторой замечательный пределx1lim 1    e.x  xТогда данное выражение можно преобразовать так:xx1 x 1 x  2  1lim limlim1x    x  2 x   x  2 x   ( x  2) ( x  2)x( x  2)1 (x  2 )1 lim  1 x (x  2) ex(x  2 ) e 1 .Величина в квадратной скобке в силу второго замечательного пределастремится к e.Вычисление пределов видапри x → a.Сначала представим функцию f(x) в виде суммы единицы и бесконечномалой величиныПреобразуем показатель степениУчитывая, что при x → aполучимЕще один способ вычисления пределов видагде α(x), β(x) бесконечно малые функции при x → a, основываетсяна использовании тождестваПри этомСравнение бесконечно малых функцийРассмотрим в точке x0 бесконечно малые функции a(x) и (x).Определение 4.4.(x) есть бесконечно малая более высокого порядка малости,чем (x), если ( x)lim 0.x  x 0 ( x )При этом пишут (x)=o((x)).Соответственно, (x) есть бесконечно малая более низкого порядкамалости, чем (x) ( x) .x  x0  ( x )limОпределение 4.5.Бесконечно малые a(x) и x) имеют одинаковый порядок малости,если ( x) k,x  x0  ( x )limгде k – конечное число, k  0.При этом пишут (x)=O((x)).Определение 4.6.Говорят, что a(x) и (x) эквивалентные бесконечно малые в точке x0, если( x)1x  x0 ( x)limПри этом пишут a(x) ~ (x).Теорема 4.12.Произведение двух бесконечно малых функций есть бесконечно малая болеевысокого порядка малости, чем каждый из сомножителей.Доказательство.Пусть ( x)0x xo,( x)0, тогдаx x0( x)  ( x) ( x )  ( x )lim lim  ( x )  0; lim lim ( x)  0.x  x0xxxxx  x0( x )( x)00Теорема 4.13.Для того, чтобы бесконечно малые a(x) и (x) были эквивалентны,необходимо и достаточно, чтобы их разность была бесконечно малойболее высокого порядка малости, чем каждая из них.Доказательство.Необходимость.Пусть a(x) ~ (x), тогда ( x)  ( x) ( x)lim 1lim 1  1  0.x x0x x0 ( x ) ( x ) Достаточность.Пусть разность (x) - (x) есть бесконечно малая более высокого порядка,малости, чем (x), т.е. ( x)   ( x)0x x0 ( x)limтогда( x)( x)  ( x)( x)1lim 1  lim0x x0xx( x )0 ( x ) ( x)x x0Аналогично: ( x)1x  x0  ( x)limТеорема 4.14.

(Принцип замены на эквивалентную).Если в точке x0 a(x) ~ a1(x), (x) ~ 1(x), то 1 ( x)( x)lim limx  x0 ( x )x  x0  ( x )1Доказательство( x )( x ) lim1x  x0  ( x)x  x0  ( x)11По условию теоремы, limследовательно,  ( x) 1 ( x) 1 ( x) 1 ( x)1 ( x)( x )( x) lim limlimlim x x  ( x) x  x  ( x) x x ( x) x  x0 ( x )x  x0  ( x )  ( x ) ( x )00 10 111lim1 ( x )x x0  ( x )1 limsin x1x 0 xМы доказали ранее замечательный предел limОтсюда можно сделать вывод, что sinx ~ x в точке x0 = 0.Таблица основных эквивалентностейПриведенная таблица допускает более широкое толкование, а именно:еслиα(x) – бесконечно малая функция при x → a, то.