Лекция3-2 (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 1 часть)

Лекция 3ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙПРЕДЕЛ ФУНКЦИИПусть функция y  f x определена в некоторой окрестноститочки x0R.Как ведет себя функция по мере приближения x к точке x0?Определение 3.1. (Определение предела функции по Коши).Число A является пределом функции y  f x в точке x0,если для любого сколь угодно малого положительногочисла  можно указать такое положительное число ,заисящее от , что для всех x из области определенияфункции, удовлетворяющих условию x  x0  , x  x0,выполняется неравенство f x  A  .При этом пишут:lim f x   Ax x0илиf x   Ax  x0Определение 3.2. - окрестность точки x0 Ux0, , из которой удаленаточка x0, называется проколотой  - окрестностью точкиx0; она обозначаетсяoU  x0 ,  т.

е.odefU  x0 ,    U  x0 ,  \ x0 Тогда с помощью логических символов сформулированноеопределение можно записать так:o defAfx00xx,: f  x  A  lim0Ux  x0.В том случае, когда A  , x0 - конечное число,определение предела функции y  f x в точке x0можно записать следующим образом.Определение 3.3.Говорят, что  является пределом функции y  f x в точкеx0, если   0   , что для всех x, довлетворяющихусловию x  x0  , x  x0 выполняется неравенство1f x При этом пишут:lim f  x   x  x0Или с помощью логических символов: defo1  lim f  x       0          0   x U  x0 ,    : f  x  xx0В случае, когда A - конечное число, x0  , можно записатьОпределение 3.4.Говорят, что число A является пределом функции y  f xв точке x0  , если   0     0, такое что длявсех x, удовлетворяющих условию1xвыполняется неравенство  f x  A  .При этом пишут:def1lim f  x   A    0          0   x   f ( x)  A  x Очевидно, что аналогичные определения можносформулировать, если A - конечное число, x0  , x0  или x0  ; или x0 - конечное число, A   или A  .Если A - конечное число, то пределlim f  x   Ax  x0называется конечным; если же A  , A   или A  , топредел называется бесконечным или несобственным.Отметим, что из определения предела следует:а также , если f x  c, где c  const.lim f  x   cx  x0lim x  x0x  x0Односторонние пределы функцииПусть функция y  f x определена в некоторой окрестноститочки x0R, т.

е. x0- конечное вещественное число. Наложимограничения на способ приближения аргумента функции x кточке x0, а именно: будем рассматривать случаи,1)x приближается к x0, оставаясь больше x0, т. е. x  x0, тогдаговорят, что x приближается к точке x0 справа;2)x приближается к x0, оставаясь меньше x0, т. е. x  x0, тоговорят, что x приближается к x0 слева.Определение 3.5.

(правостороннего предела).Говорят, что число A является правосторонним пределомфункции y  f x в точке x0R, если   0     0,что для всех x, удовлетворяющих условию x0  x  x0,выполняется неравенство  f x  A  .Правосторонний предел обозначается :f x00lim f xx x0  0lim f x x  x0x  x0 deff  x       0          0   x   x0 , x0     A x limx0  0f  x  A  Определение 3.6. (левостороннего предела). deff  x       0         0   x   x0   , x0   A x limx00Левосторонний предел обозначаетсяf x00lim f  x x  x0x  x0lim f  x x  x0  0f  x  A  Теорема 3.1Если в точке x0R у функции y  f x существуетконечный предел, то в этой же точке существуют и равныемежду собою односторонние пределы этой функции инаоборот, т.

е. A  lim f  x    f  x0  0  f  x0  0  Ax  x0Всегда ли существует предел у данной функцииy  f x, а если существует, то единственный ли он?Теорема 3.2. (О единственности конечного предела).Если в точке x0R данная функция y  f x имеет конечныйпредел, то он единственный.ДоказательствоДопустим, что в данной точке x0  Rсуществуют два различных предела:lim f  x   A1x  x0иlim f  x   A2A1A2 .x  x0Это означает, что   0:o1  1    0  x U 1 x0  : f x   A1 2o 2   2    0   x U 2 x0  : f  x   A2 2(1)(2)Возьмем   min1, 2, а тогда оказывается, чтоo  0      0  x U  x0  : A1  A2  A1  f  x   f x   A2  f  x   A1  f  x   A2  .Число  выбирается произвольно и мы можем взять его,удовлетворяющим неравенствам 0   <A1  A2.Полученное противоречие и доказывает теорему.Признаки существования предела.Теорема 3.3.

(«правило двух милиционеров»)oЕсли функции x, x и f x определены в U x0 ,   , причем.в этой окрестности выполняются неравенства x  f x  xи кроме тогоf x   Alim  x   lim   x   A , то и xlimxx  x0x  x00Доказательство.По условию теоремыlim  x   Ax  x0иlim   x   Ax  x0В силу определения предела   0:o1  1    0 x U x0 , 1  : A    x   A  o 2   2    0  x U x0 ,  2  : A    x   A  Пусть   min 1, 2.

Тогда A  x  f x  x  A A  f x  A, а это и означает, чтоlim f  x   Ax  x0Существование предела у монотонных функций.Определение 3.7.Функция y  f x называется неубывающей на промежутке X(конечном или бесконечном), если для любых x1X и x2Xсправедливо соотношениеx2  x1  f x2  f x1.Если x2  x1  f x2  f x1, то функция f x называетсястрого возрастающей.Определение 3.8.Функция y  f x называется невозрастающей на промежутке X(конечном или бесконечном), если для любых x1X и x2Xсправедливо соотношение x2  x1  f x2  f x1.Если x2  x1  f x2  f x1, то f x называется строгоубывающей.Функцииневозрастающие,строгонеубывающие и строго возрастающиемонотонными на промежутке X.убывающие,называютсяТеорема 3.4.Если функция y  f x монотонна и ограничена вoU  x0 , ,то тогда существуют конечные левосторонний иправосторонний пределы функции y  f x в точке x0.Теорема 3.5.Если функция y  f x не убывает (не возрастает) набесконечном промежутке X и ограничена сверху (снизу),то она имеет конечный предел.Бесконечно малые и бесконечно большие функцииОпределение 4.2.Функция x называется бесконечно малой в точке x0  R ,еслиlim  x   0x  x0Определение 4.3.Функция x называется бесконечно большой в точке x0  R ,еслиlim   x   x  x0Теорема 4.1.11) Если x есть бесконечно малая функция в точке x0, то x есть бесконечно большая функция в этой точке приусловии, что x  0 в окрестности точки x0.2) Если x есть бесконечно большая функция в точке x0, то1 x есть бесконечно малая функция в точке x0.Доказательство.Докажем теорему для случая, когда x0 - конечноевещественное число.Возьмем любое число K  0.Пусть x является бесконечно малой функцией в точке x0.Это означает, чтоo  0      0  x U  x0 ,   : x   1Возьмем в качестве  такое число, чтобы   K , тогда11 , т.

е. x  1lim x  x 0  x 1а это и означает, что- бесконечно большая функция. x Вторая часть теоремы доказывается аналогичноТеорема 4.2.Следующие два утверждения эквивалентны.1) Функция y  f x в точке x0 имеет конечный пределlim f  x   Ax  x02) Функция x  f x  A является бесконечно малой вточке x0.Доказательство.1) Пустьlim f  x   A , где x0R, A - конечное число.x  x0,oЭто значит, что для   0      0 x U  x0 ,   :  x   где x  f x  A, т.

е. x есть бесконечно малая в точке x0.2) Пусть теперь x  f x  A есть бесконечно малая в точке x0o  0     0  x U x0 ,  : x    , т.е. f x  A  .СледствиеЕсли функция f(х) имеем предел, равный А, то ее можнопредставить как сумму числа А и бесконечно малойфункции (х), т. е. еслиlim f  x   Ax  x0то f x  x + AТеорема 4.3.Если функция f x ограничена в окрестности точки x0,а функция x - бесконечно малая в точке x0, то ихпроизведение f xx есть функция бесконечно малая в этойточке.Доказательство.Функция f x ограничена в окрестности точки x0,; значит,существует такое число K  0, что x  U  x0 ,   : f  x   KФункция x бесконечно малая в точке x0, значитo  :  x   xx,U 0 KK,Тогда :o  0     x U  x0 ,   : f  x  x   а это и означает, что f xx есть бесконечно малаяфункция в точке x0.Следствие 1.Произведение постоянной c на бесконечно малую функциюx cx в точке x0 есть бесконечно малая функция.Следствие 2.Произведение двух бесконечно малых функций в точке x01x2x есть бесконечно малая функция в этой точке.Действительно, поскольку 1x - бесконечно малая в точке x0,тоo  0      0  x U  x0 ,  : 1  x   ,т.