Лекция2-1 (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 1 часть)

Лекция 2ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ.Определение 2.1Если в силу некоторого правила f каждому элементуxD ставится в соответствие единственный элементyE, то говорят, что на множествеD задана функция f иfD Eпри этом пишутВ том случае, если множества D и E являютсяподмножествами множества вещественных чисел, т. е.DR, ER, то функция f называется числовой и при этомпринята такая форма записи y  f x или y  yx, где x аргумент, y - значение функции;Область определения может быть указанаD(f)=[1;2]Если область определения функции у = f(х) не указала, топредполагается, что она совпадает с множеством всехзначений аргумента, при которых соответствующаяформула имеет смысл.Пример:y14 x 2D f    2;2  , E  f   0,5;   .Определение 2.2Пусть a, bR, тогда множество x: a  x  bназывается отрезком числовой прямой или иобозначается a; b, т.

е.defa; b  x : a  x  b.Числовые множества[a.b)  x : a  x  b(a, b]  x : a  x  bназываются полуинтервалами.Числовое множествоdefa, b  x : a  x  bназывается интервалом.defТермины функция, отображение, преобразование –синонимы.Обозначения:fy=f(x); f: DE; D  EДля функций одной переменной DR; ER.Частное значение функции записывается в виде:f  x0  или y| xx0 .Способы задания функций:Аналитический, табличный, графический, алгоритмическийЧисловые функции могут задаваться формулами наразличных промежутках или интервалах, принадлежащихмножеству определения функции.Такой способ задания называется аналитическим.Если функция такова, что ее удается выразить в виде y  f x, тоговорят о явном аналитическом способе заданияПримерФункция y  lgx определена на множестве (; 0)  (0; ).Множество ее значений y  y: 0  y  .Если не удается явно выразить y через x, а удается толькоуказать зависимость между функцией и аргументом в видеFx, y  0 или в виде x, y  x, y, то такой способзадания называется неявным аналитическим.Примерx2 y2 2 12abЗдесь y как функция x связана с ним неявнойаналитической зависимостью, правда, в данном случаенетрудно перейти к явному аналитическому способузадания, выразив из этого уравнения y:ybx2  a2aНо на практике чаще всего встречаются функции, недопускающие такого перехода.Иногда при аналитическом способе задания функции бываетудобно ввести в рассмотрение промежуточный аргумент t(так называемый параметр) и выразить x и y как функцииэтого промежуточного аргумента, изменяющегосяна некотором числовом подмножестве TR.Пример:Если материальная точка перемещается в плоскостидекартовой системы координат xOy,то, взяв в качествепараметра время t, указывают закон движения в видеx  xt  ;  t  t1 , t 2 y  y t  ;Исключив параметр t, можно перейти к явному илианалитическому способу задания рассматриваемой функции.Такой способ задания называется параметрическимСоставные функции: 1, x  0 ;s ig n x   0 , x  0 ; 1, x  0 .Табличный способ заданияфункций.x1, xy1, y22, ..., x, ..., ynnПримеры: таблицы ln, sin и т.

д.Определение 2.3Графиком функции у = f(x) называется множество всехточек плоскости хОу, для каждой из которых х являетсязначением аргумента, а у — соответствующим значениемфункции.Другими словами график – это множество упорядоченныхпар (x, f(x)). Например, графиком функцииy  1  x2является верхняя полуокружность радиуса R = 1 с центром вО(0; 0)Графический способ задания функцийГ  M x, y R2 | y f  x  .f(x)M(x,y)0xАлгоритмически заданные функцииЛокальные фракталыОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙНачальный этап исследования функции.1) Область определения D(f)2) Нули f(x)=0 и знак функции на множестве xD(f).3) Четность   xD(f): (-xD(f))  (f(-x)=f(x));нечетность   xD(f): (-xD(f))  (f(-x)=-f(x)).Примеры:f ( x )  x 2  ч ет н а я ,f  x   x 3  н еч ет н а я .Замечание: Существуют функции общего вида.4) Периодичность: f(x)=f(x-T)=f(x+T).

T – период.f(x) – периодическая   T0:  xD(f): (xT)D(f)  f(xT)=f(x).5) Монотонность: функция - монотонно возрастающая, еслиx1, x2 X : x1  x2  f  x1   f  x2  ;функция - монотонно убывающая, еслиx1, x2 X :x1  x2 f  x1  f  x2 .6) Ограниченность:функция ограничена сверху   MR:  xX f(x)M,функция ограничена снизу   MR:  xX f(x)  M,функция ограничена   N,MR:  xX Nf(x)M.7) Если условия пункта 6 не выполняются, то функцияназывается неограниченной.СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ.

ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ.Сложная функция.На D определена функция u=(x)  E(u) – множествозначений.На E(u) задана y=f(u) (D(f)  E(u)).Тогдаfx  u  y  y  f    x     f   .называется суперпозицией функций.x – независимая переменная; u – промежуточный аргумент.Пример:y  ax 2 bx , u ax 2 bx, y  u .Обратная функция. Функция y=f(x) отображает D(f)  E(f). Пусть f осуществляет взаимно однозначное отображениеf  xD 1 yE : y  f  x : x 1 , x 2 D , x 1  x 2  f  x 1   f  x 2  .Тогда можно говорить об обратной функцииx f 1  y .Пример:yx3, x 3 y .Теорема 2.1(достаточное условие обратимости) Если числовая функция монотонна, то существуетобратная функцияx f1 y .Построение графика обратной функции.yy x3yxy 3 xxОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ И ИХГРАФИКИ 1) Линейная. y=ax+b (a,bR), D(f)=R.E Rf   byby  ax  bx a 0,a  0.2) Квадратичная функция.y  ax 2 bx  c ,  a, b, cR; a  0 , D f   R.ya>0ya<0NxxM 4ac  b2 b 4ac  b2 a  0: E  f   ; , M   ;.4a  4a 2a4ac  b2a  0: E  f      ;4a b 4ac  b2  , N   2a ; 4a .3) Степенная функцияy x . = 2n = 2n+1 = - 2n = - 2n+14) Показательнаяфункция. a  0; a  1 .D  f   R , E  f    0;   .y a x,0 < a <1a>15) Логарифмическая функцияy  log a x .a>10 < a <16) Тригонометрические функции.y=sinxy=cosxy=tgxy=ctgx7) Обратные тригонометрические функции.y=Arctgxy=Arcctgx 8) Гиперболические функции.e x  e xch x 2e x  e xsh x 2y=arsh xy = ch xy = shxy=arch xaреасинусареакосинусКЛАССИФИКАЦИЯ ФУНКЦИЙ. 1) Целые рациональные функции:Pn  x  a0 x n a1 x n1 ...an . 2) Дробно-рациональные функции:Pm  xQn ax b0x m  a 1 x m 1  ...

 a mn0x  b1 xn 1 ...  a n.Совокупность 1) и 2) – класс рациональныхфункций.3) Иррациональные функции: - получаются с помощьюконечного числа суперпозиций и четырех арифметическихдействий над степенными функциями как с целыми, так и сдробными показателями.y  13x  3 x .Совокупность 1), 2) и 3) – класс алгебраических функций4) Трансцендентные функции: sin x, ln x, ch x и т. д.Элементарные функцииОсновные элементарные функцииПоказательная функцияСтепенная функцияЛогарифмическая функцияТригонометрические функцииОбратные тригонометрические функцииОпределение 2.4Функция, задаваемая одной формулой, составленной изосновных элементарных функций и постоянных спомощью конечного числа арифметических операций(сложения, вычитания, умножения, деления)и операций взятия функции от функции, называетсяэлементарной функциейФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ.x  t  , y  t  , tT . t – называется параметром. Если  - монотонна, то  обратная иt  1  x  . Тогдаy    1  x   . Всякую явно заданную функцию можно представитьпараметрическиy f x  t , t Tx   y  f  t .Пример:1y  , D  f    0,   .xx  t , t   0 ;  ,Введем1y .tТогдаtВведемТогдаx  e , tR ,y  e t .Параметрическое задание линий на плоскости. Множество точек M(x,y) вещественной плоскостикоординаты которых удовлетворяют x=x(t), y=y(t),tT, параметрически задают линию Прямая: x  t , t R ,y  ax  b   y  at  b.Окружность с центром в начале координат. x  a cos t , 0  t  2,x  y  a  y  a sin t .222M(x,y)t -уголЭллипс. xacost , 0t 2,x2 y2 2 12a b y bsint .M(x,y)btуголa Парабола. x  t , t [0;  ),y  2 px   2 y  2 pt .2 Гипербола. x a ch t , tR,x2 y2 2 12a b y bsh t .Циклоида.x  a  t  sin t  , t  R ,y  a  1  cos t  .y2a2axАстроида. x  a cos 3 t , 0  t  2 ,x  y  a ,  a  4r   3yasint.23M(x,y)2323t - уголПолярные координаты.rM  r, O-полюсuПолярная осьr  M   OM - полярный радиус. M - полярный угол, принимает бесконечное множество значенийотличающихся друг от друга на 2k  .

Значение  : 0    2 - называютглавным значением (иногда:      ).    r  r  Связь декартовых и полярных координат:r  x2  y 2 , x  r cos , yy y  r sin .  tg      arctg .xxОкружностьПрямаяСпираль АрхимедаПолярная роза, где.