Лекция12и (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 1 часть)

Лекция 19ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙНЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (2)Понятие первообразнойСвойства неопределенного интегралаТабличные интегралыМетоды нахождения неопределенных интеграловПриведение к табличному видуПодведение под знак дифференциалаИнтегрирование заменой переменной, или подстановкаИнтегрирование по частямПонятие первообразнойОсновная задача интегрального исчисления - нахождениефункции y  f(x) по ее известной производной y   f ( x ) .Определение 19.1.Функция F(x) называется первообразной для функции y  f(x) напромежутке X , конечном или бесконечном, если функция F(x)дифференцируемавкаждойточкеэтогопромежуткапроизводная F (x)  f(x) .Равенство F (x)  f(x) можно записать через дифференциалыdF f ( x ) или dF  f ( x )  dx .dxиееПример.

Функцияx2F(x) 2является первообразной для x2функции f ( x )  x , так как F (x)   2  x.Замечание.Первообразная F x  имеет конечную производную. Следовательно,она является непрерывной функцией. Это следует учитывать принахождении неопределенных интегралов в случаях, когда областьинтегрированияпромежутков.переменнойxразделяетсянанесколькоПример.ФункцияF ( x)  x2, x 02x2 , x02есть первообразная для f(x)=|x|, x  RТеорема 19.1 (о бесконечном множестве первообразных для функции).Если F ( x ) является первообразной для функции f ( x )напромежутке X , то и функция Ф(x)  F(x)  C , где С — произвольнаяпостоянная, будет первообразной для f ( x ) на этом промежутке.ДоказательствоФ (x)  F(x)  C   F ( x )  f ( x ) .Таким образом, если функция y  f(x) имеет первообразную, то онаимеет бесконечное множество первообразных.

Между двумяразличными первообразными для одной и той же функции существуеттесная связь, которая устанавливается следующей теоремой.Теорема 19.2. (об общем виде представления первообразной для функции)Еслии Ф( х ) - две любые первообразные для функции, то их разность равна некоторой постояннойF( x )y  f(x)Ф(x) - F(x)  C ,С =const.ДоказательствоПусть Ф(х) и F(x)— первообразные для функции f(x) ,т. е. Ф'(х)=f(x) и F (x)  f (x) , и пусть L( x )  Ф(x) - F(x) .Найдем производную функции L( x ) .L (x)  Ф(x)-F(x)  Ф (x)-F (x)  f(x)-f(x)  0Это означает, что производная функции L( x ) равна нулюна всем промежуткеВозьмем на рассматриваемом промежутке отрезок [a;x] .По теореме Лагранжа о конечных приращенияхL( x )  L( a )  L (  )  ( x  a ) , где a    x .В любой точке промежутка, а значит, и в точке  отрезка [a;x ]имеем L (ξ )  0 .Отсюда следует L( x )  L( a )  L (  )  ( x  a )  0 , или L( x )  L( a ) длялюбого значения х, принадлежащего промежуткуЭто означает что функция L( x )  Ф(x) - F(x) постоянна на промежутке.Обозначим L( a )  C .Тогда Ф(x) - F(x)  L( a )  C , что и требовалось доказать.Эту теорему можно было сформулировать так:Теорема 19.1aКаждая функция, первообразная для f(x), может бытьпредставлена в видеF(x)  CОпределение 19.2.Совокупность всех первообразных функции f(x), определенных напромежутке, называется неопределенным интегралом от функции f(x) иобозначается символом f(x)dxТаким образомЗдесь знак,  f(x)dx  F(x)  C .называется знаком интеграла,выражение f(x)dx - подынтегральным выражением,сама функция f(x) - подынтегральной функцией,а х называется переменной интегрирования.Свойства неопределенного интеграла1.Дифференциалотподынтегральному выражению.dнеопределенногоинтеграларавен f(x)dx   d F ( x )  C   dF ( x )  F ( x )dx  f ( x )dx .2.

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральнойфункции. f(x)dx   F ( x )  C   F ( x )  f ( x ) .3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этойфункции плюс произвольная постоянная. dF(x)   F (x)dx   f(x)dx  F(x)  C4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенногоинтеграла или вносить под знак интеграла   f(x)dx    f(x)dx .По второму свойству левая часть равенства    f(x)dx    f ( x ) . По свойствупроизводной правая часть равенства   f(x)dx     f(x)dx     f ( x ) Такимобразом, левая и правая части равенства в четвертом свойстве равны5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двухфункций равен алгебраической сумме неопределенных интеграловот этих функций  f(x)  g(x)dx   f ( x )dx   g( x )dx .По свойству 2  f(x)  g(x)dx   f ( x )  g( x ) .По свойству производной f ( x )dx   g( x )dx    f ( x )dx    g( x )dx   f ( x )  g( x ) .Таким образом,  f(x)  g(x)dx и  f ( x )dx   g( x )dx являются первообразными дляодних и тех же функций f(x)  g(x) .

Следовательно, они отличаются друг от другане более чем на некоторую постоянную величину.Замечание.Равенства, описывающие свойства 4 и 5, справедливы и в томслучае, если к любой части уравнения добавить константу С. Этоозначает, что знак равенства при нахождении интегралов носитусловный характер: левая часть равенства равна правой части сточностью до произвольной постоянной величины.Рассмотрим некоторые элементарные функции F(x) и ихпроизводные f(x).

Формулу, их связывающую: F (x)  f(x) - запишемв виде dF ( x )  f ( x )dx .По известному дифференциалу dF(x) функции F(x) восстановим самуфункцию, пользуясь свойством 3: dF(x)  F(x)  C   f(x)dx ,где С – const.Таким путем получаются основные интегралы, представленныениже в виде таблицыТабличные интегралы 0  dx  C .1  dx  x  C .x 1x dx  C , где   1 , x>0. 1dx x  ln x  C , x  0 .axx a dx  ln a  C .xx e dx  e  C . sin xdx   cos x  C . cos xdx  sin x  Cdx ctg x  C .2sin xdx tg x  C .2cos xdxx arcsin  C , x  a .aa2  x2dx1xarctgC . a 2  x2 aadx1 ax a 2  x 2 2a ln a  x  C , x  a«высокий» логарифмdxx2  a ln x  x 2  a  C«длинный» логарифмЗамечаниеНе все интегралы можно свести к табличным.

Если операциядифференцирования элементарных функций всегда приводит кэлементарным функциям, то операция интегрирования непрерывныхфункций может привести к таким функциям, которые невыражаются через элементарные.У каких функций имеются первообразные?ТеоремаЛюбая функция, непрерывная на промежутке, имеет первообразную.Обсудить доказательство этого утверждения можно будет только после того, какпоявится понятие определенного интеграла. Далеко не у каждой элементарнойфункции имеется первообразная, выражающаяся элементарной функцией.

Напри x2мер, функция eнепрерывная, следовательно, имеет первообразную (интегралПуассона), но первообразная не является элементарной функцией (а значит ее невозможно записать с помощью известных функций). В некоторых случаях неэлементарные первообразные получили специальные обозначения и названия. Так,первообразная для функцииинтегральный.sin x, x  0 , обозначается Si( x ) и называется синусxЗамечаниеОперация сведения интегралов к табличным может бытьдостаточно сложной как с идейной, так и с технической точекзрения.

Существует огромное количество различных методов,позволяющих это сделать.Примеры вычислений связанных с неопределенным интеграломПример 1.Найти уравнение кривой, угловой коэффициент которой в точке (x,y)x2равен k  2  , если известно, что она проходит через точку (2,3).Решение.Если y=y(x) – уравнение искомой кривой, тоугловой коэффициент в точке x равен k Следовательно,имеетместоdy.dxравенствоdyxxx2 2   y ( x)   (2  ) dx  2 x   cdx224Крометого,поусловиюзадачи:y ( 2)  3  3  4  1  c  c  0Следовательно y=2x-x2/4Замечание.Рассмотренный пример показывает, что неопределенная константа cможет быть вычислена, если задано значение первообразной внекоторой точке x.Пример.Скоростьхимическойреакциипропорциональнаколичествувещества, вступившего в реакцию. Найти функцию m(t), где t –время, а m(t) – количество вещества, вступившего в реакцию вмомент времени t, если задано:m(0)=m0 и m(1)=m1.Решение:По условию задачи:dm  km, где k>0 – некоторая константа.dtЭтоуравнениеможнопереписатьтак:dm  kdt илиmd ln m    kdt   d ln m   k  dt  ln m  kt  c  m(t )  e kt cИспользуя условия: m(0)=m0 и m(1)=m1, получим равенство:m0=ec и m1=e-k+c=m0ek.Следовательно, окончательно получаем:m(t )  m0 m 1t .ЗадачаМЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВПриведение к табличному виду (непосредственное интегрирование)С помощью тождественных преобразований подынтегральной функцииинтеграл сводится к интегралу, к которому применимы основные правилаинтегрирования и возможно использование таблицы основных интегралов.Пример Найти  ( ax 2  bx  c )dxРешение.ax 3 bx 2 ( ax  bx  c )dx   ax dx   bxdx   cdx  3  2  cx  C22ПримерНайти2 3 x-1 dxРешение.x3x822 3 x-1 dx dx C26 ln 2Подведение под знак дифференциалаВ формуле неопределенного интегралавеличина dx означает, что беретсядифференциал от переменной х.Можно использовать некоторые свойства дифференциала, чтобы, усложниввыражение под знаком дифференциала, тем самым упростить нахождениесамого интеграла.Для этого воспользуемся формулой y (x)dx  dy(x) .

Если нужная функцияy(x) отсутствует, иногда ее можно образовать путем алгебраическихпреобразований.Пример.dx 1 d 2 x  32Решение.111dx   2  dx   d (2 x)   d 2 x  3222Пример. Внести переменную х под знак дифференциалаРешение. Если перед дифференциалом dx стоит переменная х,то легко получить под знаком дифференциала функцию x 2 : x2x  dx  d  2 1   d x2 2 Пример. Внести функцию cos 2 x под знак дифференциала11Решение.

cos 2 x  dx  cos 2 x   d 2 x    d sin 2 x 22Теорема 19.1Справедливо равенство f  yx   yx   dx   f  y(x)  dyx ДоказательствоНаходим производные интегралов, стоящих в его левой и правой частях.Производная по х от левого интеграла равна f  yx   yx  dxx f  y  x   y x  .Производная по х от правого интеграла находится как производнаясложной функции f  yx  dyxx F  y x   C  x  F  y x   y ( x )  f  y(x)  y x Правые части последних двух равенств одинаковы, следовательно,исходное равенство верно с точностью до константыПример .

НайтиРешение.dx3-5 xdx3-5 x1d(  5 x)1 d( 3  5 x)15  ln 3  5 x  C3  5x53  5x5Пример. Найти xex2dx x 2  1 x21 2Решение.  xe dx   e d     e d ( x 2 )  e x  C2 2  2x2x2ecos 2 xt  esin 2 xdx cos 2 x; dt  e  dt  t  C  ecos2 x C.cos 2 x 2 cos x sin x   sin 2 x  ecos2 xdx; Интегрирование заменой переменной, или подстановкаТеорема 19.2Пусть x   (t) , где функция  (t) имеет непрерывную производную (t) , а между переменными х и t существует взаимно однозначноесоответствие.Тогда справедливо равенство f ( x )dx   f ( t ) ( t )dtДоказательствоОтметим, чтоdx   t dtБерем производные от обеих частей равенства f xdxx f x Производнуюхпоотправогоинтеграланаходимпоправилудифференцирования сложной функции с промежуточным аргументом t.Учитывая,t x чтопроизводнаяобратнойфункцииравна11, получимxt  ( t ) f ( t ) ( t )dt    f ( t ) ( t )dt xt t x  f  ( t ) ( t ) 1 f x  ( t )Так как производные интегралов равны, то эти интегралыопределяют одно и то же семейство первообразныхТаким образом для неопределенного интеграла имеет местоинвариантность формулы интегрированияЕсли f ( x)dx  F ( x)  Cто f (u )du  F (u)  Cдля любой функции u=φ(x)Пример.