Лекция10-1 (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 1 часть)

Лекция 10ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (5)ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮПЕРВОЙ ПРОИЗВОДНОЙПризнак постоянства функцииПризнаки возрастания и убывания функцииЭкстремумы функции. Критические точкиНеобходимые условия экстремумаИсследование критических точек с помощью первой производнойПервое достаточное условияе экстремумаНаибольшее и наименьшее значение функцииПризнак постоянства функцииТеорема 10.1.

Пусть функция f (x) непрерывна на промежутке a; b идифференцируема на (a; b). Для того, чтобы f (x) была постоянна напромежутке a; b, необходимо и достаточно, чтобы для любого x(a; b)выполнялось условие f  x   0Доказательство.Достаточность. Пустьf  x   0 x (a; b).Возьмем любые две точки x1. и x2, принадлежащие промежутку a; b.По теореме Лагранжа,следовательно,f  x 2   f  x1   f c    x2  x1  , ноf  x2   f  x1 , причем x1 и x2 – любые две точки изотрезка a; b], а это означает, чтоНеобходимость. ПустьЗначит,f c   0,f  x c0f  x constf  x   const  x [a; b]. x [a; b].Признаки возрастания и убывания функцииТеорема 10.2.

Пусть f (x) непрерывна на промежутке a; b и дифференцируемав интервале (a; b). Для того, чтобы f (x) не убывала на этом промежутке,необходимо и достаточно, что бы при любом x (a; b) выполнялось условиеf  x   0ДоказательствоНеобходимость. Пусть f (x) не убывает на промежутке a; b.И пусть x (a; b). Возьмем приращение  x  0столь малое, чтобы было x   x   ( a; b )Ясно, чтоx x x, а так как f (x) не убывает, то очевидно, чтоf x   x   f x f x   x   f x 0xУстремим теперь x к нулю, тогда в силу определения производной получимf x   0  x (a; b).Совершенно аналогично, если взять приращениеf x   x   f  x  Перейдя к пределу при x  0,тогда будетf x   x   f x0x x  0, опять получимf x   0 x ]a; b[Достаточность.

Пусть для любого x из интервала (a; b) выполняется условиеf x   0Возьмем любые две точки x1 и x2 из этого интервала, причем x1 < x2; тогда потеореме Лагранжа имеемf x2   f x1   f c   x2  x1 ,Так как x1  x2 > 0,f x   0, то ясно, чтоf  x2   f x1 ,а это и означает, что f (x) возрастает на промежутке a; b].Теорема 10.3.Пусть f (x) непрерывна на промежутке a; b и дифференцируема на интервале(a; b).Для того, чтобы f (x) убывала на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы при любом x (a; b) выполнялось условиеf x   0Теорема доказывается аналогично предыдущейГеометрическая иллюстрация..Пусть y=const. Ясно, что ее график прямая, параллельная оси 0x, значиткасательная к графику этой функции параллельно оси 0x, в любой точке,следовательно, tg   0.Пусть теперь f(x) строго возрастающая функция. Касательная к графику этойфункции в любой точке образует острый угол с осью 0x, следовательно, tg   0У строго возрастающей функции совершенно необязательно f  x   0;могут найтись точки, в которых будет f x   0.Действительно, рассмотрим график строго возрастающей функцииЯсно, что в точке x0 = 0 yx0   0.y  x3Пусть теперь f(x) не убывающая, но не строго возрастающая функция.Очевидно, что на промежутке [; ] происходит остановка в возрастании.

Вкаждой точке этого промежутка f  x   0Экстремумы функцииОпределение 10.1. Говорят, что функция f (x), определенная в некоторойокрестности точки x0, имеет в этой точке локальный максимум (минимум), если0 x  U x 0 ;  выполняется неравенство f  x0   f  x ( f  x0   f  x )При этом пишут: max f  x   f  x0  (min f  x   f  x0 )Максимум или минимум функции называется одним словом: экстремум. Заметим,что функция на некотором промежутке a; b может иметь несколько максимумов илиминимумов, причем, не обязательно максимальное значение является наибольшим,точно так же, как и минимальное – наименьшим.Необходимые условия экстремумаТеорема 10.4 (теорема Ферма) .Если функция f (x) дифференцируема в некоторой точке x0, принадлежащейинтервалу( x0   , x0   )и имеет в этой точке экстремум, то обязательноf x0   0Пьер де Ферма́ (фр. Pierre de Fermat,17 августа 1601) — 12 января 1665) —французский математик, один изсоздателей аналитической геометрии,математического анализа, теориивероятностей и теории чисел.

Попрофессии юрист, с 1631 года —советник парламента в Тулузе.Блестящий полиглот. Наиболееизвестен формулировкой Великойтеоремы Ферма.Доказательство.Пусть для определенности в точке x0 функция имеет максимум.Тогда f x0   x  f x0   0, если  x  0и f x 0   x   f  x 0   0 , еслиxУстремим x x к нулю, тогда получим f   x0   0иf x0   0,а так как функция в точке x0 дифференцируема, то должно быть:f  x0   f   x0   f  x0 ,а это возможно, только когдаf   x0   f   x0   0.Следовательноf  x0   0 x0Геометрически это означает что касательная к графику дифференцируемойфункции в точке экстремуму параллельна оси Ox. Заметим, что врассмотренном выше случае точка x0 называется точкой гладкого экстремума.Экстремум у функции может существовать и в точках, в которых функцияне имеет производной или производная обращается в бесконечность, т.е.

вточках, в которых функция недифференцируема. Тогда говорят, что в этихточках функция имеет острый экстремум.2 yНапример, y  x11012xЯсно, что в точке x0 = 0 эта функция недифференцируема, т.е. у нее в этой точке несуществует производная. Однако, очевидно, что в точке x0 функция имеет минимум(острый экстремум).y0x0xНа рисунке изображена функция, у которой в точке x0 производная обращаетсяв бесконечность (функция в этой точке также недифференцируемая); ясно, чтов точке x0 функция имеет острый максимум.Определение 10.2.Еслиf  x0   0, то точка x0 называется стационарной точкой.ЗамечаниеВ стационарной точке функция может иметь экстремум, причем ясно,что в стационарной точке экстремума может и не быть.yx1x2 x3 x4x5Функция у=f(x), график которой представлен на этом рисунке, имеет экстремумы в точках x1 , x3 , x 4 , при этомв точкеx1производная не существует,в точкеx3в точкеx4она равна нулю,обращается в бесконечность.В точках x2 , x5 функция экстремума не имеет, причем в точке x 2производная обращается в бесконечность, в точке x5 производная равнанулю.Например, функция y=x3 в точке x0 = 0 имеетf  0  0 ,однако понятно, что в точке x0 = 0 функция экстремумов не имеет.Итак, точки, в которых производная обращается в ноль, в бесконечность илине существует, могут оказаться точками экстремума.Эти точки называются критическими или подозрительными на экстремумТочки, подозрительные на экстремум, подвергаются дополнительномуисследованию с целью выяснения, имеется ли в них максимум или минимумИсследование критических точек с помощью первой производнойПервое достаточное условие экстремумаТеорема 10.5.Если функция f (x) дифференцируема в некоторой окрестноститочки x0 и производная f΄(x) обращается в нуль в точке x0, то :-если при прохождении через точку x0 производная меняет знак “плюс” на “минус”,то в точке x0 функция имеетмаксимум;x0.-если при прохождении через точку x0 производная меняет знак “минус” на “плюс”,,то в точке x0 функция имеет минимум;-если производная при переходе через точку x0 не меняет своего знака,экстремума в точке x0 нет.Доказательство.Докажем первую часть теоремы.

Допустим, что проходя через точку x0,производная f΄(x) меняет знак с плюса на минус, причем f  x0   0Будем рассматривать различныеx (x0  , x0   ),Так как выполненыусловия теоремы Лагранжа, то можно написать:f  x   f  x0   f c x  x0 Еслиx  x0следовательноЕсли, тоx  x0  0,f  x  f  x0   0x  x0следовательно,f c   0,, тоf c   0, x  x0  0,f x  f x0   0,а это и означает, что в точке x0 функция имеет максимумВторая половина теоремы доказывается аналогично.Заметим, что теорема остается в силе, если в критических точкахпроизводная не существует или обращается в бесконечность, лишь бытолько в самой критической точке функция имела конечное значение.Отметим, кроме того, что при решении примеров полезно делать схему, котораяпозволяет свести воедино получаемые результаты и сделать соответствующиевыводы, а именно: на оси Ox наносят критические точки, указывают интервалывозрастания и убывания функции, а также характер критических точек.Условия теоремы можно свести в следующую таблицуЗнаки производной до и послеx0перехода через точкуЭкстремум-+Минимум+-Максимум--Нет++НетЗамечаниеЕсли условие непрерывности функции в самой точке x0 не выполнено,вопрос о наличии экстремума остается открытым.уу.1ххПримерыуухххххууууухуххВозможные случаи наличия или отсутствия экстремума непрерывной функции,производная которой в критической точке равна нулю или обращается вбесконечностьЭкзотический примерПусть дана функция 21 x  2  cos  , x  0,f(x)   x0,x0.уМожно показать, что в точке x=0 данная функциянепрерывна и имеет минимум.

Производная функции11f (x)  2 x 2- cos   sinxxв любой окрестности точки х=0 меняет знак бесконечно много раз.Поэтому функция f(x) не является монотонно убывающей или возрастающейни слева, ни справа от точки х=0.хНаибольшее и наименьшее значение функцииДопустим, что некоторая функция f (x) непрерывна на промежутке a; b], тогда наэтом промежутке она имеет наибольшее и наименьшее значения. Чтобы их найти,нужно отыскать все максимумы и минимумы функции, вычислить ее значенияна концах промежутка, а затем сравнить их между собой и выбратьнаименьшее и наибольшее.y0a x1x2bxПример.

Найти экстремумы функции y x1  x2, интервалы возрастания иубывания функции и сделать ее рисунокРешение. Прежде всего заметим, что функция определена на всей числовой оси.Найдем точки, подозрительные на экстремум. Для этого вычислим производную:y 1  1  x 2  x  2x1  x 221  x 2  2x 21  x 221x21  x 22, y  0  1  x 2  0Имеем две критические точкиЛевее точкиx1  1,y  0,x1, 2  1правееy   0 , значит в точкефункция имеет минимум. Ясно, что в точкемаксимум.x1  1x2  1 функция имеет1ymin   ,2Действительно,Если учесть, чтоy maxy min иНетрудно вычислитьymax 12x 0 , то легко нарисовать графикx  1  x 2y 0   0 иlimyэтой функции.11123 xЗадача.Из листа картона размерами 15х8 вырезать уголки, такие, чтобы послезагибания краев получилась коробка наибольшего объема.xxРешение.

Ясно, что объем v = x  (15  2 x)(8  2 x);.Приравнявv  12 x 2  92 x  120 .производную к нулю, получим квадратное уравнение3 x 2  23 x  30  0 ; его корниОчевидно, что x1  653x1  6, x2  .следует исключить из рассмотрения.При прохождении через точку x2 5производная меняет знак “плюс” на знак “минус”,3значит, если вырезать уголки с размераминаибольший объем, а именно:5 53 3то коробка будет иметь5 35 14 2450 max    3 3 327куб.ед..