Лекция1-1 (Мат. анализ - лекции (Филатов В.В.) 1 часть)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗЭМФ 1 семестрОсновы теории множествПределыНепрерывность функцийДифференциальное исчисление функций одной переменнойДифференциальное исчисление функций нескольких переменныхПервообразные (неопределенный интеграл)Определенный интегралД.ф.-м.н. профессорФилатов В.В.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.1-2Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа, т.1-2Никольский С.М. Курс математического анализа т.1-2Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике ч.1-2Берман Г.Н.

Сборник задач по курсу математического анализаМатематический анализ в примерах и задачах (Учебник НГТУ)Типовые расчеты 1,2, 3Изучение математики- совершенствует общую культуру мышления, дисциплинирует ее, приучаетчеловека логически рассуждать, воспитывает точность и обстоятельностьаргументации;-позволяет не загромождать исследование ненужными подробностями,не влияющими на сущность дела, и, наоборот, не пренебрегать тем, что имеетпринципиальное значение для существа изучаемого вопроса;-развивает умение логически мыслить, владение математическим аппаратом,правильное использование которого дает в руки человека мощный методисследования и большую экономию мышления..1. МНОЖЕСТВАЛогические символы.„ ∈-знак принадлежности„ ∀- квантор всеобщности„ ∃- квантор существования„ ⇒- знак логического следования„ ⇔- символ эквивалентности∀ΔABC : AC = BC ⇒ ∠A = ∠B( a ∈ A)(∀x ∈ M )( ∃x∈M:)( a ⇒b)Множества.

Способы задания.defA={a,b,c, d} ;{}A = x P( x) ;{a} - одноэлементное множество;∅- пустое множествоДействительные корни уравнения x2 +1 =0 образуют пустое множество∃ множества конечные и бесконечные.Множество характеризуется мощностьюЕсли A - конечное множество, то мощность множества ⏐A⏐ –это число его элементов.Отношения между множествами.„„Определение 1.1. Множества A и B называются равными, если каждыйэлемент множества A является элементом множества B и, наоборот, каждыйэлемент множества B является элементом множества A.ОбозначаютA=B.Пример:{A= x( x − 1) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ( x − 3) = 0 } ,B = { x∈ NA=Bx < 4 }.Свойства равенства:„ A=A(рефлексивность);„ A=B, B=C ⇒ A=C (транзитивность);„ A=B ⇒ B=A(симметричность).„ Неравенство множеств обозначают„A ≠ B.Определение 1.2.„ Множество A (A ≠ ∅) называется подмножеством множества B (B ≠∅), если каждый элемент множества A является элементом множества B.„ Обозначение: A ⊆ B ⇔ ∀ a ∈ A ⇒ a ∈ B.„ Если A ⊆ B и A ≠ B ⇒ A ⊂ B.ПримечаниеПустое множество является подмножеством любого множестваОперации над множествами.„ V – основное или универсальное множество.„ 1) В планиметрии V =R2„ 2) Для функций действительной переменной V = R.„ Определение 1.3.

Объединением множеств A и B называется множествоA ⎩⎭ B, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотябы одному из множеств A или B (или обоим одновременно).def{A∪ B = x x∈A∨ x∈B ∨ ( x∈ A∧ x∈B )}„Пример: A = {2,3,4,6}, B = {1,2,3,4,5,6} ⇒ A⎩⎭B = {1,2,3,4,5,6}.Диаграмма Эйлера-ВеннаA ⎩⎭ BVABСвойства объединения множеств.„ 1) A ⎩⎭ B = B ⎩⎭ A(коммутативность),„ 2) A ⎩⎭ ( B ⎩⎭ C ) = ( A ⎩⎭ B ) ⎩⎭ C (ассоциативность).„ Очевидно„ A ⎩⎭ A = A,A ⎩⎭ ∅ =A,A ⎩⎭ V = V.Определение 1.4.„ Пересечением множеств A и B называется множество A ⎧⎫ B, состоящееиз всех тех и только тех элементов, каждый из которых принадлежитобоим множествам одновременно.„ A ⎧⎫ B = { x ⏐ x ∈ A ∧ x ∈ B }.Диаграмма Эйлера-ВеннаVAA ⎧⎫ BBСвойства пересечения множеств.„ 1) A ⎧⎫ B = B ⎧⎫ A(коммутативность),„ 2) A ⎧⎫ ( B ⎧⎫ C ) = ( A ⎧⎫ B ) ⎧⎫ C (ассоциативность).„ Очевидно, что„ A ⎧⎫ A = A,A ⎧⎫ ∅ = ∅,A ⎧⎫ V = A.„ Операции объединения и пересечения подчиняются дистрибутивнымзаконам:„ A ⎧⎫ ( B ⎩⎭ C ) = ( A ⎧⎫ B ) ⎩⎭ ( A ⎧⎫ C ),„ A ⎩⎭ ( B ⎧⎫ C ) = ( A ⎩⎭ B ) ⎧⎫ ( A ⎩⎭ C ).Определение 1.5.„ Разностью двух множеств B и A называется множество B \ A, состоящееиз всех тех и только тех элементов, которые принадлежат B, но непринадлежат A.„B \ A = { x ⏐ x ∈ B ∧ x ∉ A }.Диаграмма Эйлера-ВеннаVABB\AОпределение 1.6.„ Разность V \ A называется дополнением множества A до„ универсального множества V и обозначается„ Примеры:defA = V \ A ={ x | x∉ A }.A ∪ A =V ; A ∩ A = ∅ ;∅ =V ;V =∅.A = A;AДиаграмма Эйлера-ВеннаVAAОпределение 1.7.„ Пара элементов ( x ; y ), x ∈ A, y ∈ B называется упорядоченной, еслиуказан порядок записи элементов x и y.„ Считается, что( x ; y ) =( x ; y ) ⇔ x = x , y = y .11221212Определение 1.8.„ Декартовым произведением двух множеств A и B называетсямножество, обозначаемое A × B, состоящее из всевозможныхупорядоченных пар ( x ; y ).„ A × B = { ( x ; y ) | ∀ x ∈ A , ∀ y ∈ B }.y2B11A3xОтображение множеств.

Эквивалентностьмножеств.„ Пусть A и B - произвольные множества.„ Пусть f - закон (правило) по которому ∀ a ∈ A → b ∈ B.„ Говорят, что задано отображение f A в B или оператор f A в B.„ Обозначение: f : A → B илиfA → B.b – образ элемента a (обозначают f(a) );a – прообраз элемента b = f -1 (a).Определение отображения:„ f : A → B ⇔ ∀ a ∈ A ∃ b ∈ B : b = f ( a ).„ Множество образов всех элементов a ∈ A при отображении f называютобразом множества A при этом отображении и обозначают:„ f(A)={ f(a) | a∈A } ⊂ B.„ Задание отображения – это задание тройки ( A, f, B ).Множество упорядоченных пар (x, f(x)) - график отображенияОпределение 1.9Отображение называется инъекцией, если для любых элементов x1, x2 ∈ X,для которых f(x1) = f(x2) следует, что x1 = x2Сюръекцией (или отображением "на" ) называется отображение,при котором f(X) = YБиекция – это одновременно и сюръекция и инъекция, т.е., отображениеf : A → B называют биективным или взаимно однозначным, если каждыйэлемент b ∈ B является образом только одного элемента a ∈ A.AB„ f – взаимно однозначное отображение ⇔ ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A : b = f ( a )∀ a1 , a2 ∈ A a1 ≠ a2 ⇒ f ( a1 ) ≠ f ( a2 ) .„Если f - взаимно однозначное отображение, то можно говорить„об обратном отображении.Определение 1.10.Отображение f -1 : B→A называется обратным к отображениюf : A→B , если каждому элементу b ∈B ставится в соответствиеединственный элемент a ∈ A, образом которого при отображении fявляется bf.−1: B → A ⇔ ∀ b∈ B ∃1 a∈ A: a = f−1(b )Пример:ОRRf: R→RОпределение 1.11Два множества A и B называются эквивалентными(равномощными), если существует хотя бы одно взаимнооднозначное отображение одного множества на другое.Свойства эквивалентности:1) A ∼ A ∀ A(рефлексивность);2) A ∼ B ⇒ B ∼ A ∀ A, B(симметричность);3) A ∼ B, B ∼ C ⇒ A ∼ C ∀ A, B, C (транзитивность).Числовые множестваМножества, элементами которых являются числа, называются числовыми.Примерами числовых множеств являются:N = {1; 2; 3; ...; n; ...

} - множество натуральных чисел;Z = {0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} - множество целых чисел;Q = {m/n ; т ∈ Z, n ∈ N}- множество рациональных чисел.R - множество действительных чисел.Между этими множествами существует соотношениеN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.Множество натуральных чисел N.N = {1, 2, 3, …}.Свойства:1)∀ n1 , n2 ∈N ⇒ n1 + n2 ∈N , n1 ⋅ n2 ∈Nвыполняются: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность;2) деление и вычитание не определены;3) 1 ∈ N;4) n ∈ N ⇒ n + 1 ∈ N;5) если M ⊆ N, 1 ∈ M, n ∈ M и (n + 1) ∈ M, то M = N (аксиомаиндукции);Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел называетсясчетным.Если множество счетно, то его элементы можно занумеровать.Мощность счетного множества обозначают буквой алеф-нольМножество целых чисел ZZ = { …, -2, -1, 0, 1, 2, …}.Свойства:Определены операции сложения, умножения, вычитания; Не определеноделение;Z – упорядоченно, т.е.

имеет местоp1 < p2 ∨ p1 = p2 ∨ p1 > p2 ;Z – счетно и бесконечно;N ⊂ Z ⊂ Q.Множество рациональных чисел Q.Q = { q = p / n | p ∈ Z , n ∈ N }.Свойства:Определены все арифметические операции;Q – упорядоченно;Q – плотно, т. е.∀ q1 , q2 ∈Q ∃ q∈Q : q1 < q < q2 .Q – счетно и бесконечно;N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.Множество действительных чисел R.„„„Свойства:R – упорядоченно;R –бесконечно;Множество R плотное: между любыми двумя различными числами а и bсодержится бесконечное множество действительных чисел х, т.

е. чисел,удовлетворяющих неравенству а < х < b.Множество R непрерывное.Пусть множество R разбито на два непустых класса А и В таких, что каждоедействительное число содержится только в одном классе и для каждой парычисел а ∈ А и b ∈ В выполнено неравенство а <b.Тогда (свойство непрерывности) существуетединственное число с, удовлетворяющее неравенствуОно отделяет числа класса А от чисел класса В, Число с является либонаибольшим числом в классе А (тогда в классе В нет наименьшего числа),либо наименьшим числом в классе В (тогда в классе А нет наибольшего).Это позволяет установить взаимно-однозначное соответствие междумножеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямойМощность множества R (мощность континуума) обозначают буквой с.