1610907571-90116e815b41bd591255de5210065857 (Глоссарий Старовойтов)

Математический анализ1Лектор - проф. В. Н. Старовойтов1-й семестрГлава 1. Множества и отображения.§ 1. Множество и его элементы.При абсолютно строгом подходе множество определяется как некоторый объект, удовлетворяющий набору аксиом. Мы не будем этого делать, а ограничимся так называемой“наивной теорией множеств”, которая опирается на наш повседневный опыт. Определиммножество как совокупность различимых объектов произвольной природы, рассматриваемую как единое целое.

Сами объекты называются элементами множества. Вообщеговоря, это определение неприемлемо, так как опирается на понятие “совокупность”, которое, фактически, является синонимом понятия “множество”. В оправдание скажем, чтослово “множество” будет использоваться, как зафиксированный математический термин,а “совокупность” — слово, призванное объяснить этот термин. Как бы то ни было, будемсчитать, что нам известны понятия “множество” и “элемент множества”.

В качестве синонимов термина “множество” мы также будем использовать термины “класс”, “семейство”,“набор” и другие. Употребление этих терминов с одной стороны является данью традиции,с другой — призвано избежать парадоксов наивной теории множеств.Для обозначения множеств мы будем использовать в этой главе прописные буквы латинского алфавита (A, B, C, . . . ), а для элементов — строчные (a, b, c, . . .

). Тот факт, чтообъект x является элементом некоторого множества A, на математическом языке записывается следующим образом: x ∈ A. Если же x не является элементом A, то пишут x 6∈ Aили x∈A. Мы будем использовать первое из этих обозначений. Два множества A и Bравны (A = B), если они состоят из одних и тех же элементов.Если каждый элемент множества A является также элементом множества B, то говорят, что A является подмножеством множества B (A ⊂ B).

A является собственнымподмножеством B (A b B), если A ⊂ B и A 6= B (A не равно B).Свойства:1) A ⊂ A;2) если A ⊂ B и B ⊂ A, то A = B;3) если A ⊂ B и B ⊂ C, то A ⊂ C.Операции над множествами A и B:1) пересечение A ∩ B есть множество тех элементов множества A, которые принадлежатB;2) объединение A ∪ B есть множество объектов, которые содержатся хотя бы в одном измножеств A и B;3) разность A \ B есть множество элементов A, не входящих в B;4) симметрическая разность A4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).Свойства:1) A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A (симметричность);1c В.Н.Старовойтов12) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (ассоциативность);3) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (дистрибутивность);4) A4B = (A \ B) ∪ (B \ A).Пусть M — множество, A и B — его подмножества.

Множество CM A = M \ A называетсядополнением A в M .Законы де Моргана: CM (A ∩ B) = CM A ∪ CM B, CM (A ∪ B) = CM A ∩ CM B.Способы задания множеств:1) перечисление (A = {м, а, т, е, и, к} — множество букв в слове «математика»);2) пусть P — какое-то свойство, P(x) означает, что x обладает свойством P. Тогда A ={x | P(x)} — множество объектов, обладающих свойством P, B = {x ∈ M | P(x)} — множество элементов множества M , обладающих свойством P.Пустое множество ∅ — множество, не содержащее элементов. Свойства пустого множества:1) ∅ ⊂ A для любого множества A;2) CM ∅ = M , CM M = ∅.Для записи математических утверждений часто бывает удобно пользоваться логическойсимволикой.

Утверждение (высказывание) есть повествовательное предложение, котороеможет быть либо истинным, либо ложным.Пусть A и B — утверждения, тогда:утверждение qA (не A) истинно тогда и только тогда, когда A ложно;утверждение A ∧ B (A и B) истинно тогда и только тогда, когда A и B истинны;утверждение A ∨ B (A или B) истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из утверждений A и B истинно;утверждение A ⇒ B (A влечет B, из A следует B) истинно тогда и только тогда, когдаистинно qA ∨ B;утверждение A ⇔ B (A равносильно B) истинно тогда и только тогда, когда истинно(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A).Кванторы:∀ — «для любого», «для всех» (квантор всеобщности),∃ — «существует» (квантор существования),∃ ! — «существует единственный».Примеры.1) A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)};2) A ⊂ B есть утверждение (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B);3) A ∩ B 6= ∅ есть утверждение (∃x)(x ∈ A ∧ x ∈ B).•Отрицание утверждения: пусть A и B — утверждения, тогдаq(A ∧ B) = (qA) ∨ (qB),q(A ∨ B) = (qA) ∧ (qB),q((∀x)A(x)) = (∃x)(qA(x)),q((∃x)A(x)) = (∀x)(qA(x)),q(A ⇒ B) = A ∧ (qB).§ 2.

Отображения.Пусть X и Y — множества. Нестрого говоря, отображение множества X в множество Yесть правило (или закон), согласно которому каждому элементу множества X ставится в2соответствие один элемент множества Y . При этом X называется областью определенияотображения. В качестве синонимов термина «отображение» мы, в зависимости от ситуации, будем использовать термины «функция», «преобразование», «оператор» и другие.Декартовым произведением X ×Y множеств X и Y называется множество упорядоченныхпар (x, y), где x ∈ X и y ∈ Y .

Если дано n множеств X1 , . . . , Xn , то определим X1 ×X2 ×· · ·×Xn , как множество всех упорядоченных наборов (x1 , x2 , . . . , xn ), где x1 ∈ X1 , . . . , xn ∈ Xn .Определение. Отображением множества X в множество Y называется подмножествоG декартова произведения X × Y , такое, что ∀x ∈ X ∃ !y ∈ Y | (x, y) ∈ G.•FОтображение F обозначается F : X → Y или X → Y . Область определения отображенияF мы будем обозначать через dom F . Если x ∈ dom F , то F (x) ∈ Y есть образ элемента xпри отображении F .

Если A ⊂ dom F , то F (A) = {y ∈ Y | (∃x ∈ A)(y = F (x))} есть образмножества A при отображении F . Множество im F = F (dom F ) называется множествомзначений отображения F . Если B ⊂ Y , то множество F −1 (B) = {x ∈ dom F | F (x) ∈ B}называется прообразом множества B при отображении F . Очевидно, что F −1 (im F ) =dom F .Определение. Отображение F : X → Y называется сюръективным (или накрывающим), если im F = Y , т.е. ∀y ∈ Y ∃ x ∈ X | F (x) = y.Отображение F : X → Y называется инъективным (или взаимно-однозначным), если(∀x1 , x2 ∈ X)(x1 6= x2 ⇒ F (x1 ) 6= F (x2 )).Отображение F : X → Y называется биективным, если оно сюръективно и инъективно.•Два отображения F1 и F2 называются равными (пишется F1 = F2 ), если dom F1 = dom F2и F1 (x) = F2 (x) для всех x из области определения этих отображений.Пусть даны два отображения G : X → Y и F : Y → Z.

Суперпозицией (или композицией)отображений G и F называется отображение F ◦ G : X → Z, такое, что (∀x ∈ X) (F ◦G)(x) = F (G(x)) ∈ Z.Отображение IX : X → X, такое, что IX (x) = x для всех x ∈ X, называется тождественным.Отображение F : X → Y называется постоянным, если существует y ∈ Y , такое, чтоF (x) = y для всех x ∈ X.Определение. Отображение G : Y → X называется обратным к отображению F : X →Y , если F ◦ G = IY и G ◦ F = IX . Обратное к F отображение обозначается F −1 .•Лемма.

Пусть даны отображения F : X → Y и G : Y → X. Если F ◦ G = IY , то F —сюръекция, а G — инъекция.•Теорема. Для того, чтобы отображение имело обратное, необходимо и достаточно, чтобыоно было биективным.•Утверждение. Если обратное отображение существует, то оно единственно.•Пусть заданы отображения F1 : X1 → Y и F2 : X2 → Y . Если X1 ⊂ X2 и F1 (x) = F2 (x)для всех x ∈ X1 , то F1 называется сужением отображения F2 , а F2 — продолжениемотображения F1 .3Глава 2. Числовые системы.§ 1. Вещественные числа.Если X — непустое множество, то любое отображение множества X × X в X называется бинарной операцией на X.

Введём две бинарные операции, называемые сложением иумножением. Если x и y — элементы некоторого множества, то результат применения кним этих операций традиционно обозначается через x + y и xy (или x · y) соответственно.При этом x + y называется суммой, а xy — произведением элементов x и y.Определение.

Непустое множество X называется полем, если на нём определены две бинарные операции, называемые сложением и умножением, которые обладают следующимисвойствами:S1. (закон ассоциативности для сложения)если x, y, z ∈ X, то x + (y + z) = (x + y) + z;S2. (существование нуля)существует элемент 0 ∈ X, такой, что x + 0 = 0 + x = x для всех x ∈ X;S3. (существование противоположного элемента)для каждого x ∈ X существует элемент (−x) ∈ X, такой, что x + (−x) = (−x) + x = 0;S4.

(закон коммутативности для сложения)если x, y ∈ X, то x + y = y + x.M1. (закон ассоциативности для умножения)если x, y, z ∈ X, то x(yz) = (xy)z;M2. (существование единицы)существует элемент 1 ∈ X, такой, что 1 6= 0 и x · 1 = 1 · x = x для всех x ∈ X;M3. (существование обратного элемента) для каждого x ∈ X \ {0} существует элемент111∈ X, такой, что x · = · x = 0;xxxM4. (закон коммутативности для умножения) если x, y ∈ X, то xy = yx.D. (закон дистрибутивности) если x, y, z ∈ X, то x(y + z) = xy + xz.•Бинарная операция x + (−y) называется вычитанием, а её результат, называемый разностью элементов x и y, обычно записывают короче: x − y. Обратный элемент, введённыйв свойстве M3, обозначается также через x−1 или 1/x. Бинарная операция x · (1/y) = xy −1xназывается делением.

Её результат, как правило, обозначают выражением(или x/y),yкоторое называется дробью (или частным элементов x и y). При этом x называется числителем дроби, а y — знаменателем.Определение. Поле X называется упорядоченным, если оно содержит подмножество X+ ,такое, чтоP1. если x, y ∈ X+ , то x + y ∈ X+ и xy ∈ X+ ;4P2. для каждого x ∈ X реализуется одна и только одна из следующих трёх возможностей:x ∈ X+ , x = 0, (−x) ∈ X+ .•Элемент x поля X называется положительным, если x ∈ X+ , и отрицательным, если(−x) ∈ X+ .Пусть x и y — элементы упорядоченного поля X.

Введём следующие обозначения:x > y (элемент x больше элемента y) ⇔ (x − y) ∈ X+ ;x > y (элемент x больше или равен элементу y) ⇔ ((x − y) ∈ X+ или x = y);x < y (элемент x меньше элемента y) ⇔ (y − x) ∈ X+ ;x 6 y (элемент x меньше или равен элементу y) ⇔ ((y − x) ∈ X+ или x = y).Мы будем использовать короткую запись вида a < x < b, равносильную двум неравенствам: a < x и x < b.