1610907571-6fe73e068368dd3ebacff69ec111f514 (реферат Старовойтов)

Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç1Ëåêòîð - ïðîô. Â. Í. Ñòàðîâîéòîâ1-é ñåìåñòðÃëàâà 1. Ìíîæåñòâà è îòîáðàæåíèÿ.Ÿ 1. Ìíîæåñòâî è åãî ýëåìåíòû.Ïðè àáñîëþòíî ñòðîãîì ïîäõîäå ìíîæåñòâî îïðåäåëÿåòñÿ êàê íåêîòîðûé îáúåêò, óäîâëåòâîðÿþùèé íàáîðó àêñèîì. Ìû íå áóäåì ýòîãî äåëàòü, à îãðàíè÷èìñÿ òàê íàçûâàåìîéíàèâíîé òåîðèåé ìíîæåñòâ, êîòîðàÿ îïèðàåòñÿ íà íàø ïîâñåäíåâíûé îïûò. Îïðåäåëèììíîæåñòâî êàê ñîâîêóïíîñòü ðàçëè÷èìûõ îáúåêòîâ ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû, ðàññìàòðè-âàåìóþ êàê åäèíîå öåëîå. Ñàìè îáúåêòû íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà. Âîîáùåãîâîðÿ, ýòî îïðåäåëåíèå íåïðèåìëåìî, òàê êàê îïèðàåòñÿ íà ïîíÿòèå ñîâîêóïíîñòü, êîòîðîå, ôàêòè÷åñêè, ÿâëÿåòñÿ ñèíîíèìîì ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâî.  îïðàâäàíèå ñêàæåì, ÷òîñëîâî ìíîæåñòâî áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ, êàê çàôèêñèðîâàííûé ìàòåìàòè÷åñêèé òåðìèí,à ñîâîêóïíîñòü ñëîâî, ïðèçâàííîå îáúÿñíèòü ýòîò òåðìèí.

Êàê áû òî íè áûëî, áóäåìñ÷èòàòü, ÷òî íàì èçâåñòíû ïîíÿòèÿ ìíîæåñòâî è ýëåìåíò ìíîæåñòâà.  êà÷åñòâå ñèíîíèìîâ òåðìèíà ìíîæåñòâî ìû òàêæå áóäåì èñïîëüçîâàòü òåðìèíû êëàññ, ñåìåéñòâî,íàáîð è äðóãèå. Óïîòðåáëåíèå ýòèõ òåðìèíîâ ñ îäíîé ñòîðîíû ÿâëÿåòñÿ äàíüþ òðàäèöèè,ñ äðóãîé ïðèçâàíî èçáåæàòü ïàðàäîêñîâ íàèâíîé òåîðèè ìíîæåñòâ.Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â ýòîé ãëàâå ïðîïèñíûå áóêâû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà (A,B, C ,.

. . ), à äëÿ ýëåìåíòîâ ñòðî÷íûå (a,b , c,. . . ). Òîò ôàêò, ÷òîx ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà A, íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: x ∈ A. Åñëè æå x íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì A, òî ïèøóò x ̸∈ Aèëè x∈A. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïåðâîå èç ýòèõ îáîçíà÷åíèé. Äâà ìíîæåñòâà A è Bðàâíû (A = B ), åñëè îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå ýëåìåíòîâ.Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A ÿâëÿåòñÿ òàêæå ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B , òî ãîâîðÿò, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B (A ⊂ B ). A ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûìïîäìíîæåñòâîì B (A b B ), åñëè A ⊂ B è A ̸= B (A íå ðàâíî B ).îáúåêòÑâîéñòâà:1)A ⊂ A;åñëè A ⊂ Båñëè A ⊂ BB ⊂ A, òî A = B ;3)è B ⊂ C , òî A ⊂ C .Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè A è B :1) ïåðåñå÷åíèå A ∩ B åñòü ìíîæåñòâî òåõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A, êîòîðûå ïðèíàäëåæàòB;2) îáúåäèíåíèå A ∪ B åñòü ìíîæåñòâî îáúåêòîâ, êîòîðûå ñîäåðæàòñÿ õîòÿ áû â îäíîì èçìíîæåñòâ A è B ;3) ðàçíîñòü A \ B åñòü ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ A, íå âõîäÿùèõ â B ;4) ñèììåòðè÷åñêàÿ ðàçíîñòü A△B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).2)èÑâîéñòâà:1)A ∩ B = B ∩ A, A ∪ B = B ∪ A1⃝c(ñèììåòðè÷íîñòü );Â.Í.Ñòàðîâîéòîâ1A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C , A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (àññîöèàòèâíîñòü );3) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (äèñòðèáóòèâíîñòü );4) A△B = (A \ B) ∪ (B \ A).Ïóñòü M ìíîæåñòâî, A è B åãî ïîäìíîæåñòâà.

Ìíîæåñòâî CM A = M \ A íàçûâàåòñÿäîïîëíåíèåì A â M .Çàêîíû äå Ìîðãàíà : CM (A ∩ B) = CM A ∪ CM B , CM (A ∪ B) = CM A ∩ CM B .2)Ñïîñîáû çàäàíèÿ ìíîæåñòâ:= {ì, à, ò, å, è, ê} ìíîæåñòâî áóêâ â ñëîâå ¾ìàòåìàòèêà¿);P êàêîå-òî ñâîéñòâî, P(x) îçíà÷àåò, ÷òî x îáëàäàåò ñâîéñòâîì P . Òîãäà A ={x | P(x)} ìíîæåñòâî îáúåêòîâ, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì P , B = {x ∈ M | P(x)} ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M , îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì P .Ïóñòîå ìíîæåñòâî ∅ ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå ýëåìåíòîâ. Ñâîéñòâà ïóñòîãî ìíîæå1) ïåðå÷èñëåíèå (A2) ïóñòüñòâà:1)2)∅ ⊂ A äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A;CM ∅ = M , CM M = ∅.Äëÿ çàïèñè ìàòåìàòè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé ÷àñòî áûâàåò óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ëîãè÷åñêîéñèìâîëèêîé. Óòâåðæäåíèå (âûñêàçûâàíèå ) åñòü ïîâåñòâîâàòåëüíîå ïðåäëîæåíèå, êîòîðîåìîæåò áûòü ëèáî èñòèííûì, ëèáî ëîæíûì.ÏóñòüAèB óòâåðæäåíèÿ, òîãäà:qA (íå A) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A ëîæíî;A ∧ B (A è B ) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A è B èñòèííû;óòâåðæäåíèå A ∨ B (A èëè B ) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû îäíî èç óòâåðæäåíèé A è B èñòèííî;óòâåðæäåíèå A ⇒ B (A âëå÷åò B , èç A ñëåäóåò B ) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàèñòèííî qA ∨ B ;óòâåðæäåíèå A ⇔ B (A ðàâíîñèëüíî B ) èñòèííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èñòèííî(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A).óòâåðæäåíèåóòâåðæäåíèåÊâàíòîðû :∀ ¾äëÿ ëþáîãî¿, ¾äëÿ âñåõ¿ (êâàíòîð âñåîáùíîñòè),∃ ¾ñóùåñòâóåò¿ (êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ),∃ ! ¾ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé¿.Ïðèìåðû.1)2)3)A ∩ B = {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)};A ⊂ B åñòü óòâåðæäåíèå (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B);A ∩ B ̸= ∅ åñòü óòâåðæäåíèå (∃x)(x ∈ A ∧ x ∈ B).Îòðèöàíèå óòâåðæäåíèÿ: ïóñòüq(A ∧ B) = (qA) ∨ (qB),q(A ∨ B) = (qA) ∧ (qB),q((∀x)A(x)) = (∃x)(qA(x)),q((∃x)A(x)) = (∀x)(qA(x)),q(A ⇒ B) = A ∧ (qB).AèB• óòâåðæäåíèÿ, òîãäàŸ 2.

Îòîáðàæåíèÿ.ÏóñòüXèY ìíîæåñòâà. Íåñòðîãî ãîâîðÿ, îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâàXâ ìíîæåñòâîåñòü ïðàâèëî (èëè çàêîí), ñîãëàñíî êîòîðîìó êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà2XYñòàâèòñÿ âñîîòâåòñòâèå îäèí ýëåìåíò ìíîæåñòâàY.Ïðè ýòîìXíàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿîòîáðàæåíèÿ.  êà÷åñòâå ñèíîíèìîâ òåðìèíà ¾îòîáðàæåíèå¿ ìû, â çàâèñèìîñòè îò ñèòóàöèè, áóäåì èñïîëüçîâàòü òåðìèíû ¾ôóíêöèÿ¿, ¾ïðåîáðàçîâàíèå¿, ¾îïåðàòîð¿ è äðóãèå.Äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåìX ×YìíîæåñòâXèïàð(x, y), ãäå x ∈ XXn ,êàê ìíîæåñòâî âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ íàáîðîâÎïðåäåëåíèå.GèYíàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõy ∈ Y .

Åñëè äàíî n ìíîæåñòâ X1 , . . . , Xn , òî îïðåäåëèì X1 ×X2 ×· · ·×(x1 , x2 , . . . , xn ), ãäå x1 ∈ X1 , . . . , xn ∈ Xn .X â ìíîæåñòâî Y íàçûâàåòñÿ÷òî ∀x ∈ X ∃ !y ∈ Y | (x, y) ∈ G.Îòîáðàæåíèåì ìíîæåñòâàäåêàðòîâà ïðîèçâåäåíèÿX ×Y,òàêîå,ïîäìíîæåñòâî•FF : X → Y èëè X → Y . Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ îòîáðàæåíèÿF ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç dom F . Åñëè x ∈ dom F , òî F (x) ∈ Y åñòü îáðàç ýëåìåíòà xïðè îòîáðàæåíèè F . Åñëè A ⊂ dom F , òî F (A) = {y ∈ Y | (∃x ∈ A)(y = F (x))} åñòü îáðàçìíîæåñòâà A ïðè îòîáðàæåíèè F . Ìíîæåñòâî im F = F (dom F ) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì−1çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ F .

Åñëè B ⊂ Y , òî ìíîæåñòâî F(B) = {x ∈ dom F | F (x) ∈ B}−1íàçûâàåòñÿ ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà B ïðè îòîáðàæåíèè F . Î÷åâèäíî, ÷òî F(im F ) =dom F .ÎòîáðàæåíèåFîáîçíà÷àåòñÿF : X → Y íàçûâàåòñÿ ñþðúåêòèâíûì (èëè íàêðûâàþùèì ), åñëè im F = Y , ò.å. ∀y ∈ Y ∃ x ∈ X | F (x) = y .Îòîáðàæåíèå F : X → Y íàçûâàåòñÿ èíúåêòèâíûì (èëè âçàèìíî-îäíîçíà÷íûì ), åñëè(∀x1 , x2 ∈ X)(x1 ̸= x2 ⇒ F (x1 ) ̸= F (x2 )).Îòîáðàæåíèå F : X → Y íàçûâàåòñÿ áèåêòèâíûì, åñëè îíî ñþðúåêòèâíî è èíúåêòèâíî.•Îïðåäåëåíèå.ÎòîáðàæåíèåÄâà îòîáðàæåíèÿèF1 (x) = F2 (x)F1äëÿF2 íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè (ïèøåòñÿ F1 = F2 ), åñëè dom F1 = dom F2âñåõ x èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ýòèõ îòîáðàæåíèé.èîòîáðàæåíèéF : Y → Z .

Ñóïåðïîçèöèåé (èëè êîìïîçèöèåé )îòîáðàæåíèå F ◦ G : X → Z , òàêîå, ÷òî (∀x ∈ X) (F ◦ÎòîáðàæåíèåIX : X → X , òàêîå, ÷òî IX (x) = x äëÿ âñåõ x ∈ X , íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåí-Ïóñòü äàíû äâà îòîáðàæåíèÿG:X→YG è F íàçûâàåòñÿG)(x) = F (G(x)) ∈ Z .èíûì.ÎòîáðàæåíèåF (x) = yF : X → Yx ∈ X.íàçûâàåòñÿ ïîñòîÿííûì, åñëè ñóùåñòâóåòy ∈ Y,òàêîå, ÷òîäëÿ âñåõG : Y → X íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ê îòîáðàæåíèþ F : X →G ◦ F = IX . Îáðàòíîå ê F îòîáðàæåíèå îáîçíà÷àåòñÿ F −1 .•Îïðåäåëåíèå.

ÎòîáðàæåíèåY,åñëèF ◦ G = IYèËåììà. Ïóñòü äàíû îòîáðàæåíèÿñþðúåêöèÿ, àGF :X →YèG : Y → X.ÅñëèF ◦ G = IY , èíúåêöèÿ.òîF•Òåîðåìà. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îòîáðàæåíèå èìåëî îáðàòíîå, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáûîíî áûëî áèåêòèâíûì.•Óòâåðæäåíèå. Åñëè îáðàòíîå îòîáðàæåíèå ñóùåñòâóåò, òî îíî åäèíñòâåííî.•Ïóñòü çàäàíû îòîáðàæåíèÿäëÿ âñåõx ∈ X1 ,F1 .òîF1F1 : X1 → YèF2 : X2 → Y .íàçûâàåòñÿ ñóæåíèåì îòîáðàæåíèÿîòîáðàæåíèÿ3X1 ⊂ X2 è F1 (x) = F2 (x)F2 , à F2 ïðîäîëæåíèåìÅñëèÃëàâà 2. ×èñëîâûå ñèñòåìû.Ÿ 1.

Âåùåñòâåííûå ÷èñëà.XÅñëè íåïóñòîå ìíîæåñòâî, òî ëþáîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâàñÿ áèíàðíîé îïåðàöèåé íàóìíîæåíèåì. ÅñëèxyèX.x+yâXíàçûâàåò-Ââåä¼ì äâå áèíàðíûå îïåðàöèè, íàçûâàåìûå ñëîæåíèåì è ýëåìåíòû íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà, òî ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ êíèì ýòèõ îïåðàöèé òðàäèöèîííî îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåçÏðè ýòîìX ×Xíàçûâàåòñÿ ñóììîé, àÎïðåäåëåíèå. Íåïóñòîå ìíîæåñòâîxyXx+yèxy(èëèx · y ) ñîîòâåòñòâåííî.x è y. ïðîèçâåäåíèåì ýëåìåíòîâíàçûâàåòñÿ ïîëåì, åñëè íà í¼ì îïðåäåëåíû äâå áè-íàðíûå îïåðàöèè, íàçûâàåìûå ñëîæåíèåì è óìíîæåíèåì, êîòîðûå îáëàäàþò ñëåäóþùèìèñâîéñòâàìè:S1.

(çàêîí àññîöèàòèâíîñòè äëÿ ñëîæåíèÿ )åñëèS2. (x, y, z ∈ X ,x + (y + z) = (x + y) + z ;òîñóùåñòâîâàíèå íóëÿ )ñóùåñòâóåò ýëåìåíòS3. (òàêîé, ÷òîx+0=0+x=xäëÿ âñåõx ∈ X;ñóùåñòâîâàíèå ïðîòèâîïîëîæíîãî ýëåìåíòà)äëÿ êàæäîãîS4. (0 ∈ X,x∈Xñóùåñòâóåò ýëåìåíò(−x) ∈ X , òàêîé, ÷òî x + (−x) = (−x) + x = 0;çàêîí êîììóòàòèâíîñòè äëÿ ñëîæåíèÿ )åñëèM1. (x, y ∈ X ,x + y = y + x.çàêîí àññîöèàòèâíîñòè äëÿ óìíîæåíèÿ )åñëèM2. (òîx, y, z ∈ X ,òîx(yz) = (xy)z ;ñóùåñòâîâàíèå åäèíèöû )ñóùåñòâóåò ýëåìåíòM3. (1 ∈ X,òàêîé, ÷òî1 ̸= 0èx·1=1·x=xäëÿ âñåõx ∈ X;ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîãî ýëåìåíòà) äëÿ êàæäîãî x ∈ X \ {0} ñóùåñòâóåò ýëåìåíò1∈ X,xòàêîé, ÷òîx·11= · x = 0;xxçàêîí êîììóòàòèâíîñòè äëÿ óìíîæåíèÿ ) åñëè x, y ∈ X , òî xy = yx.(çàêîí äèñòðèáóòèâíîñòè ) åñëè x, y, z ∈ X , òî x(y + z) = xy + xz .M4.