1610907571-36e3f575257a676840d3e26253e93500 (Избранные вопросы Старовойтов)

Èçáðàííûå âîïðîñû àíàëèçà×èñëîâûå ñèñòåìûÂ.Í. Ñòàðîâîéòîâc⃝Â.Í.Ñòàðîâîéòîâ, 2015Îãëàâëåíèå123456Ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Ïîíÿòèå ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . .1.2 Îòíîøåíèÿ ìåæäó ìíîæåñòâàìè . . . . . .1.3 Ëîãè÷åñêàÿ ñèìâîëèêà . . . . . . . . . . .1.4 Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè . . . . . . . .Îòîáðàæåíèÿ . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Âåùåñòâåííûå ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Ïîëå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Ïîëå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë . . . . . . . . .3.3 Âàæíåéøèå êëàññû âåùåñòâåííûõ ÷èñåë .3.4 Ïîçèöèîííûå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ . . . . .×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1 Ïîíÿòèå ÷èñëîâîé ïðÿìîé .

. . . . . . . .4.2 Òîïîëîãè÷åñêèå àñïåêòû ÷èñëîâîé ïðÿìîé4.3 ×èñëîâàÿ îêðóæíîñòü . . . . . . . . . . . .Êîìïëåêñíûå ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . . .Êàðäèíàëüíûå ÷èñëà . . . . . . . . . . . . . . . .6.1 Ìîùíîñòü ìíîæåñòâà . .

. . . . . . . . . .6.2 Ñ÷¼òíûå ìíîæåñòâà . . . . . . . . . . . . .6.3 Ìíîæåñòâà ìîùíîñòè êîíòèíóóìà . . . . .2................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................33457811111318242727283134373740421 Ìíîæåñòâà1.1Ïîíÿòèå ìíîæåñòâàÏîíÿòèå ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïåðâîíà÷àëüíûõ â ìàòåìàòèêå, ïîýòîìó åãî ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ñâÿçàíî ñ íåêîòîðûìè òðóäíîñòÿìè.

Âñåãäà, îïðåäåëÿÿ íîâûé îáúåêò, ìûîïèðàåìñÿ íà óæå èçâåñòíûå, ââåä¼ííûå ðàíåå ïîíÿòèÿ. Íî êàê áûòü ñ îáúåêòàìè, êîòîðûåíàõîäÿòñÿ â ñàìîì íà÷àëå ýòîé öåïî÷êè îïðåäåëåíèé? Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïîíÿòèåìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ èíòóèòèâíî ÿñíûì è íå íóæäàåòñÿ â îïðåäåëåíèè, îäíàêî áûë ïîñòðîåí ðÿä ïðèìåðîâ ìíîæåñòâ, ñàìî îïðåäåëåíèå êîòîðûõ ñîäåðæèò â ñåáå ïðîòèâîðå÷èå.(Ïàðàäîêñ áðàäîáðåÿ)  ãîðîäå Í åñòü òîëüêî îäèí áðàäîáðåé è îí áðååòâñåõ òåõ (è òîëüêî òåõ), êòî íå áðååòñÿ ñàì. Íî òîãäà íà âîïðîñ î òîì, êòî æå áðååò ñàìîãîáðàäîáðåÿ, íåâîçìîæíî îòâåòèòü.

È ïðè÷èíà ýòîãî êðîåòñÿ íå â íàøåé íåäîñòàòî÷íîéîñâåäîìëåííîñòè, à â ïðîòèâîðå÷èâîñòè ôîðìóëèðîâêè. Ñîîòâåòñòâåííî, íåêîððåêòíûìáóäåò è îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà âñåõ òåõ ëþäåé èç ãîðîäà Í, êòî íå áðååòñÿ ñàì. Õîòÿ íàÿçûêå ïîâñåäíåâíîãî îáùåíèÿ ýòî îïðåäåëåíèå è âûãëÿäèò âïîëíå ïðèåìëåìûì, åãî íåëüçÿèñïîëüçîâàòü â ñòðîãèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ.•Ïðèìåð 1.1.Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëíîñòüþ èñêëþ÷èòü ïîäîáíûå ïàðàäîêñû, ìíîæåñòâî îïðåäåëÿåòñÿêàê îáúåêò, óäîâëåòâîðÿþùèé íåêîòîðîìó íàáîðó àêñèîì. Àêñèîìàòè÷åñêèé ïîäõîä âñåãäàïðèìåíÿåòñÿ â ñèòóàöèÿõ, êîãäà íå íà ÷òî îïåðåòüñÿ ïðè ââåäåíèè íîâîãî ïîíÿòèÿ.

Ìûâîñïîëüçóåìñÿ ýòèì ïîäõîäîì äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë. Ñëåäóåò ïðèçíàòü,÷òî ïðè ýòîì íàãëÿäíîñòü ïðèíîñèòñÿ â æåðòâó ñòðîãîñòè. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ìû íå áóäåìçëîóïîòðåáëÿòü àêñèîìàòè÷åñêèì ïîäõîäîì è äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà îãðàíè÷èìñÿòàê íàçûâàåìîé ¾íàèâíîé òåîðèåé ìíîæåñòâ¿, êîòîðàÿ îïèðàåòñÿ íà íàø ïîâñåäíåâíûéîïûò. Ïðè ýòîì ìû ïîñòàðàåìñÿ áûòü ìàêñèìàëüíî îñòîðîæíûìè â ôîðìóëèðîâêàõ.Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî êàê ñîâîêóïíîñòü ðàçëè÷èìûõ îáúåêòîâ ïðîèçâîëüíîé ïðèðîäû, ðàññìàòðèâàåìóþ êàê åäèíîå öåëîå. Ñàìè îáúåêòû íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà.

Âîîáùå ãîâîðÿ, ýòî îïðåäåëåíèå íåïðèåìëåìî, òàê êàê îïèðàåòñÿ íà ïîíÿòèå ¾ñîâîêóïíîñòü¿, êîòîðîå, ôàêòè÷åñêè, ÿâëÿåòñÿ ñèíîíèìîì ïîíÿòèÿ ¾ìíîæåñòâî¿.  îïðàâäàíèåñêàæåì, ÷òî ñëîâî ¾ìíîæåñòâî¿ ìû çäåñü èñïîëüçîâàëè, êàê îïðåäåëÿåìûé ìàòåìàòè÷åñêèé òåðìèí, à ¾ñîâîêóïíîñòü¿ êàê ñëîâî ðóññêîãî ÿçûêà, ïðèçâàííîå îáúÿñíèòü ýòîòòåðìèí. Êàê áû òî íè áûëî, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàì èçâåñòíû ïîíÿòèÿ ¾ìíîæåñòâî¿ è¾ýëåìåíò ìíîæåñòâà¿. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ìíîæåñòâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü â ýòîé ãëàâåïðîïèñíûå áóêâû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà (A, B , C , .

. . ), à äëÿ ýëåìåíòîâ ñòðî÷íûå (a, b,c, . . . ). Òîò ôàêò, ÷òî íåêîòîðûé îáúåêò x ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A, íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: x ∈ A. Åñëè æå x íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîìA, òî ïèøóò x ̸∈ A èëè x∈A. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïåðâîå èç ýòèõ îáîçíà÷åíèé. êà÷åñòâå ñèíîíèìîâ òåðìèíà ¾ìíîæåñòâî¿ ìû òàêæå áóäåì èñïîëüçîâàòü òåðìèíû¾êëàññ¿, ¾ñèñòåìà¿, ¾ñåìåéñòâî¿, ¾íàáîð¿ è äðóãèå. Óïîòðåáëåíèå òîãî èëè èíîãî èç ýòèõòåðìèíîâ ñ îäíîé ñòîðîíû ÿâëÿåòñÿ äàíüþ òðàäèöèè, ñ äðóãîé ïðèçâàíî èçáåæàòü ïàðàäîêñîâ íàèâíîé òåîðèè ìíîæåñòâ.

Ïðèâåä¼ì åù¼ îäèí ïðèìåð.Ïðîòèâîðå÷èâûì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ìíîæåñòâà âñåõ ìíîæåñòâ. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü A ìíîæåñòâî òåõ ìíîæåñòâ, êîòîðûå íå ñîäåðæàò ñåáÿ â êà÷åñòâå ñâîåãî ýëåìåíòà. Ïîïðîáóåì îòâåòèòü íà âîïðîñ, ÿâëÿåòñÿ ëè A ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A. Ïîëîæèòåëüíûì îòâåò áûòü íå ìîæåò â ñèëó îïðåäåëåíèÿ A.

Çíà÷èò, A íå ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîìÏðèìåð 1.2.3ìíîæåñòâà A. Íî â ýòîì ñëó÷àå, îïÿòü æå ñëåäóÿ îïðåäåëåíèþ, ìû ïîëó÷èì, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà A. Ïîëó÷èëè ïðîòèâîðå÷èå.•×òîáû èçáåæàòü ïîäîáíûõ ïàðàäîêñîâ è íå ïóòàòü ìíîæåñòâà ñ ýëåìåíòàìè, ëó÷øåèñïîëüçîâàòü äëÿ íèõ ðàçëè÷íûå òåðìèíû: ¾êëàññ òàêèõ-òî ìíîæåñòâ¿ èëè ¾ñåìåéñòâîòàêèõ-òî ìíîæåñòâ¿.Ñóùåñòâóåò äâà îñíîâíûõ ñïîñîáà îïèñàíèÿ ìíîæåñòâ:1◦. Åñëè ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ýëåìåíòîâ, òî ìîæíî ïðîñòî âñå ýòè ýëåìåíòû ïåðå÷èñëèòü, çàïèñàâ èõ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ ÷åðåç çàïÿòóþ. Íàïðèìåð, åñëèA åñòü ìíîæåñòâî áóêâ, ñîñòàâëÿþùèõ ñëîâî ¾ìàòåìàòèêà¿, òî A = {ì,à,ò,å,è,ê}. Çàìåòèì, ÷òî êàæäàÿ áóêâà âñòðå÷àåòñÿ â ôèãóðíûõ ñêîáêàõ òîëüêî îäèí ðàç (ýëåìåíòûìíîæåñòâà äîëæíû áûòü ðàçëè÷èìû).2◦. Ïóñòü P êàêîå-ëèáî ñâîéñòâî è çàïèñü P(x) îçíà÷àåò, ÷òî îáúåêò x îáëàäàåò ñâîéñòâîì P .

Òîò ôàêò, ÷òî A åñòü ìíîæåñòâî îáúåêòîâ, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì P , çàïèñûâàþò òàê: A = {x | P(x)}. Åñëè ìû äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáóåì, ÷òîáû ýòè îáúåêòûâûáèðàëèñü èç íåêîòîðîãî äðóãîãî ìíîæåñòâà B , òî çàïèøåì A = {x ∈ B | P(x)}. ×èòàåòñÿ ýòà çàïèñü òàê: ìíîæåñòâî A ñîñòîèò èç òåõ (è òîëüêî òåõ) ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâàB , êîòîðûå îáëàäàþò ñâîéñòâîì P . Âåðòèêàëüíàÿ ÷åðòà ÿâëÿåòñÿ îáîçíà÷åíèåì äëÿñëîâ ¾êîòîðûå¿ èëè ¾òàêèå, ÷òî¿.Ïðèìåð 1.3.à) Çàïèøåì íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå ôðàçó ¾Ïåòÿ ëþáèò ìîðêîâêó¿.

Ëþáèòü ìîðêîâêóìîãóò íå òîëüêî ëþäè, íî è æèâîòíûå. Ìû ïðåäïîëîæèì, ÷òî Ïåòÿ ÷åëîâåê. Îáîçíà÷èìÏåòþ ñèìâîëîì p, ìíîæåñòâî âñåõ ëþäåé ñèìâîëîì M , à ñâîéñòâî íåêîòîðîãî èíäèâèäàx (íå îáÿçàòåëüíî ÷åëîâåêà) ëþáèòü ìîðêîâêó ñèìâîëîì P(x). Òîãäà íàøà ôðàçà áóäåòâûãëÿäåòü òàê: p ∈ {x ∈ M | P(x)}.á) Ïóñòü A ìíîæåñòâî áóêâ ðóññêîãî àëôàâèòà. Òîãäà B = {x ∈ A | x ãëàñíàÿ} ìíîæåñòâî ãëàñíûõ áóêâ. Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ è ïåðâûìñïîñîáîì îïèñàíèÿ ìíîæåñòâ: B = {à, å, ¼, è, î, ó, û, ý, þ, ÿ}.•1.2Îòíîøåíèÿ ìåæäó ìíîæåñòâàìèÌíîæåñòâà A è B ðàâíû (îáîçíà÷åíèå: A = B ), åñëè îíè ñîñòîÿò èç îäíèõ è òåõ æå îáúåêòîâ. Âûðàæåíèå A ̸= B îçíà÷àåò, ÷òî ìíîæåñòâà A è B íå ðàâíû, òî åñòü íå âñå ýëåìåíòûîäíîãî èç íèõ ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè äðóãîãî. Ðàâåíñòâî åñòü îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòèìåæäó ìíîæåñòâàìè, òàê êàê îíî îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:1◦.

ðåôëåêñèâíîñòü (A = A);2◦. ñèììåòðè÷íîñòü (åñëè A = B , òî B = A);3◦. òðàíçèòèâíîñòü (åñëè A = B è B = C , òî A = C ).Åñëè êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà A ÿâëÿåòñÿ òàêæå ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà B , òî ãîâîðÿò, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B (èëè A ñîäåðæèòñÿ â B ). Ìû áóäåìîáîçíà÷àòü ýòîò ôàêò òàê: A ⊂ B . Ñêàæåì, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì ïîäìíîæåñòâîìB (îáîçíà÷åíèå: A b B ), åñëè A ⊂ B è A ̸= B .Î÷åâèäíî, ÷òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:41◦.

A ⊂ A;2◦. åñëè A ⊂ B è B ⊂ A, òî A = B ;3◦. åñëè A ⊂ B è B ⊂ C , òî A ⊂ C .Óäîáíî ââåñòè ìíîæåñòâî, ñîâñåì íå èìåþùåå ýëåìåíòîâ è íàçûâàåìîå ïóñòûì ìíîæåñòâîì. Äëÿ åãî îáîçíà÷åíèÿ èñïîëüçóåòñÿ ñèìâîë ∅. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïóñòîå ìíîæåñòâîÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ëþáîãî ìíîæåñòâà. Âïðî÷åì, ýòîò ôàêò ìîæåò áûòü äîêàçàí. Åãîäîêàçàòåëüñòâî áóäåò ïðèâåäåíî â ïðèìåðå 1.6 â êîíöå ñëåäóþùåãî ïóíêòà.1.3Ëîãè÷åñêàÿ ñèìâîëèêàÌàòåìàòè÷åñêèé òåêñò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óòâåðæäåíèé è èõ äîêàçàòåëüñòâ, äëÿ èçëîæåíèÿ êîòîðûõ ïîìèìî ñïåöèàëüíûõ ñèìâîëîâ ÷àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ îáû÷íûé ÿçûê. Èíîãäà, îäíàêî, áûâàåò ïîëåçíî çàïèñàòü òî èëè èíîå óòâåðæäåíèåôîðìàëüíûì ÿçûêîì.

Òàêàÿ ïîòðåáíîñòü ìîæåò âîçíèêíóòü, íàïðèìåð, åñëè ìû õîòèì ïîñòðîèòü îòðèöàíèå óòâåðæäåíèÿ, èìåþùåãî ñëîæíóþ ñòðóêòóðó. Êðîìå òîãî, â äëèííîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåñëîæíûõ óìîçàêëþ÷åíèé ëåã÷å ðàçîáðàòüñÿ, åñëè îíà íàïèñàíà áîëåå êîìïàêòíî. Ìû ââåä¼ì ñèìâîëû q, ∧, ∨, ⇒, ⇔, ∀, ∃, çàèìñòâîâàííûå èç ìàòåìàòè÷åñêîéëîãèêè, è ïîêàæåì, êàê ìîæíî ñ èõ ïîìîùüþ çàïèñûâàòü óòâåðæäåíèÿ.Óòâåðæäåíèå (âûñêàçûâàíèå ) åñòü ïîâåñòâîâàòåëüíîå ïðåäëîæåíèå, êîòîðîå ìîæåòáûòü ëèáî èñòèííûì, ëèáî ëîæíûì.

Ïóñòü A è B óòâåðæäåíèÿ, òîãäàóòâåðæäåíèå qA (íå A) èñòèííî, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A ëîæíî;óòâåðæäåíèå A ∧ B (A è B) èñòèííî, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A è B èñòèííû;óòâåðæäåíèå A ∨ B (A èëè B) èñòèííî, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû îäíî èçóòâåðæäåíèé A è B èñòèííî;óòâåðæäåíèå A ⇒ B (A âëå÷åò B, èç A ñëåäóåò B) îçíà÷àåò, ÷òî A èñòèííî òîëüêî òîãäà,êîãäà èñòèííî B;óòâåðæäåíèå A ⇔ B (A ðàâíîñèëüíî B) îçíà÷àåò, ÷òî èç èñòèííîñòè A ñëåäóåò èñòèííîñòüB è èç èñòèííîñòè B ñëåäóåò èñòèííîñòü A. ôîðìóëèðîâêàõ òåîðåì ÷àñòî èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå êîíñòðóêöèè: ¾åñëè A, òî B¿,¾äëÿ òîãî, ÷òîáû A, íåîáõîäèìî, ÷òîáû B¿, ¾äëÿ òîãî, ÷òîáû B, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû A¿,êîòîðûå îçíà÷àþò A ⇒ B, à òàêæå ¾A ñïðàâåäëèâî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà B¿, ¾äëÿòîãî, ÷òîáû A, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû B¿, îçíà÷àþùèå A ⇔ B.×òîáû èçáåæàòü ïóòàíèöû, èíîãäà ìû áóäåì çàêëþ÷àòü óòâåðæäåíèÿ â êðóãëûå ñêîáêè.

Íåñëîæíî âûâåñòè ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:1◦. q(qA) ⇔ A,2◦. q(A ∧ B) ⇔ (qA) ∨ (qB),3◦. q(A ∨ B) ⇔ (qA) ∧ (qB),4◦. (A ⇒ B) ⇔ (qA) ∨ B,5◦. q(A ⇒ B) ⇔ A ∧ (qB).5Óòâåðæäåíèå 1◦ èñïîëüçóåòñÿ â äîêàçàòåëüñòâàõ ¾îò ïðîòèâíîãî¿. Ýòîò ìåòîä äîêàçàòåëüñòâà îñíîâàí íà òîì, ÷òî åñëè qA ëîæíî, òî q(qA), à çíà÷èò, è A èñòèííî. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿëîæíîñòè qA îáû÷íî ïðåäïîëàãàþò åãî èñòèííîñòü è ïðèõîäÿò ê ïðîòèâîðå÷èþ.

Çàìåòèìòàêæå, ÷òî óòâåðæäåíèå 4◦ ïðîùå âûâåñòè èç 5◦, èñïîëüçóÿ ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:(qA ⇔ B) ⇔ (A ⇔qB).Ñèìâîëû ∀ è ∃ íàçûâàþòñÿ êâàíòîðàìè. Êâàíòîð âñåîáùíîñòè ∀ ñëóæèò ñîêðàùåíèåìñëîâ ¾äëÿ ëþáîãî¿, ¾äëÿ âñåõ¿, à êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ ∃ äëÿ ñëîâ ¾ñóùåñòâóåò¿, ¾íàéä¼òñÿ¿. Ìû èíîãäà áóäåì èñïîëüçîâàòü åù¼ îäíî ñîêðàùåíèå: ñèìâîë ∃! áóäåò îçíà÷àòü¾ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé¿.