Решение задач по векторному анализу и теории поля

В.М. ДОРОХОВРЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ВЕКТОРНОМУ АНАЛИЗУ И ТЕОРИИ ПОЛЯМОСКВА, 20152§1.ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ.ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ.1.Физическое поле. Физическим полем называется часть пространства иливсе пространство, в котором происходит физическое явление.2. Скалярное поле.Физическое поле называется скалярным, если физиче-ское явление, его образующее, характеризуется функцией f = f(x,y,z), зависящейтолько от координат точек пространства, в котором это явление происходит.Скалярное поле полностью определено заданием одной функции f(x,y,z) трехнезависимых переменных. Эта функция, независимо от ее физического смысла,называется потенциалом поля.Если физическое явление образовало скалярное поле, то каждой точкеP(x,y,z) пространства, в котором происходит это явление, ставится в соответствие определенное число, характеризующее данное явление в рассматриваемой точке.

Это число есть частное значение функции f(x,y,z), вычисленное вточке P (примерами скалярного поля являются: поле электростатического потенциала, давление в атмосфере).3. Поверхность уровня. Если однозначная функция соответствует скалярному полю, образованному физическим явлением, то поверхностью уровня этого поля называется поверхность, во всех точках которой функция f(x,y,z) сохраняет одно и тоже значение.Поверхность уровня определяется уравнениемf (x,y,z) = C,(1.1)где С – постоянная величина.3Придавая постоянной С различные числовые значения, получим семействоповерхностей уровня. Через каждую точку пространства проходит одна поверхность уровня.

Во всех точках поверхности уровня физическое явление протекает одинаково.Уравнение поверхности уровня, проходящей через точку P(x1 ,y1 ,z1), имеетвидf (x,y,z) = f(x1 ,y1 ,z1).(1.2)Производная от функции (x,y,z) по4. Производная по направлению.направлению вектора l характеризует скорость изменения функции (x,y,z) поэтому направлению, вычисленную в точке с координатами x, y, z. Эта производная вычисляется по формуле.lcos(l ,x) cos(l, y) cos(l,z).xyz(1.3)Величина производной по направлению зависит от выбора точки P, в которойона вычисляется, и от выбора направления, по которому она вычисляется.Направляющие косинусы направления l входят множителями в формулу (1.3),а координаты точки P являются аргументами частных производных, входящихв эту формулу.5. Градиент функции.

Градиентом скалярной функции (x,y,z) называетсявектор, проекции которого на координатные оси Ox, Oy и Oz соответственноравны  , т.е., иx y zgrad  =j +i+k.xzy4(1.4)На основании этого определения проекции вектора grad  на координатныеоси запишутся так:(grad )x =  ;x(grad )y =  ; (grad )z = zy(1.5)(предполагается при этом, что (x, y, z) – однозначная непрерывная функция,имеющая непрерывные частные производные).Модуль вектора grad  вычисляется по формуле2|grad | =2 d   d   d    . dx   dy   dz 2(1.6)Если l 0 - единичный вектор направления ll 0 = cos ( l ,x) i + cos ( l ,y) j + cos ( l ,z) k ,то правая часть формулы (1.3) есть скалярное произведение вектораgrad  на этот единичный вектор l 0= grad  l 0l(1.7)Так как | l 0 | = 1, то скалярное произведениеgrad  = l 0 |grad  | cos(grad  , l 0 ),поэтому наибольшее значение скалярного произведения grad l 0 равно модулюgrad.

Это будет иметь место тогда, когда направление вектора l совпадет снаправлением вектора grad , так как в этом случаеcos(grad  , l 0 ) = 1.Поскольку производная функции  по направлению характеризует скоростьизменения функции  по этому направлению, то можно сказать, что вектор5grad  есть вектор, в направлении которого скорость изменения функции  является наибольшей и эта наибольшая скорость d  по модулю равна | grad |, т.е.dlmax d  = | grad | dl max(1.7а)2 d   d   d  d или =   . dl max dx   dy   dz 22(1.7б)Вектор grad  в каждой точке направлен по нормали к поверхности, проходящей через точку, в сторону возрастания функции.

Модуль этого вектораравен скорости изменения функции (x,y,z) по этому направлению нормали.Скорость изменения скалярной функции (x,y,z) по некоторому направлениюl равна проекции вектора grad  на это направление, т.е.= Прl ( grad  )l(1.8)В этом состоит основное свойство направление градиента функции: производная функции  по направлению l равна проекции вектора градиента  на l .Величина и направление градиента не зависят от выбора координатной системы.Задача 1.1.

Найти поверхности уровня потенциала  eэлектростатичеrского поля точечного заряда, где r – расстояние точки М поля от точки, в которой находится электрический заряд.6Решение. Поместим начало координат в точку, в которой находится заряд.eeПо формуле (1.1)   = С; r = . Если координаты точки М есть x, y и z, тоrCr  x2  y 2  z 2 , аee2222x  y  z = . Уравнение x + y + z = 2 определяет семейство конценCC222трических сфер с центром в точке, в которой помещен заряд.Задача 1.2. Найти поверхность уровня и градиент скалярного поля u = Qr ,где Q - постоянный вектор, r - радиус-вектор точки М.Решение. Обозначим координаты точки М через x, y, z, а координаты вектораQ - через А, В, С.Тогда Q = Ai  B j  Ck , r = xi  y j  zk ,u = Qr = Ax + By + Cz.Следовательно, поверхностями уровня являются плоскостиAx + By + Cz + D = 0,перпендикулярные к вектору Q (A, B, C); на каждой из нихu = – D.Градиент поля найдем по формулеgrad u(M) =uuuijk  Ai  B j  Ck  Q,xyz, т.

е. во всех точках grad ( Qr ) = Q .Задача 1.3. Найти производную скалярного поля (x,y,z) = xz2 –x3 y в точ-ке М(2,2,4) по направлению нормали к поверхности S = x2 – y2 – 3z+ +12 = 0,образующей острый угол с положительным направлением оси Oz.Решение. Производная скалярного поля (x,y,z) по направлению вектора lвычисляется по формуле (1.3). В нашем случае вектор l =7= grad F(x,y,z), где F(x,y,z) = –x2 + y2 + 3z – 12.

Найдем l = grad F(x,y,z) по формуле (4): l = –2x i + 2y j + 3 k . 4Тогда вектор l (М) = – 4 i + 4 j + 3 k . | l (М)| =тельно, cos ( l ,x) = – 2=z –x324414; cos ( l ,y) =411=–y2xy ; 42  32 =; cos ( l ,z) =x3;y d  = –1; dy  M d  = 13; dx  M2341 . Следова-.41= 2xz.z d  = 16. dz  MЗадача 1.4. Найти угол между градиентами скалярных полей (x,y,z) =y23x 2z222 2 z 2 в точке М( ; 2;= 2 2 и (x,y,z) =).33x y22Решение. Найдем grad  и grad :grad  = 3 2 xi  2 y j  2 2 zk ;(grad )M = 2 2 i  2 2 j |(grad )M| = 22 2grad  = – 2 2 2 44k.33282z22z22zijk;x3 y 2x2 y3x2 y 29 33 3k;(grad )М = – i  j 8 84 283.|(grad )M| =9  828 32 = 3 .  3 324 22Используя скалярное произведение вектороя, найдем cos ,где  - угол между градиентами. 8    2 2   38    4 8  3 3 22 2 9cos  =Следовательно, 3 334 2= 0. .2§2.ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ.

ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ И ИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.Если в каждой точке М пространства (или его части V) задан определенныйвектор а  а( М ) , то говорят, что в этом пространстве (или в V) задано векторное поле а . Задание векторного поля а равносильно заданию трех скалярныхфункцийP(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z), являющихся проекциями вектораа  а( М ) на координатные оси:а  а( М ) = P(x,y,z) i + Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k .(2.1)В качестве примеров векторных полей можно указать поле электрическойнапряженности, силовое поле, поле скоростей текущей жидкости и т.д. Векторное поле (2.1) называют дифференцируемым в области V , если в каждой точке области существуют непрерывные частные производные от функцийP(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) по всем аргументам.

Если проекции вектора9а  а( М ) не зависят от какой-нибудь из трех переменных x,y,z и одна из проек-ций равна нулю, поле называют плоским. Например, плоским является полеа  а( М ) = P(x,y) i + Q(x,y) j(2.2)Векторной линией поля а  а( М ) называется такая линия, касательная вкаждой точке которой направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля.Всякое векторное поле (2.1) обладает семейством векторных линий. Уравнение этого семейства есть общее решение дифференциального уравнения видаdydxdz.P( x, y, z ) Q( x, y, z) R( x, y, z)(2.3)Введя параметр t и обозначив каждое из соотношений (2.3) через dt, получимследующую систему дифференциальных уравнений:dydzdx R(x,y,z). P(x,y,z); Q(x,y,z);dtdtdtРешения x(t), y(t), z(t) этой системы и будут параметрическими уравнениямивекторных линий.Уравнения векторных линий плоского поля (2.2) определяются общим решением дифференциального уравненияdydx.P( x, y) Q( x, y)(2.4)Задача 2.1.