Р.Я. Глаголева, Р.Н. Молодожникова - Векторный анализ

Министерство науки, высшей шкоды и технической политики Российской Федерапии К(МЕТЕТ ПО ВЫСШЙ ШКОЛЕ МОСКОВСКИН ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКО РЕВОЛЛПИИ АВИАПИОННЫН ИНСТИТУТ имени СЕРГО ОРЛКСНИКИДЗЕ Р.Я. ГЛАГОЛЕВА Р.Н. МОЛОДОЕНИКОВА ВИКТОРИНЕ АНАЛИЗ Учебное пособие Утверадено на заседакви редсовета 17 июня 1991 г. Москва Издательство МАИ 1992 516(075) Г-521 УДК1 514.742.4(075.8) Глаголевз Р.Я., Молодоиникова Р.Н.

Векторный анздиз: Учебное зс собие. — М.: Изд-во МАИ. 1992. — 56 с.1 нл. Приведены основные теоретичеокие сведения, необходимые для решения зщ~ыч векторного анализа. Лены примеры решения типовых задач, а такие зыдыч црикианного характеры. Предназначено для студентов первого курса. Рацензенты1 Ю.А. Рябов, Л.Г. Корнейчук Тем. план 1992, поз. 129 Глзгыева Регвна Яковлевна Молодоиникове Реиса Николаевна ВЕКТОРНЫИ АНАЛИЗ Редактор В.В. Лнсовец Техн.

редактор Н.Б. Карякина перепнфровка 1~ >оЯфЪасс~с 24.04 11 Подписано в печать 12.02.92. Вум. ойсетная. ФС1мзт 60х84 1/16. Печать офсетная Уси. печ. л. 3,25. Уч.-изд. л. 3,50, Тдреи 1000 Зек. 421е /337. Цена 40 и. Твыогрыйшя издытельствз МАИ 125871, Москвы, Волоколамское шоссе, 4 1ззе \ тези оьте ь Об московский авиационный институт, 1992 ПРВПИСЛОВИВ Пособие входит в серию работ по методическому обеспечению курса математического анализа. Оно написано в соответствии с программой курса высшей математики в МАМ и содериит коыыаитное изложение теоретического материала этого раздела, разбор типовых задач, набор задач для самостоятельного решения, экзаменационную программу по высшей математике на весенний семестр 1-го куров. Векторный анализ или теория псля включает в себя понятия скалярного и векторного полей, градиента скалярной Фрикции, работы векторного поля, потока и дивергенции, циркуляции и ротора и Формулы Остроградского — Гаусса и Стокса, связызашщиа этн понятия.

Введению понятий предшествует разбор задач Физического содержания, приводящих к ннм. Авторы ставили перед собой цель написать пособие, которое облегчило бы студентам самостоятельное изучение этого раздела высшей ыатематики. Глазы 1, П написаны Р.Н. Молодонникоиой, глазы Ш, 1У вЂ” Р,Я. Глаголевой. Г л а в а 1. ОКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ э1. л еип ы по й.

По о ня Пусть Т вЂ” некоторая область в пространстве. Говорят, что в этой области задано скалярное поле (Т= (Т (М ), если каждой точке Ме Т по некотороыу правилу или закону 1I поставлено з соответствие некоторое число 1Т (М). Скалярным полем может служить поле температур внутри некоторого нагретого тела Т, поле освешенности, создаваемое каквм-то источникам света, поле плотности РасД 777 пределения массыф (М ) =Ып — как предел средней плотности лЬ' а Л)Т массы ~ать в элементарном объеме УК при условии, что этот объем стягивается в точку ДуиТ, а область Т заполнена непрерывно расй~тРт пределенной массой.

Значения производной — образуют скалярное яК поле, называемое полем плотности массы, Введя в области декартовы координаты, молно представить это поле в виде функции ЛТ (Х,у, Е ) координат точки М (д' „у,й ). Аналитическое выРажение этой функцы зависит не только от поля, но и от выбора системы координат. Эа4мксируем систему коорнннат, Тогда понятие скалярного поля просто совпадает с понятием функ- ции трех или двух (в случае плоского скалярного поля) переменных. Однако, если Речь пойдет о величинах, амеющих физический смысл, не связанный с выбором системы координат, будем, как правило, пользоваться понятием "поле". Функцию ~У = 1/(Т,Л', и ) будем предполагать непрерывной и нмезщей в области Т непрерывные част- ные производные первого поРядка по х, и, Е .

Лля получения более наглядной картины поведеяия поля удобно пользоваться так называе- мыми ыоверхностяыи уровня скалярного поля )У (М ), котоРые пРед- ставляют собой геометрическое место точек, в каждой кз которых поле имеет йщксированное значение С' . При сделанных выше предположениях относительно ((ункцяа ?Г (л,у, я ) уравнение поверхности уровня ?Т(х,у, Я) =Г действительно определяет некоторую гладкую поверхность, если только оущестиуют точки, удовлетворяющие уравнению?1(х,я,й ) =Г, и в этих точных~ — /+( — /+~ — /тб д?Т д?Т дЕ/ т.е. частные производные —, —,— одновРеменно в нуль не обдл ' Уу ' де раввются.

Очевидно, что различным значениям Г отвечают поверхности, заполняющие всю область Т, в которой определено поле, и любые две поверхности ?Т(я, у, а ) =Се и ?Т (л , У', Я ) = Гя не имеют общих точек. Задание множества всех поверхностей уровня Равносильно заданию самого поля. Равенство вида ?l(Х ,у ) =С в плоской области определяет, вообще говоря, некоторую кривую. Такие кривые называются линиями уровня плоского скалярного поля ?Т(М ). В случае, например, поля температур зги линии называются изоте~вини и используются для изобрзкения поля температур на оцециальных картах. РассмотХмм три тапа симметрии полей: 1.

Плоскопараллельное (двумерное) поле. В пространстве существует направление, при сдвигах вдоль которого поле ?У(М ) переходит само в себя. В декартовой системе координат поле моино описать Функцией, зависящей только от двух кооРдвнат. Поверхности уровня такого поля — семейство цилвндрвчеокю~ поверхностей. 2. Осесвмметрическое поле. Поле переходит само в себя ™Ри»овороте пространства на произвольный угол вокруг 4мкоированной прямой — осн симметрии етого поля. Поверхности уровня представляют собой поверхности вращения.

Если поверхности уровня - круговые Цилиндры, то поле называется цилиндрнческвм. 3. Сферическое поле. Значения ЕУ(М ) зависят только от расстояния точки М от некоторой 4мксированной точки Ме, Поверхности уровня — оемейство концентрических сфер с центром в точке Ме. $2. ои Пусть К = ?Т (М) — скалярное поле, определяемое 4пнкцией ?Т= Р (Х, у, И ) трех переманных, заданной в области Т. Выберем в Т точкУ Мо(Хо, У„,с„) и некотоРое напРавление, опреДелаемое единичным вектором Л . Возьмем в Т другую точкуМ (л',ы, я ) так, чтобы векторы Р~,~Ч и Л л (,сзь~' были сонапразлены: М,ФУ 1А (рис.1) . Я Изучюз изменение величи- ~~ ~у~) ны 1Г(М) при переходе из данной и с94) точки к близким точкам.

Обознао о чим нГ=ЩМ)-П(ИД,~=)ЙМ) УЮ Рис, ь тогда — — средняя скорость изменения скалярного поля (У по данному направлению Л Пусть М М„ так, что вектор М М все время сонаправлен с Фиксированным вектором Х и 0 . Тогда ~гг щгтщф ия а)-гя! ию-иа б Е где (р~Е)= ЩР'+1А),ЯГ=1'-Г,,7-7М- Радиус-вектор точки М, г; =)" (мд - радиус-вектор точки м~, л= (гя~ (, соь~ь,гоь~). лЫ Если существует Йж †, то его называют производной по на- ( Р правлению Л скалярного поля Р (М) (функции Е~(х,у,Х) ) в данд~' М,) ной точке М и обозначают дЛ Очевидно, что производная по напРавлению в точке М„поля 1/'= ЕГ (М) совпадает по определению с правой производной в точке 6 = О от 4ннкцни (Л (б ) по переменной Е . Позтоыу, выбрав декартову систему координат и обозначив через<я,~з,у- углы векторами с координатными осями, представим (l (М) в виде 0'('с, р, н ), где Х = х ( т ) ="'со +бесам ~, ~ = ~ (т ) = До + ойдо~,д, л =хЮ= = и, + обола: )хо известной Фореле производной по переменной б славной бункции трех переменных Г(Х(с), Уй,), л й)) ' Аю ди Нл ди Ыу дг Ыя + 4- Ы6 дх ~Й д~ Ы Уя „ф м найдем РЮ'д й~ г) ди(м,~ щя,) дйи.) — = — 'с'л муз — ст9"- 6 УЛ 8Й АХ ну ьтЯ' Заметим,что понятие производной по нзп5ввлению скалярного поля носит инза5мзнтньз( характер (не связано с выбором сиотемы координат), описывает прежде всего его локальные свойства.

Производ- дР(м) ная О характеризует скорость изменения величины Р(М ) в направлейии Х в точке М: Выражение атой производной Р 2/' д ~У дЕ/ дЕ/ — = — ГЛ С - — ШОУ вЂ” СО5; УЛ дх ду дУ в произвольной точке М можно рассматривать нак скалярное произведение двух векторов Л = ( ~75,~,гя5~3,соЯ и ~~ асШ= 1. ление г е а и его вязь ои ой ц нвп в- ленив.

дО дтпл дО' Вектор с координатами —, —,— называют градиентом скаля ' дУ 'дж ОО лчрного поля ЕГ(М ). Следовательно, — = (р АУЛ) = 'дЯ =Вопр стчЫП' =(~гас(О)сд5 ф (рис. 2). АУ УЕ/ дО' Заметим, что частные производные —, —, — (координаты дл 'Фу' дЯ градиента) являются производными функции Ы по направлениям координатных осей ОХ, Оу, Он соответственно и ~гЫО'()()направлен по нормали к по- ф, м верхности уровня (лннии уровня), проходяшей через точку М. Действительно, если направле- Ю 3~ ние Л лежит в плоскости, касатель- е й к р и(.ж,п,д) =О, )ть йяя5(.(~ то производная по етому направлению дб' равна нулю — =Ц~гаАРЛ)=О т.е. УЛ Р /Ртути Р ортогснален любому вектору, Ряс, 2 ду лежащему в касательной цлоскостн.

Формула — =фРас~КЛ) если тЛ функция О = Ы(к',~/, И ) — дифференцируема в точке М (Х,у',Е ), остается в силе и в том случае, когда М Мя по кривой~),для ко- торой вектор Х является едивичяв~ вектором 2 касательной в точ- '" /Х 7» -ь «е Иа, т.е.л = 2" = —, где 7" =7 (Е ) — уравнение кривой, параметризованной с помощью ватуралького параметра /- ~ д' 7/ я йг. лействательво, тогда соРл = —,сань =вЂ а ° г 'г сКл' ~~7 м /ь'~ ' сИ а~И РК Ы//Х д7(4 РЫЛИ с(4//.) Рауа- = — в — = — — + — — - — — =— с~(.

дГ дл' ~Ж ф Ж,уя Ж Ж( производная от 1( вдоль кривой 7". 2. СдйЦцщ Лщйвеытй. Нусть 1Ф = О ()мс. 2), тогда иащавлениеЛ оовпадает с ва- правлевием утшШ(М) в точке М втпах — -7/уга/77/(,где максимум /7 Е/ берется ыо воевоэмоегпаа иащравлекеям,Я . В любой точке, в котоРсйр/чадя' О, существует единственное направлевие, ао которсац — имеет наибольшее аначевие, равное ф"аЫП!гд,т.е. существует /7(/ д,А едивотвевиое направление - выправление градиента-наибыстрейшего /77((М) возрастания скалярного поля. итак,!Д/чЫЯм)!=тах — и /7А д Е/' 7/гсх — = /уя — проиаводвая по иаправлениш гра- диевта коля в давкой точке Ма 7', Раввая наибольшей скоРости возрастания поля в этой точке.