1610841785-f468a61572dab6722e8deb8e3ec644ad (Семинары с теорией (2016))

Системы линейных уравнений 2 × 2Рассмотрим систему линейных уравнений(ax + by = ecx + dy = f(∗)a b := ad − bc называетсяс коэффициентами a, b, c, d, e, f ∈ R относительно x, y ∈ R. Число ∆ = cd e b и ∆y := a e .определителем системы (∗). Обозначим также ∆x := c f f dЕсли ∆ 6= 0, то (∗) ⇐⇒ x =∆x∆y, y=∆∆(формулы Крамера).1. Теорема. Следующие условия на числа a, b, c, d ∈ R равносильны:(1) система (∗) определена (= имеет единственное решение) при любых e, f ∈ R;(2) система (∗) определена при e = f = 0;(3) система (∗) определена при некоторых e, f ∈ R;(4) система (∗) совместна (= имеет хотя бы одно решение) при любых e, f ∈ R;(5) векторы (a, b) и (c, d) неколлинеарны;(6) векторы (a, c) и (b, d) неколлинеарны;(7) ∆ = ad − bc 6= 0.2.

В случае ∆ = 0 возникают разные подслучаи, которые надо разбирать отдельно.а) Докажите, что если система (∗) совместна и ∆ = 0, то ∆x = ∆y = 0.б) Завершите разбор случая ∆ = ∆x = ∆y = 0.3. Решите следующие системы для всех действительных значений параметров:(((a(x − y) = abx sin 7α + y sin 3α = cos αx cos α − y sin α = cos(α + β)а)в)д)2ax + (a − 1)y = a;x cos 7α + y cos 3α = sin α;x sin α + y cos α = sin(α + β);(((ax + by = ax cos 2β − y sin 5β = sin 3βx cos α + y sin α = cos 2αб)г)е)bx + ay = b;x sin 2β + y cos 5β = cos 3β;x sin α − y cos α = sin 2α. a−a abРешение. а) Расширенная матрица коэффициентов:. Определители:2a a − 1 aa−a ∆== a(a − 1) + 2a2 = a(3a − 1),2a a − 1ab −a = ab(a − 1) + a2 = a(ab + a − b),∆x = a a − 1 a ab = a2 − 2a2 b = a2 (1 − 2b).∆y = 2a a 1) ∆ 6= 0 ⇔ a 6= 0, 31 :x=∆xab + a − b∆ya(1 − 2b)=, y==.∆3a − 1∆3a − 12) a = 0: x ∈ R, y = 0.3) a = 13 : ∆x = ∆y = 0 (иначе нет решений) ⇔ b = 12 : x − y = 21 .ab+a−b a(1−2b)Ответ: (x, y) = 3a−1 , 3a−1при a 6= 0, 13 ;x ∈ R, y = 0y = x − 12(x, y) ∈ ∅при a = 0;при (a, b) = 13 , 21 ;при a = 13 , b 6= 12 .Метод Гаусса IРассмотрим линейную систему AX = B над полем K (можноa11 x1 + a12 x2 + .

. . + a1n xn = b1a11 a12a x + a x + ... + a x = b a21 a2221 122 22n n2(A|B) =  ..(∗).. .....aam1m2am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bmсчитать, что K = Q, R):  . . . a1n b1x1. . . a2n b2  x2 X= .. .. .. ..... . . . . amn bmxnЭлементарные преобразования строк расширенной матрицы (A|B):• 1-го типа — прибавление к одной строке другой, умноженной на элемент поля;• 2-го типа — перестановка двух строк местами;• 3-го типа — умножение строки на ненулевой элемент поля.Матрица A имеет ступенчатый вид, если лидер каждой строки (её первый ненулевой элемент),начиная со второй, стоит строго правее лидера любой строки, стоящей выше. Для ступенчатойматрицы неизвестные x1 , . .

. , xn можно разделить на главные — стоящие в столбцах с лидерами— и свободные — все остальные. Будем писать (A|B)(A0 |B 0 ), если матрица (A|B) приводитсяэлементарными преобразованиями строк к матрице (A0 |B 0 ).Метод Гаусса исключения неизвестных основан на следующих утверждениях.1. Если (A|B)(A0 |B 0 ), то AX = B ⇔ A0 X = B 0 .2. Всякая матрица приводится к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.3.

Пусть (A|B)(A0 |B 0 ) и матрица A0 имеет ступенчатый вид. Тогда система AX = B• совместна ⇔ матрица (A0 |B 0 ) не содержит строк вида (0, . . . , 0|b 6= 0);• определена ⇔ она совместна и все переменные — главные.Если система AX = B совместна, но не определена, то её решение описывается выражениемглавных неизвестных через свободные. Разберём пример: −(2) − (4)6x1 + 4x2 + x5 = 46 4 00 1 4 3x + 2x − 2x + x = −73 2 −2 1 0 −712349 6 6 −3 4 −1 −(1) − (4)9x1 + 6x2 + 6x3 − 3x4 + 4x5 = −13 2 4 −2 2 33x1 + 2x2 + 4x3 − 2x4 + 2x5 = 3−(2)Cправа от матрицы мы указали преобразования строк, которые собираемся совершить (из 1-йстроки вычитаем 2-ю и 4-ю и т.

д.). Переставим затем первые две строки и продолжим:3 2 −2 10 −7 −732−2100 0 −2 1 −1 8 0 0 2 −1 1 −8 → 0 0 2 −1 1 −80 0 00 −1 340 0 6 −3 2 10(вычеркнули 2-ю строку). Теперь можно выразить главные неизвестные x1 , x3 , x5 через свободныеx2 , x4 : x5 = −34, x3 = −8+x24 −x5 = . . . и т. д. Но лучше не сразу возвращаться к буквам, а привестиматрицу к главному ступенчатому виду обратным ходом метода Гаусса.3 2 −2 1 0 −7 +(2)3 2 0 0 0 19 : 30 0 2 −1 0 26  : 2 → 0 0 1 − 1 0 13 20 0 00 1 −340 0 0 0 1 −34− 23 x2 , x3 = 13+ 12 x4 , x5 = −34. Заметим, что этоТеперь ответ выписывается автоматически: x1 = 193не единственная форма ответа: можно считать главной неизвестную x2 вместо x1 и x4 вместо x3 .− 32 x1 , x4 = 2x3 − 26, x5 = −34.Тогда ответ выглядит так: x2 = 192Линейные отображения плоскостиdefОтображение A : R2 → R2 линейно ⇐⇒ ∀u, v∈ R2 ∀kAv, A(kv)= kAv. ∈R A(u +v) = Au +abxabxax+by22Отображение A : R → R , заданное матрицей:A=:=.c dyc dycx + dy 101a0bСтолбцы матрицы — образы базисных векторови: A=,A=.010c1d1.

а) Всякое отображение, заданное матрицей, линейно.б) Обратно, всякое линейное отображение задаётся некоторой матрицей.2. Задайте матрицами: а) центральную гомотетию с коэффициентом k; б) поворот на угол ϕвокруг нуля; в) симметрию относительно прямой x sin ϕ = y cos ϕ; г) ортопроектор на эту прямую.3. Опишите движения плоскости, сохраняющие точку (0, 0) (частный случай теоремы Шаля).a11 a12b11 b124. Отображения A и B заданы матрицами A =иB=. Найдите матрицыa21 a22b21 b22отображений A + B, λA (λ ∈ R) и AB (в последнем случае получится произведение матриц AB).5. Линейное отображение с матрицей A биективно ⇔ |A| =6 0.

В этом случае1d −bA−1 =— матрица обратного отображения.aad − bc −c6. Вычислите целые степени матриц (отрицательные степени — для обратимых):a 01 10 1cos α − sin αcos αsin αа); б); в); г); д).0 b0 11 1sin αcos αsin α − cos α7. Запишите под последними тремя рисунками матрицы соответствующих преобразований(всюду закрашен образ единичного квадрата — в два цвета с учётом ориентации).E=1 00 1√Rπ =632121−√232!300 12Метод Гаусса II:линейные соотношения в арифметическом пространствеВозьмём произвольные вектор-столбцы высоты m над полем K: a11a1nb1 ..

 ..  .. A1 =  . , . . . , An =  .  , B =  .  .am1amnbm1. Выражается ли столбец B через столбцы A1 , . . . , An ? И если выражается, то как? Имеем:   k1b1k1 a11 + . . . + kn a1n .. n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . =  ... B ∈ hA1 , . .

. , An i ⇐⇒ ∃  .  ∈ Kk1 am1 + . . . + kn amnknbmи придём к условию совместности линейной системы AX = B с матрицей A = (aij ). Любое еёрешение есть искомый набор коэффициентов.2. Линейная независимость столбцов A1 , . . . , An означает, что равенство   k10 a11 k1 + . . . + a1n kn = 0 ..   .. ...k1 A1 + . .

. + kn An = 0 ⇐⇒⇐⇒ A  .  =  . kn0am1 k1 + . . . + amn kn = 0выполнено только при k1 = . . . = kn = 0, т. е. что однородная система с матрицей A определена.Любой вопрос о линейных соотношениях между столбцами данной матрицы (о линейной зависимости, выражаемости и т. п.) можно адресовать к столбцам с теми же номерами в (главном)ступенчатом виде этой матрицы — ответы будут такими же, посколькупри элементарных преобразованиях строк матрицылинейные соотношения между её столбцами не меняются.1. Столбцы ступенчатой матрицы с лидерами строк образуют базу системы столбцов матрицы.2. Теорема.

Следующие условия на матрицу A ∈ Mn (K) равносильны:(1) система AX = B определена при любом B ∈ K n ;(2) система AX = B определена при B = 0;(3) система AX = B определена при некотором B ∈ K n ;(4) система AX = B совместна при любом B ∈ K n .3. Каковы логические связи между условиями предыдущей теоремы для матрицы A ∈ Mn×m (K)при а) m > n; б) m < n?4. а) Во всякой линейно независимой системе векторов из K n не более n векторов.б) Во всякой системе порождающих из K n не менее n векторов.в) Система из n векторов порождает пространство K n ⇔ она линейно независима.5.

Основная лемма о линейной зависимости гласит:конечная система векторов, которая выражается черезсистему с меньшим числом векторов, линейно зависима.Метод Гаусса III:фундаментальная система решений линейной системыМножество решений линейной системы AX = 0, где A ∈ Mm×n (K), X ∈ Mn×1 (K) ∼= K n (K —поле), образует подпространство в пространстве столбцов K n . Любой базис этого подпространстваназывается фундаментальной системой решений (ФСР) системы AX = 0.1. Как найти ФСР. Приведём матрицу A к главному ступенчатому виду. Пусть для простотыx1 , . .

. , xr — главные неизвестные. Возьмём в качестве наборов значений свободных неизвестныхxr+1 , . . . , xn столбцы единичной матрицы (можно взять любые базисные векторы в K n−r ) и дополним каждый из них однозначно определяемыми значениями главных неизвестных. Ясно, чтополученные n − r столбцов высоты n образуют ФСР нашей системы.x1 + x2 − 2x3 + 2x4 = 0 3x + 5x + 6x − 4x = 01234Пример. Найдём общее решение и ФСР системы4x1 + 5x2 − 2x3 + 3x4 = 03x1 + 8x2 + 24x3 − 19x4 = 0.Преобразуем матрицу системы к 1 1 −221 1 −23 5 0 2 126−4→4 5 −23  0 1 63 8 24 −190 3 18главному ступенчатому виду:2(x1 = 8x3 − 7x4−1010−87→Общее решение:−50 16 −5x2 = 5x4 − 6x3 .−15При (x3 , x4 ) = (1, 0) получим (x1 , x2 ) = (8, −6), а при (x3 , x4 ) = (0, 1) получим (x1 , x2 ) = (−7, 5).Ответ.

Общее решение: x1 = 8x3 − 7x4 , x2 = 5x4 − 6x3 ; ФСР: (8, −6, 1, 0), (−7, 5, 0, 1).2. Как составить систему линейных уравнений с заданной ФСР, или как задать подпространство линейной системой. Пусть требуется составить однородную систему уравнений, пространство решений которой есть линейная оболочка hX1 , .