2016.11.18_rings1_solutions (Семинары с решением 2016), страница 2
Описание файла
Файл "2016.11.18_rings1_solutions" внутри архива находится в следующих папках: Вышка_Семинары_с_решением_гр_16135(2016), Решения. PDF-файл из архива "Семинары с решением 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
Обратную матрицу удобно найти через алгебраические дополнения: T 5 9 −115 ∗ ∗15d111∗ ∗ ∗ 0 = 9 ∗ ∗ 0 = 9 .e =434343∗ ∗ ∗0−1 ∗ ∗0−1f√√1(5 + 9√3 2 −√ 3 4).Значит, обратный элемент есть 43333. Найдитеобратныйэлементк2+35−25 в множестве чисел√√33вида a + b 5 + c 25 с рациональными a, b и√c.√3Решение. Пусть дан элемент q = a + b 5 + c 3 25. Выпишеманалогичную (4) систему уравнений на коэффициенты d, e, f обратного жлемента к q:ad + 5bf + 5ce = 1,ae + bd + 5cf = 0,af + cd + be = 0.(7)В данной задаче a = 2, b = 3, c = −1, подставляя их в систему (7),6получим 2 −5 15d1 3 2 −5 e = 0 .−1 3 2f0Решаем также, как и в задаче №2: T 1d19 −1 111e = ∗ ∗ ∗ 02080f∗ ∗ ∗ 19 ∗ ∗1191 1−1 .=−1 ∗ ∗ 0 =20820811 ∗ ∗011√√31Обратный элемент: 208 (19 − 5 + 11 3 25).4.
Докажите, что в кольце 0 · x = x · 0 = 0 для любого x.Доказательство. Пусть 0 · x = a. Равенство 0 · x = (0 + 0)x =0 · x + 0 · x можно записать как a = a + a. Прибавляя к обеимчастям равенства элемент (−a), получим 0 = a, что и требовалосьдоказать.5. Докажите, что в теле (и поэтому в поле) нет делителей нуля.Доказательство. Пусть a, b ∈ F , где F — тело, такие, чтоab = 0, a, b ̸= 0.
Умножим это равенство слева на обратный элементк a: a−1ab = b = a−1 · 0 = 0 (по задаче №4), противоречие.7.