2016.11.18_rings1_solutions (Семинары с решением 2016)

Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Кольца18 ноября • 16135 группа1. Определите, является ли данное множество относительно операций + и · кольцом/кольцом с единицей/коммутативным кольцом/областью целостности/полем?а) целые числа,б) чётные числа,в) целые числа, кратные n, т.е. nZ,г) рациональные числа,д) действительные числа,е) комплексные числа,√ё) числа вида a + b √2 с целыми a и b,ж) числа вида a + b 3 с рациональными a и b,з) матрицы порядка n с действительными элементами,и) функции с действительными() значениями, непрерывные на [−1, 1],a bй) все матрицы вида, где a, b ∈ Q (или R),2b a√32 с рациональнымиa и b,к) числа вида a + b√√33л) числа вида a + b 2 + c 4 с рациональными a, b и c,м) многочлены от x с действительными коэффициентами.Решение.

а) Ясно, что целые числа образуют кольцо. В нёместь нейтральный элемент по умножению (обычная единица), коммутативность. В Z нет делителей нуля. Но нет обратимости, точнее, любой элемент из Z \ {−1, +1} не обратим. Значит, это областьцелостности.б) Всё сказанное про Z верно и для 2Z — кольца чётных чисел,кроме одного свойства: в 2Z нет единицы. Значит, это, неформальноговоря, область целостности без единицы.в) Случай n = 0 считается вырожденным, это будет кольцо {0}.В некоторым источниках добавляется условие в 4): 1 ̸= 0, тогда этобудет кольцо без единицы, коммутативное, формально без делителей нуля, но без обратимости.

При n ̸= 0 имеем два варианта: n = 11— область целостности (см. пункт а)), n ̸= 1 — аналогично пунктуб), область целостности без единицы.г) Это будет поле, стандартное обозначение: Q.д) Это будет поле, стандартное обозначение: R.е) Это будет поле (см. задачи №1,2, Комплексные числа), стандартное обозначение: C.√ё) Множество K = {a + b 2 | a, b ∈ Z} замкнуто относительносложения, умножения и взятого обратного по сложению, значит,√это будет подкольцом в Q. В нём содержится единица: 1 = 1+0 2Поэтому K — область целостности (коммутативность и отсутствияделителей нуля наследуются из Q). Но в K не для всех элементовесть обратимость, например,элемент 1/2 не обратим.√ж) Пусть L = {a + b 3 | a, b ∈ Q}. Аналогично пункту ё), легкопоказать, что L является областью целостности. Покаажем, что в Lесть обратимость для ненулевых√ элементов, тем самым, L — поле.Действительно, пусть a + b 3 ̸= 0, тогда в R верны следующиевыкладки:√√1a−b 3 a−b 31a−b √√ =√ ·√ = 2= 2+3 ∈ L,22 a2 − 3b2a−3ba−3ba+b 3 a+b 3 a−b 322приэтомзаписидробейкорректны,посколькуa−3b̸= 0, иначе√3 являлось бы рациональным числом, а это не так.з) То, что множество квадратных матриц Mn(R) с вещественными коэффициентами, образую по лсожению абелеву группы, былодоказано в задаче №3, Матрицы.

Умножение матриц задаётся линейным образом для строк левого множителя и столбцов правого множителя. Из этого замечания следует дистрибутивность (3).Ассоциативность умножения матриц следует из следующих выкладок:∑∑((AB)C)ij =(AB)ik ckj =(ail blk )ckjk=∑k,lk,lail (blk ckj ) =∑ail (BC)lj = (A(BC))ij ,k,lт.е. матрицы (AB)C и A(BC) совпадаютпоэлементно.

В кольце2матриц есть нейтральный элемент по умножению, это E — единичная матрица. Коммутативности, вообще говоря, нет:)()() (−2 −61 2−2 0=,−3 −40 −36 12()() ()−2 01 2−2 −4=.0 −3−3 −49 12Также в матрицах( )порядка 2 и выше есть делители нуля, напри0 1при умножении на себя даёт нулевую матрицу.мер, матрица0 0Значит, Mn(R) — кольцо с единицей.и) Пусть T = {f : [−1; 1] → R | f непрерывна на [−1; 1]}. Подробнее уточним операции сложения и умножения: (они определяютсяпоточечно)(f + g)(x) = f (x) + g(x),(f g)(x) = f (x)g(x).Несложно понять, что T является кольцом, поскольку проверкааксиом кольца сводится к проверке этих аксиом на множестве значений функций, т.е. на R, а это поле.

Также T содержит нейтральный элемент по умножению: это функция, тождественно равная 1на отрезке [−1, 1]. Выполнена коммутативность, так как она есть вR. Но в T есть делители нуля. Пусть{{x, x ∈ [−1; 0],0, x ∈ [−1; 0],f (x) =g(x) =0, x ∈ [0; 1],x, x ∈ [0; 1],тогда f g = 0. Значит, T — коммутативное)}{( кольцо.a b| a, b ∈ Q являетсяй) Отметим, что множество M =2b aподкольцом в M2(Q). Замкнутость по сложению и взятию обратного по сложению очевидны. Проверим замкнутость по умножению:()() ()a bc dac + 2bd ab + bc=∈ M.(1)2b a2d c2bc + 2ad 2bd + acВ кольце M лежит единичная матрица (a = 1, b = 0). Коммутативность по умножению следует 3из формулы (1).

Докажем, что вM есть обратимость по умножению, тем самым, мы покажем, чтоM — поле. Действительно,)(()−11a −ba b∈ M.= 22b aa − 2b2 −2b a√3к) МножествоS={a+b2 | a, b ∈ Q} не √замкнуто относительно√√√333умножения: 2· 2 = 4 ̸∈ S, иначе число 3 2 являлось бы корнем2квадратного уравненияx−bx−a = 0 для некоторых рациональных√3a, b.

При этом 2 — один из вещественных корней уравнения x3 −2 = 0. Значит, по теореме Безу (если a — корень многочлена f (x),то f (x) делится√на x − a) НОД многочленов x3 − 2 и x2 − bx − aделится на x − 3 2. Делим x3 − 2 на x2 − bx − a с остатком:x3 − 2 = (x2 − bx − a)(x + b) + (a + b2)x + (ab − 2),√322, что влечёт соотследовательно, (a+b)x+(ab−2)делитсянаx−√√33ношение ab−22,изкоторогоследует2 ∈ Q, противоречие.=−2a+bЗначит, на множестве Sпростоне задана операция умножения.√√л) Пусть P = {a + b 3 2 + c 3 4 | a, b, c ∈ Q}, покажем закнутостьP по сложению:√√√√3333(a + b 2 + c 4)(d + e 2 + f 4)√√33= (ad + 2bf + 2ce) + (ae + bd + 2cf ) 2 + (af + cd + be) 4.

(2)Аналогично пунктам ё) и ж) показывается, что P является областью целостностью. Докажем, что в P выполнена обратимость, темсамым, мы покажем, что P√— поле.Пусть, от противного, нашёл√33ся ненулевой элемент a + b 2 + c 4, для которого нет обратного.Введём три переменные d, e, f такие, что√√√√3333(a + b 2 + c 4)(d + e 2 + f 4) = 1.(3)Аналогично тому, как делалось в пункте к), доказывается, чтолюбоечислоиз P единственным образом представляется в виде√√33a + b√ 2 + c 4 (иначе возникают те же проблемы с неверным выводом 3 2 ∈ Q).

Значит, равенство (3) эквивалентно трём равенствам:ad + 2bf + 2ce = 1,ae + bd + 2cf = 0,af + cd 4+ be = 0.(4)Рассмотрим полученные три равенства как неоднородную системулинейных уравнений относительно трёх переменных d, e, f . Покажем, что определитель матрицы (4) не равен нулю, тем самым, усистемы (4) есть (единственное) решение. Это приведёт к противоречию. Предположим, что определитель системы равен нулю:a 2c 2bdet  b a 2c = a3 + 4c3 + 2b3 − 6abc = 0.(5)c b aМожно было предварительноизбавиться в рациональых коэффи√√циентах элемента a + b 3 2 + c 3 4 от знаменателя, т.е. считать, чтоони все целые.

В (5) все числа кроме a3 чётные. Значит, a3 чётно,т.е. a чётно и a = 2ã, ã ∈ Z. Подставляем это выражение в (5):8ã3 + 4c3 + 2b3 − 12ãbc = 0.В новом равенстве все числа делятся на 4 кроме, быть может, 2b3.Значит, 2b3 делится на 4, т.е. b = 2b̃, b̃ ∈ Z. Поступая аналогичнос c, приходим к тому, что ã3 + 4c̃3 + 2b̃3 − 6ãb̃c̃ = 0. Продожаяаналогичные рассуждения, мы можем неограниченно уменьшатьчисла a, b, c, что невозможно делать, оставаясь в множестве целыхчисел. (Замечание. Это так называемый метод спуска. Используяего, Эйлер доказал, что уравнение x3 + y 3 = z 3 в целых числахнеразрешимо.)м) Несложно понять, что множество многочленов от одной переменной x с вещественными коэффициентами R[x] является кольцом(в частности, дистрибутивность заложена в определении умножения многочленов).

В этом кольце есть единица, выполнена коммутативность и нет делителей нуля. Последнее верно, так какf g = (axn + . . .)(bxm + . . .) = abxn+m + . . . ̸= 0,здесь под многоточием обозначается сумма мономов меньше степени. Значит, R[x] — область целостности. Но в R[x] нет обратимости, например, многочлен x не обратим, поэтому это не поле.(Замечание. Вообще говоря, верен следующий факт: по любойобласти целостности можно построитьполе дробей, составленных5из элементов целостного кольца. Такая конструкция есть прямоеобобщение построения поля Q из кольца√Z.) √2. Найдите обратный элемент к 1 − 3 2 + 2 3 4 в множестве из1, л).Решение.Нам нужно найти обратный элемент к элементу a +√√33b 2 + c 2 при a = 1, b = −1, c = 2. Подставим эти значения вуравнения системы (4):d − 2f + 4e = 1,e − d + 4f = 0,f + 2d − e = 0,или(6)   1 4 −2d1−1 1 4   e  = 0 .2 −1 1f0Решим эту систему уравнений, умножая равенство на обратнуюматрицу системы (точнее, нам достаточно будет найти лишь частьобратной матрицы).