2016.11.16_groups4_solutions (Семинары с решением 2016)

Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Фактор-группы16 ноября • 16135 группа1. Докажите, что множество смежных классов группы G понормальной подгруппе H относительно · является группой (обозначение: G/H).Доказательство. Докажем сперва корректность определенияумножения на множестве левых смежных классов. Пусть g1H =k1H, g2H = k2H, покажем, что g1g2H = k1k2H. Из равенстваg1H = k1H следует, что k1−1g1 = h ∈ H, аналогично k2−1g2 = h′∈H.Покажем, чтоg1g2H ⊂ k1k2H,(1)тогда из аналогичного равенства k1k2H ⊂ g1g2H будет следоватьжелаемое равенство. Включение (1) эквивалентно тому, что(k1k2)−1g1g2H ⊂ H, распишем левую часть как(k1k2)−1g1g2H = k2−1k1−1g1g2H = k2−1hg2H.Применим задачу 1, Группы-3 и определение нормальности: gH =Hg для любого g ∈ G:k2−1hg2H = k2−1hHg2 = k2−1Hg2 = k2−1g2H = h′H = H,что и требовалось доказать.Ассоциативность умножения в G/H следует из определения:(g1H · g2H) · g3H = g1g2H · g3H = (g1g2)g3H= g1(g2g3)H = g1H · (g2H · g3H).Легко проверить, что единичным элементом в G/H является eH,а g −1H является обратным элементом к gH.Тем самым G/H является группой, при этом, конечно, не обязательно абелевой.2.

Докажите, что Sn/An ∼= ⟨Z2, +⟩.Доказательство. Ясно, что |Sn| = n!. По задаче 6, Перестановки-2 множество чётных перестановокAn при n ≥ 2 является1нормальной подгруппой в Sn, содержащей n!/2 элементов. Значит,Sn/An — 2-элементная группа. Покажем, что существует (с точностью до изоморфизма) ровно одна 2-элементная группа, Действительно, пусть G — 2-элементная группа. Тогда G содержит единичный элемент e и какой-то элемент a ̸= e: G = {e, a}. По задаче 1,Группы-3 aG = G = {e, a}. Так как a · e = a, значит, a · a = e итаблица умножения в группе G находится однозначно:e ae e aa a eОна в частности совпадает с таблицей умножения группы Z2.Совпадение таблицы умножения эквивалентно изоморфизму групп.3.

Докажите, что если H1 ⊆ H2 — нормальные подгруппы в G,тогда H1 является нормальной подгруппой в H2.Доказательство. Тот факт, что H1 является нормальной подгруппой в G, означает, что g −1Hg = H для любого g ∈ G. Естественно это равенство выполнено для любого g ∈ H2, что и даётнормальность H1 в H2.4. Найдите, чему изоморфна фактор-группа а) S4/V , б) A4/V .Решение. а) Поскольку |S4| = 24, |V | = 4, значит, |S4/V | = 6.Покажем, чтоS4/V = {eV, (12)V, (13)V, (23)V, (123)V, (132)V },отсюда будет следовать изоморфизм S4/V ∼= S3. Левые смежныеклассы aV и bV совпадают, ессли b−1a ∈ V .

Соответственно, нужнопроверить, что (13)(12) ̸∈ V , . . . , (132)−1(123) ̸∈ V . Все эти произведения вида b−1a не равны e и при этом являются перестановкамина 1,2,3. В группе V все перестановки, отличные от e, перемещаюти 4. Значит, все указанные выше левые смежные классы различныи S4/V ∼= S3 .б) По задаче 4,в, Перестановки-2 известно, что |A4| = 12, |V | = 4,где V = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} — четверная группа Клейна. Она нормальна в A4, см. задачу 7,г, Перестановки-2. Значит,|A4/V | = 3.

Покажем, что если 2G — 3-элементная группа, тогдаG ∼= ⟨Z3, +⟩, что и даст ответ на задачу. Группа G может бытьпредставлена как G = {e, a, b}, где a ̸= b, a, b ̸= e. Используя задачу 1, Группы-3 имеем aG = G и bG = G. Так как ab ̸= b, поэтому{a2, ab} = {e, b} влечёт ab = e, a2 = b. Аналогично ba = e, b2 = a итаблица умножения, как и в задаче 2, находится однозначно:ee ea ab baabebbea5. Для мультипликативных групп невырожденных квадратныхматриц порядка n докажите утверждения:а) фактор-группа группы действительных матриц по подгруппематриц с определителем, равным 1, изоморфна ⟨R̸=0, ·⟩;б) фактор-группа группы действительных матриц по подгруппематриц с определителем, равным ±1, изоморфна ⟨R>0, ·⟩;в) фактор-группа группы действительных матриц по подгруппематриц с положительными определителями изоморфна ⟨Z2, +⟩;г) фактор-группа группы комплексных матриц по подгруппе матриц с определителями, по модулю равными единице, изоморфна⟨R>0, ·⟩;д) фактор-группа группы комплексных матриц по подгруппе матриц с положительными определителями изоморфна мультипликативной группе комплексных чисел, по модулю равных единице.Доказательство.

Обозначим через GLn(R) и GLn(C) — группу невырожденных квадратных матриц порядка n над полем R илиC соответственно.а) Пусть G — подгруппа в GLn(R) с определителем, равным 1.Тот факт, что G является подгруппой, следует из равенстваdet(AB) = det(A) det(B).(2)Из равенства (2) следует и нормальность G:det(G−1AG) = det(G−1) det(A) det(G) = det(G−1) det(G)= det(G−1G) = det(E) = 1.3Определим отображение φ : GLn(R)/G → ⟨R̸=0, ·⟩ следующимобразом: φ(A · G) = det A.

Покажем корректность отображения φ.Если A · G = B · G, значит, B −1A ∈ G, т.е. det(B −1A) = 1, что благодаря (2) эквивалентно det(B −1) = 1/ det(A). Так как det(B −1) =1/ det(B), следовательно, det(A) = det(B), что и показывает корректность φ. Гомоморфность φ следует из (2):det(AG · BG) = det(AB · G)= det(AB) = det(A) det(B) = det(AG) det(BG).Покажем, что φ — биекция. Сюръективность φ очевидна, достаточно рассмотреть матрицу A такую, что det A = λ ∈ R̸=0, тогдаφ(A) = det A = λ (например, можно взять диагональную матрицуA с числами λ, 1, 1, .

. . , 1 на главной диагонали). Остаётся доказатьинъективность φ. Пусть φ(A) = det A = φ(B) = det B, тогдаdet(B −1A) = det(B −1) det A = det(A)/ det(B) = 1,значит, AG = BG, это один и тот же левый смежный класс.б) Пусть G — подгруппа в GLn(R) с определителем, равным ±1.Аналогично пункту а), легко показать, что G — нормальная подгруппа в GLn(R). Также определим φ : GLn(R)/G → ⟨R>0, ·⟩ какφ(A · G) = | det A| (модуль определителя).

Корректность определения φ доказывается аналогично пункту а). Гомоморфность φ следует из (2):| det(AG · BG)| = | det(AB · G)|= | det(AB)| = | det(A)| · | det(B)| = | det(AG)| · | det(BG)|.Доказательство биективности φ аналогично доказательству изпункта а).в) Пусть G — подгруппа в GLn(R) с определителем, равным ±1.Нормальность группы следует из равенства det(G−1AG) = det A.Определим φ : GLn(R)/G → ⟨Z2, +⟩: φ(AG) = det(A)/| det(A)|.Проверим корректность φ. Пусть AG = BG, т.е. B −1A ∈ G, чтоэквивалентно тому, что det(B −1A) > 0. Значит, det(A) и det(B)одного знака, а это и означает, что φ(AG) = φ(BG).4Гомоморфность φ:φ(AG · BG) =det(AB · G)det(A) det(B)=| det(AB · G)| | det(A)| · | det(B)|det(A)det(B)=·= φ(AG) · φ(BG). (3)| det(A)| | det(B)|Доказательство биективности φ аналогично доказательству изпункта а).При этом изоморфизм GLn(R)/G ∼= ⟨Z2, +⟩ можно доказатьи по-другому.

Пусть CG, где C — произвольная матрица. Еслиdet(C) > 0, тогда CG = G — единичный класс в фактор-группеGLn(R)/G. Если det(C) < 0, тогда для любой другой матрицы D сотрицательным определителем имеем det(D−1C) = det(C)/ det(D)> 0, т.е. D−1C ∈ G или DG = CG. Значит, в GLn(R)/G есть всегодва различных левых смежных класса: G и CG. Аналогично задаче2 получаем изоморфизм с группой Z2.г) Пусть G — подгруппа в GLn(C) с определителем, комплексный модуль которого равен 1. Тот факт, что G — подгруппа итем более нормальная, следует из (2) и задачи 5,а, Комплексныечисла-2 (|z1z2| = |z1|·|z2|).

Определим φ : GLn(C)/G → ⟨R>0, ·⟩ какφ(AG) = | det(A)|, здесь модуль считаем комплексный. Доказательство корректности, гомоморфности и биективности φ аналогичнодоказательствам пунктов а) и б).д) Пусть G — подгруппа в GLn(C) с определителем, принадлежащим множеству R>0 (определитель, вообще говоря, есть ненулевоекомлексное число!), а H = {eiψ | ψ ∈ R} — подгруппа в ⟨C∗, ·⟩комплексных чисел, лежащих на окружности радиуса 1.То, что G — нормальная подгруппа, следует из (2). Определимφ : GLn(C)/G → H как φ(AG) = det(A)/| det(A)|, здесь модульвычисляем комплексный. Покажем одновременно корректность иинъективность φ.

Пусть φ(AG) = φ(BG), это означает, чтоdet(A)/| det(A)| = det(B)/| det(B)|, то есть det(A) = | det(A)|eiψ иdet(B) = | det(B)|eiψ . Тогдаdet(A) | det(A)|eiψ| det(A)|det(A/B) ===∈ R>0,iψdet(B) | det(B)|e|det(B)|5что эквивалентно тому, что AG = BG. Гомоморфность φ следуетиз выкладки (3), в которой модуль нужно понимать комплексный.Доказательство сюръективности φ см. в пункте а).6.