2016.10.21_groups_solutions (Семинары с решением 2016)

Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Ãðóïïû21 îêòÿáðÿ • 16135 ãðóïïà1. Âûÿñíèòå, îáðàçóåò ëè ãðóïïó êàæäîå èç ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ ïðè óêàçàííîé îïåðàöèè íàä ýëåìåíòàìè:à) öåëûå ÷èñëà îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ,á) ÷¼òíûå ÷èñëà îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ,â) öåëûå ÷èñëà, êðàòíûå äàííîìó íàòóðàëüíîìó ÷èñëó n, îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ,ã) ñòåïåíè äàííîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà a, a 6= 0, ±1, ñ öåëûìèïîêàçàòåëÿìè îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ,ä) íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ,å) íå÷¼òíûå ÷èñëà îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ,¼) öåëûå ÷èñëà îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ,æ) ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ,ç) ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ,è) ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, îòëè÷íûå îò íóëÿ, îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ,é) ïîëîæèòåëüíûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ,ê) ïîëîæèòåëüíûå ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà îòíîñèòåëüíî äåëåíèÿ,ë) ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà, çíàìåíàòåëè êîòîðûõ ïîëîæèòåëüíûåñòåïåíè äâîéêè, îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ,ì) (êîìïëåêñíûå) êîðíè n-é ñòåïåíè èç åäèíèöû îòíîñèòåëüíîóìíîæåíèÿ,í) ìàòðèöû ïîðÿäêà n ñ äåéñòâèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ,î) íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû ïîðÿäêà n ñ äåéñòâèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ,ï) ìàòðèöû ïîðÿäêà n ñ öåëûìè ýëåìåíòàìè è îïðåäåëèòåëåì,ðàâíûì ±1, îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ,ð) ìàòðèöû ïîðÿäêà n ñ äåéñòâèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ,1ñ) ïîëîæèòåëüíûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, åñëè îïåðàöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàê: a ∗ b = ab ,ò) äåéñòâèòåëüíûå ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè ≤ n îò íåèçâåñòíîãî xîòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ.Ðåøåíèå.

à) Äà. Ïîñêîëüêó ñóììà öåëûõ öåëàÿ, à îáðàòíûéýëåìåíò (ýòî áóäåò ïðîòèâîïîëîæíûé ýëåìåíò −a) òîæå öåë, çíà÷èò, îïåðàöèè çàäàíû. Âñå òðè àêñèîìû ãðóïïû âûïîëíåíû.á) Äà, ïîñêîëüêó ñóììà è ïðîòèâîïîëîæíûé ýëåìåíò ê ÷¼òíîìó÷¼òíî. À âñå àêñèîìû ãðóïïû âûïîëíåíû, òàê êàê îíè âûïîëíÿþòñÿíà áîëüøåì ìíîæåñòâå (ñì ï.à)).â) Äà, äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî ï. á).ã) Äà. Çàìåòèì, ÷òî ak · al = ak+l , (ak )−1 = a−k , çíà÷èò, îïåðàöèè çàäàíû. Àêñèîìû ãðóïïû âûïîëíåíû, îíè âûòåêàþò èç ñâîéñòâïðîèçâåäåíèÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë.ä) Íåò, òàê êàê íå îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ x−1 .å) Íåò, òàê êàê íå îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ x + y (ñóììà íå÷¼òíûõ÷¼òíà).¼) Íåò. Îïåðàöèè îïðåäåëåíû, íî íå âûïîëíÿåòñÿ íè îäíà èç àêñèîì (çíàê íå ðàâíî çäåñü è äàëåå îáîçíà÷àåò, ÷òî íå ðàâíî äëÿïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòîâ a, b, c è äð.):a − 0 = 0 6= 0 − a = −a, a − (−a) = 2a 6= 0,a − b − c = (a − b) − c 6= a − (b − c) = a − b + c.æ) Äà.

Îïåðàöèè çàäàíû, âñå òðè àêñèîìû âûïîëíåíû â ñèëóñâîéñòâ ñëîæåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.ç) Íåò. Îïåðàöèè çàäàíû, íî âîçíèêàþò ïðîáëåìû ñ âûïîëíåíèåìG3 è íóë¼ì: åñëè äîîïðåäåëèòü a = 0−1, òîãäà 1 = (0 · 0−1) · 1 =0 · (0−1 · 1) = 0.è, é) Äà. Îïåðàöèè çàäàíû, âñå òðè àêñèîìû âûïîëíåíû â ñèëóñâîéñòâ óìíîæåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.ê) Íåò. Îïåðàöèè îïðåäåëåíû, íî íè îäíà èç àêñèîì íå âåðíà:a1= a 6= ,1aa1/a1= a2 6== 2,1/aaaaac(a/b)/c =6== a/(b/c).bc 2 bë) Äà. Îïåðàöèè çàäàíû, ïîñêîëüêó ñóììà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåën·2l +m·2kâèäà 2nk è måñòü. Òàêæå è îáðàòíûé ýëåìåíò îïðåäåë¼í2l2k+l¡ ¢−1= − 2nk ). Âûïîëíåíèå âñåõ àêñèîì ãðóïïû ñëåäóåò èç ñâîéñòâ( 2nkñëîæåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë.ì) Äà. Ïðîèçâåäåíèå êîðíåé èç åäèíèöûµεk = cos2πkn¶µ+ i sin¶2πk,nk = 0, 1, .

. . , n − 1,çàäàíî, ïîñêîëüêó ïî çàäà÷å 5, Êîìïëåêñíûå ÷èñëà-2µ¶2πk + 2πl+ i sinnµ¶µ¶2π(k + l)2π(k + l)= cos+ i sin= εk+l .nn2πk + 2πlεk · εl = cosn¶µÎáðàòíûé ýëåìåíò òàêæå îïðåäåë¼í: (εk )−1 = εn−k . Àêñèîìû ãðóïïû âûïîëíÿþòñÿ â ñèëó ñâîéñòâ ïðîèçâåäåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.í) Íåò. Íå îïðåäåëåíà îáðàòíàÿ ìàòðèöà. Òàêæå áóäóò àíàëîãè÷íûå ïðîáëåìû ñ àññîöèàòèâíîñòüþ è íóëåâîé ìàòðèöåé, êàê è âïðèìåðå ç).î) Äà. Ïðîèçâåäåíèå êâàäðàòíûõ ìàòðèö çàäàíî áëàãîäàðÿ ñâîéñòâó îïðåäåëèòåëÿ |AB| = |A| · |B| (èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé). ñèëó íåâûðîæäåííîñòè åñòü îáðàòíàÿ ìàòðèöà.

Âûïîëíåíèå àêñèîì ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö.ï) Äà, àíàëîãè÷íî ï. î).ð) Äà, âñ¼ ñâîäèòñÿ ê ïðîâåðêå òîãî, ÷òî äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ îáðàçóþò ãðóïïó, à ýòî òàê (îïåðàöèèçàäàíû, âûïîëíåíèå àêñèîì ñëåäóåò èç ñâîéñòâ ïðîèçâåäåíèÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë).ñ) Íåò. Íå îïðåäåë¼í îáðàòíûé. Åñòü ïðîáëåìû ñî âñåìè àêñèîìàìè:a ∗ e = ae 6= ea = e ∗ a,−1a ∗ a−1 = aa6= a−1 ∗ a = (a−1)a,c(a ∗ b) ∗ c = (ab)c 6= ab = a ∗ (b ∗ c).ò) Äà. Îïåðàöèè îïðåäåëåíû. Âûïîëíåíèå àêñèîì ñëåäóåò èçñâîéñòâ ìíîãî÷ëåíîâ.32. Äîêàæèòå, ÷òî â ãðóïïå åäèíñòâåííû à) åäèíèöà, á) îáðàòíûéýëåìåíò.Äîêàçàòåëüñòâî.

à) Ïóñòü îò ïðîòèâíîãî, åñòü õîòÿ áû äâàíåéòðàëüíûõ ýëåìåíòà e1 è e2 â ãðóïïå G. Òîãäà e1 · e2 = e2 âñèëó íåéòðàëüíîñòè e1 , òàêæå e1 · e2 = e1 â ñèëó íåéòðàëüíîñòè e2 ,çíà÷èò, e1 = e1 · e2 = e2 , ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ, çíà÷èò, íàøåïðåäïîëîæåíèå áûëî íåâåðíûì.á) Ïóñòü îò ïðîòèâíîãî, åñòü õîòÿ áû äâà îáðàòíûõ ýëåìåíòà x1 èx2 â ãðóïïå G äëÿ äàííîãî ýëåìåíòà x. Òîãäà x1 · x · x2 = x1e = x1 âñèëó îáðàòíîñòè x2 ê x, òàêæå x1 ·x·x2 = ex2 = x2 â ñèëó îáðàòíîñòèx1 ê x, çíà÷èò, x1 = x1 · x · x2 = x2, ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ,çíà÷èò, íàøå ïðåäïîëîæåíèå áûëî íåâåðíûì.3.

Äîêàæèòå, ÷òî åñëè a2 = e äëÿ ëþáîãî a ∈ G, òî ãðóïïà Gàáåëåâà (ò.å. xy = yx äëÿ ëþáûõ x, y ∈ G).Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x, y ïàðà ïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòîâèç G. Ïî óñëîâèþ (xy)2 = e, ò.å. xyxy = e. Óìíîæèì ýòî ðàâåíñòâîíà x ñëåâà: x2 yxy = x. Ïîñêîëüêó â ãðóïïå âûïîëíåíî x2 = e, ñëåäîâàòåëüíî, yxy = x. Óìíîæèì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà y ñïðàâà:yxy 2 = xy èëè yx = xy , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.4. Äîêàæèòå, ÷òî ïîäãðóïïîé ÿâëÿåòñÿà) ïåðåñå÷åíèå ïîäãðóïï äàííîé ãðóïïû,á) ïðÿìàÿ ñóììà ïîäãðóïï äàííîé àáåëåâîé ãðóïïû.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé äâóõ ïîäãðóïï, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷èñëà ïîäãðóïï äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íîå. Ïóñòü H1 ,H2 ïîäãðóïïû G.  ñèëó òðàäèöèè îïåðàöèþ â àáåëåâîì ñëó÷àåîáû÷íî îáîçíà÷àþò íå êàê óìíîæåíèå ·, à êàê ñëîæåíèå: +.à) Äîêàæåì, ÷òî H1 ∩H2 ïîäãðóïïà G. Ïðîâåðÿåì ïåðâîå óñëîâèå ïîäãðóïïû. Ïóñòü x, y ∈ H1 ∩ H2 , çíà÷èò, x, y ∈ H1 , x, y ∈ H2 .Òàê êàê H1 ïîäãðóïïà G, çíà÷èò, xy ∈ H1 . Àíàëîãè÷íî xy ∈ H2 .Çíà÷èò, xy ∈ H1 ∩ H2 .

Ïðîâåðÿåì âòîðîå óñëîâèå ïîäãðóïïû. Åñëèx ∈ H1 ∩H2, òîãäà x ∈ H1, x ∈ H2, îòñþäà çàêëþ÷àåì, ÷òî x−1 ∈ H1è x−1 ∈ H2 . Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî x−1 ∈ H1 ∩ H2 .á) Äîêàæåì, ÷òî H1 ⊕ H2 ïîäãðóïïà G. Ïðîâåðÿåì ïåðâîåóñëîâèå ïîäãðóïïû. Ïóñòü x, y ∈ H1 ⊕ H2 , çíà÷èò, x = x1 + x2 ,4y = y1 + y2, ãäå x1, y1 ∈ H1, x2, y2 ∈ H2. Òàê êàê H1 ïîäãðóïïàG, çíà÷èò, x1 + y1 ∈ H1. Àíàëîãè÷íî x2 + y2 ∈ H2.

Çíà÷èò,x + y = (x1 + y1) + (x2 + y2) ∈ H1 ⊕ H2.Ïðîâåðÿåì âòîðîå óñëîâèå ïîäãðóïïû. Åñëè x ∈ H1 ⊕ H2 , òîãäàx = x1 + x2, ãäå x1 ∈ H1, x2 ∈ H2, îòñþäà çàêëþ÷àåì, ÷òî x−11 =−x1 ∈ H1 è x−12 = −x2 ∈ H2 . Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òîx−1 = (x1 + x2)−1 = −(x1 + x2) = −x1 + (−x2) ∈ H1 ⊕ H2.5. Äîêàæèòå, ÷òî âñå ïîäãðóïïû ãðóïïû öåëûõ ÷èñåë ïî ñëîæåíèþ èìåþò âèä nZ = {nk|k ∈ Z}.Ðåøåíèå. Ïóñòü H ïîäãðóïïà hZ, +i. Åñëè H ñîäåðæèò òîëüêî e = 0 íåéòðàëüíûé ýëåìåíò, òîãäà H = 0 · Z.

Çíà÷èò, íàéä¼òñÿ(0 6=)a ∈ H . Åñëè a < 0, òîãäà a−1 = (−a) > 0. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî {t ∈ H|t > 0} íå ïóñòî. Îïðåäåëèì n = min{t ∈ H|t > 0}, ò.ê.ìû ðàññìàòðèâàåì íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, îíîñîäåðæèò ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò.Äîêàæåì, ÷òî H = nZ. Ïîñêîëüêó n ∈ H , îòñþäà 2n = n+n ∈ H ,3n = 2n + n ∈ H è ò.ä. kn ∈ H äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî k . Òàêêàê H ïîäãðóïïà, òî è n−1 = −n ∈ H , −2n = −n + (−n) ∈ H èò.ä. Çíà÷èò, H ⊃ nZ.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî H 6⊂ nZ, òîãäà íàéä¼òñÿ ÷èñëî m ∈ H \ nZ,ýòî îçíà÷àåò, ÷òî m íå äåëèòñÿ íà n. Ïîäåëèì m íà n ñ îñòàòêîì:m = qn + r, 0 < r < n. Òîãäà r = m + (−qn) ∈ H è ïðè ýòîì0 < r < n ïðîòèâîðå÷èå ñ îïðåäåëåíèåì ÷èñëà n.6.  ãðóïïå G ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî haiG = {e, a, a−1, a2, a−2, a3,a−3, . .

.}. Äîêàæèòå, ÷òî ëèáî âñå ýëåìåíòû ak , al ðàçëè÷íû ïðèk 6= l, ëèáî íàéä¼òñÿ òàêîå ìèíèìàëüíîå k , ÷òî ak = e è òîãäàH = {e, a, . . . , ak−1}, |H| = k .Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íå âñå ak ïîïàðíî ðàçëè÷íû, ò.å.íàéäóòñÿ òàêèå k > l, ÷òî ak = al . Òîãäà, óìíîæàÿ ýòî ðàâåíñòâîíà a−l ñïðàâà, ïîëó÷èì ak−l = e.

Ñëåäîâàòåëüíî, ïîäìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë {t ∈ N>0 |at = e} íå ïóñòî è â í¼ì åñòü ìèíèìàëüíûé ýëåìåíò k . Äîêàæåì, ÷òî as 6= at ïðè 0 ≤ t < s ≤ k . Ïóñòü îò−tïðîòèâíîãî, as = at . Òîãäà óìíîæåíèåìíàaïîëó÷èì ðàâåíñòâî5as−t = e. Ìû íàøëè ïîëîæèòåëüíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî m = s − t,êîòîðîå, ñ îäíîé ñòîðîíû, ìåíüøå k (m = s − t ≤ (k − 1) − 0 < k ),ñ äðóãîé ñòîðîíû, am = e ïðîòèâîðå÷èå ñ îïðåäåëåíèåì k .7. Äîêàæèòå, ÷òî êîíå÷íîå ìíîæåñòâî G, íà êîòîðîì îïðåäåëåíààññîöèàòèâíàÿ áèíàðíàÿ îïåðàöèÿ è êàæäîå èç óðàâíåíèé ax = b,ya = b äëÿ ëþáûõ a, b ∈ G èìååò â G íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ,áóäåò ãðóïïîé.Ðåøåíèå.

Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà a ∈ G îïðåäåëèì îòîáðàæåíèÿ la : G → G è ra : G → G ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì:la(x) = ax,ra(x) = xa.Äîêàæåì, ÷òî îòîáðàæåíèÿ la , ra äëÿ ëþáîãî a ∈ G ÿâëÿþòñÿ áèåêöèÿìè. Ïîñêîëüêó G êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ýòè îòîáðàæåíèÿ èíúåêòèâíû (ðàçíîçíà÷íû), ïîñêîëüêó èíúåêòèâíîå îòîáðàæåíèå êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà íà ñåáÿ âñåãäàñþðúåêòèâíî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàéäóòñÿ òàêèå x, y ∈ G, ÷òîla(x) = la(y) = p ∈ G, òîãäà óðàâíåíèå az = p èìååò íå ìåíüøå,÷åì äâà ðåøåíèÿ x, y ïðîòèâîðå÷èå ñ óñëîâèåì çàäà÷è.Èç áèåêòèâíîñòè îòîáðàæåíèé la , ra ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèÿ ax =b, ya = b äëÿ ëþáûõ a, b ∈ G èìåþò â G â òî÷íîñòè åäèíñòâåííûåðåøåíèÿ. Ïóñòü e ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ax = a äëÿ íåêîòîðîãîa ∈ G.

Òîãäà aey = ay äëÿ ëþáîãî y ∈ G èëè la(ey) = la(y), ÷òîâëå÷¼ò ðàâåíñòâî ey = y äëÿ ëþáîãî y ∈ G. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî eíå ÿâëÿåòñÿ åäèíèöåé ãðóïïû G, òîãäà íàéä¼òñÿ x ∈ G òàêîé, ÷òîxe 6= x. Íî òîãäà xe · e = xe = p, ò.å. re(xe) = re(x) è óðàâíåíèåze = p èìååò íå ìåíüøå, ÷åì äâà ðåøåíèÿ ïðîòèâîðå÷èå. Çíà÷èò,e åäèíèöà ãðóïïû G. Îáðàòíûé ýëåìåíò x−1 îïðåäåëÿåòñÿ êàêåäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ xy = e. Îñòà¼òñÿ ïîêàçàòü, ÷òîx−1x = e. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî x−1x · x−1 =ex−1 = x−1, çíà÷èò, x−1x ñîâïàäàåò ñ e åäèíñòâåííûì ðåøåíèåìóðàâíåíèÿ zx−1 = x−1 .6.