2016.10.14_Kramer_solutions (Семинары с решением 2016)

Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Метод Крамера и теорема Лапласа14 октября • 16135 группаРешитесистему линейных уравненийметодом Крамера: 2x1 + 5x2 + 4x3 = 303x1 − 2x2 + 4x3 = 21б) 3x1 + 4x2 − 2x3 = 91. а)x + 3x2 + 2x3 = 150 12x1 − x2 − x3 = 10,2x+10x+9x=110,1232x1 + 2x2 − x3 + x4 = 44x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 6в)8x1 + 5x2 − 3x3 + 4x4 = 12 3x + 3x − 2x + 2x = 6.1234Решение. а) Что ж, будем вычислять все определители припомощи метода Гаусса (где-то с хитрецой): 2 1 0 2 5 4 2 5 4 2 5 4 1 3 2 = 1 3 2 = 5 1 3 2 = 5 1 1 0 = 5.

0 1 1 0 1 1 2 10 9 0 5 5Далее, при вычислении x1, x2, x3 из столбца свободных коэффициентов будем выносить за знак определителя 10, при делении наопределитель, равный 5, получим 2.−2 5 4−2 1 4 3 5 4x1 = 2 15 3 2 = 2 12 3 2 = 2 12 1 211 10 9 1 10 9 1 1 90 1 0 14 −2 = −2(70 + 6) = −152;= 2 14 1 −2 = −2 3 53 1 5 2 3 4 2 3 0 2 3 = 10(2 · 15 − 1 · 3) = 270;x2 = 2 1 15 2 = 2 1 15 0 = 10 1 152 11 92 11 510 −1 −272 5 3 2 5 3 x3 = 2 1 3 15 = 2 1 3 15 = 2 1 3 15 0 50 5 8 2 10 118 = 2(−1)(−8 + 27 · 5) = −(270 − 16) = −254.б) Сперва вычисляем определитель, попутноненулевой: 3 −2 4 3 −2 4 3 −2 4 3 3 4 −2 = 0 6 −6 = 6 0 1 −1 = 6 0 2 −1 −1 2 −1 −12 −1 −12проверяя, что он−2 2 1 0 −1 −2= 6(3 · (−2) − 2 · 2) = −60.Теперь находим21 −21 x1 = − 9 460 10 −1значения переменных:1 0 61 04 011−2 = − −1 5 −1 = − −1 55 60 60 −110 −1 −110 −1 −611 55(−61 + 1)5 =− =−= 5;60 −1 −61603 21 4 9 39 0 1 −99 + 391 x2 = − 3 9 −2 = − −1 −11 0 = −= −1;60 6060 2 10 −12 10 −13 −2 21−1 0 1 1 1 −51 − 9x3 = − 3 4 9 = − 9 0 51 = −= 1.60 6060 2 −1 102 −1 10в) Вычисляем определитель матрицы, вычитая из 4-й строки 2ю, из 3-й удвоенную 2-ю и, наконец, удвоенную 1-ю из 2-й: 2 2 −1 1 2 2 −1 1 4 3 −1 2 0 −1 1 0= = −(−1)(1 + 1) = 2.8 5 −3 4 0 −1 −1 0 3 3 −2 2 −1 0 −1 0Выносим из столбца свободных коэффициентов двойку, тогда онасократится со значением определителя.Используя схожесть 2-го2столбца СЛУ и столбца свободных коэффициентов, легко гаусситьопределители: 2 2 −1 1 0 2 −1 1 2 −1 1 2 0 1 3 3 −1 2 0 3 −1 2 x1 = = = 3 −1 2 = 3 1 2 = 1;6 5 −3 4 1 5 −3 4 3 −2 2 3 0 23 3 −2 2 0 3 −2 2 2 2 −1 1 2 2 −1 1 4 3 −1 2 0 −1 1 0x2 = = = −(−1)(1 − 0) = 1;8 6 −3 4 0 0 −1 0 3 3 −2 2 −1 0 −1 0 2 2 2 1 0 0 2 1 4 3 3 2 0 0 3 2 x3 = = −(2 · 2 − 1 · 3) = −1;=8 5 6 4 0 −1 6 4 3 3 3 2 −1 0 3 2 2 2 −1 2 2 2 −1 0 2 2 −1 4 3 −1 3 4 3 −1 0=−=x4 = 43−1 8 5 −3 6 8 5 −3 1 3 3 −23 3 −2 3 3 3 −2 02 2 −12 2 −1= − 0 −1 1 = − 0 −1 1 = −(2 · 1 − (−1) · (−1)) = −1.1 0 0 1 1 −1Припомощи теоремыЛапласа вычислите определители матриц1 1 3 42 0 0 82.

.3 0 0 24 4 7 5Решение. Фиксируем строки 2,3, тогда по теореме Лапласаопределитель равен ровно одному слагаемому, соответствующему3выбору столбцов 1,4:1 1 3 4 2 0 0 8 2 8 1 3·= (−20)(−5) = 100.=3 0 0 2 3 2 4 74 4 7 5 −4 1 2 −2 1 0 3 0 1 −53.  2 −3 1 −3 1 .−1 −1 3 −1 0 0 4 0 2 5Решение. Фиксируем строки 2,5, тогда по теореме Лапласа вычисление определителя сведётся к сумме трёх произведений миноров (выбираем столбцы с номерами 2,4; 2,5 и 4,5):−4 1 2 −2 1 0 3 0 1 −5 2 −3 1 −3 1 −1 −1 3 −1 0 0 4 0 2 5 −4 2 −2 −4 2 1 2+5+2+5 3 −5 2+5+2+4 3 1 = (−1)4 5 · 2 1 −34 2 · 2 1 1 + (−1)−1 3 −1−1 3 0 −4 1 2 2+5+4+5 1 −5 + (−1)2 5 · 2 −3 1−1 −1 3= −2 · 17 + 35 · (−36) + 15 · 15 = −34 − 1260 + 225 = −1069.()M1 M24., где Mi — матрицы порядка k приM3 M4а) M3 = 0, б) M1 = 0.Решение.

а) Выбирая строки с номерами 1, 2, . . . , k, получимпо теореме Лапласа равенство определителя ровно одному произ4ведению миноров:M1 M2 1+2+...+k+1+2+...+k|M1| · |M3| = |M1| · |M3|.M3 M4 = (−1)б) Выбирая строки с номерами k+1, k+2, . . . , 2k, получим по теореме Лапласа равенство определителя ровно одному произведениюминоров:M1 M2 k+1+k+2+...+2k+1+2+...+k|M3| · |M2|M3 M4 = (−1)= (−1)k2 +2 k(k+1)22|M1| · |M3| = (−1)k |M1| · |M3| = (−1)k |M1| · |M3|,поскольку чисел k и k 2 для любого k совпадает.5. Пусть A, B ∈ Mn(F ).

Докажите, что a11 0 a12 0 . . . a1n 0 0 b0 b12 . . . 0 b1n 11a 21 0 a22 0 . . . a2n 0 0 b21 0 b22 . . . 0 b2n = |A| · |B|.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 0 an2 0 . . . ann 0 0 bn1 0 bn2 . . . 0 bnnДоказательство. Выберем строки с нечётными номерами 1,3, 5, .

. . , 2n − 1, применяя теорему Лапласа, вычисляем определитель матрицы как ровно одно произведение миноров (выбираемстолбцы с теми же номерами):det = (−1)1+3+5+...+2n−1+1+3+5+...+2n−1|A| · |B| = |A| · |B|.6. Перемножая два определителя x 1 x2 x3 x4 y1 −x2 x1 −x4 x3 −y2·−x3 x4 x1 −x2 −y3 −x4 −x3 x2 x1 −y45y2 y3 y4 y1 −y4 y3 ,y4 y1 −y2−y3 y2 y1 докажите тождество Эйлера:(x21 + x22 + x23 + x24)(y12 + y22 + y32 + y42)= (x1y1 − x2y2 − x3y3 − x4y4)2 + (x1y2 + x2y1 + x3y4 − x4y3)2+ (x1y3 + x3y1 − x2y4 + x4y2)2 + (x1y4 + x4y1 + x2y3 − x3y2)2.Доказательство. Обозначим исходную матрицу, составленную из xi, как X, а матрицу — из yi, как Y .

Равенства |X| =(x21 + x22 + x23 + x24)2, |Y | = (y12 + y22 + y32 + y42)2 были доказаны в задаче№4, Определители. Найдём произведение XY : x1 x2 x3 x4y1 y2 y3 y4 −x2 x1 −x4 x3  −y2 y1 −y4 y3 ·−x3 x4 x1 −x2 −y3 y4 y1 −y2−x4 −x3 x2 x1−y4 −y3 y2 y1∆1 ∆2 ∆3 ∆4−∆2 ∆1 −∆4 ∆3 = , (1)−∆3 ∆4 ∆1 −∆2−∆4 −∆3 ∆2 ∆1где∆1 = x1y1 − x2y2 − x3y3 − x4y4,∆3 = x1y3 + x3y1 − x2y4 + x4y2,∆ 2 = x1 y2 + x2 y1 + x3 y4 − x4 y3 ,∆4 = x1y4 + x4y1 + x2y3 − x3y2.По той же задаче №4, Определители, детерминант полученной матрицы, составленной из ∆i, равен (∆21 + ∆22 + ∆23 + ∆24)2.Наконец, соберём всё вместе:(x21 + x22 + x23 + x24)2(y12 + y22 + y32 + y42)2 = |X| · |Y | = |X · Y |= (∆21 + ∆22 + ∆23 + ∆24)2.Отсюда получаем, что± (x21 + x22 + x23 + x24)(y12 + y22 + y32 + y42)= (x1y1 − x2y2 − x3y3 − x4y4)2 + (x1y2 + x2y1 + x3y4 − x4y3)2+ (x1y3 + x3y1 − x2y4 + x4y2)2 + (x1y4 + x4y1 + x2y3 − x3y2)2.6Рассматривая коэффициент при мономе x21y12, выбираем положительный знак, тем самым, доказывая утверждение.Замечание.

Значение тождества Эйлера (1748) для математикивелико. С помощью него в 1770 году Лагранж доказал, что любоенатуральное число представимо в виде суммы четырёх квадратовнатуральных чисел. В 1843 Гамильтон ввёл кватернионы (гиперкомплексные числа), для них, как и для комплексных чисел, вводится понятие модуля. Тождество Эйлера на языке кватернионоввыражает следующее: модуль произведения двух кватернионов равен произведению их модулей.7.