2016.10.12_inverse_matrix_solutions (Семинары с решением 2016)
Описание файла
Файл "2016.10.12_inverse_matrix_solutions" внутри архива находится в следующих папках: Вышка_Семинары_с_решением_гр_16135(2016), Решения. PDF-файл из архива "Семинары с решением 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Îáðàòíàÿ ìàòðèöà12 îêòÿáðÿ • 16135 ãðóïïà1 22 7 32 31. Íàéäèòå îáðàòíóþ ìàòðèöó ê à) 3 9 4, á) 1 11 5 31 01 1 1 ... 11 1 ... 11 0 1 . . .
10 1 . . . 1â) , ã) 1 1 0 . . . 1.. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .0 0 ... 11 1 1 ... 0311−242,−1−6Ðåøåíèå. à) Èùåì îáðàòíóþ ìàòðèöó ïåðâûì ñïîñîáîì:2 7 3 | 13 9 4 | 01 5 3 | 01 −1à 0 10 00 01 5 3 | 01 0 à 0 −3 −3 | 10 10 −6 −5 | 01−2 | 0 1 −21 | − 31 0 23 à 01 | −2 1 10Çíà÷èò,0 10 −2 1 −30 0 | − 37 2 − 131 0 | 35 −1 − 13 .0 1 | −2 1 1−12 7 3−7 6 −13 9 4 = 1 5 −3 −1 .31 5 3−6 3 3á) Òàêæå èùåì ïåðâûì ñïîñîáîì:12112310311−242−1−6||||1000010000100100Ã001011111123−1−1554||||010000011−11−200−1110Ã0010Ã001100121311001210−1501||||01−11000−11−121−1 |5 |0 |1 |10Ã0001−14000−11−12−501000001001000−1000−13| 22 −6 −26 17| −17 5 20 −13.| −1 02 −1 | 4 −1 −5 3â) Èùåì îáðàòíóþ ìàòðèöó ïåðâûì ñïîñîáîì.
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî áóäåò èç êàæäîé ñòðîêè (êðîìå ïîñëåäíåé) âû÷åñòü ñëåäóþùóþ ñòðîêó:1 1 1 ... 1 1 | 1 0 0 ... 0 00 1 1 . . . 1 1 | 0 1 0 . . . 0 00 0 1 . . . 1 1 | 0 0 1 . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 1 | 0 0 0 . . . 1 00 0 0 ...
0 1 | 0 0 0 ... 0 11 0 0 . . . 0 0 | 1 −1 0 . . . 0 00 1 0 . . . 0 0 | 0 1 −1 . . . 0 0 0 0 1 . . . 0 0 | 0 0 1 . . . 0 0 Ã.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . 1 0 | 0 0 0 . . . 1 − 10 0 0 ... 0 1 | 0 0 0 ... 0 1ã) Ðåøàÿ ïåðâûì ñïîñîáîì, âû÷òåì èç âñåõ ñòðîê ïåðâóþ, à çàòåì2óæå è äîãàóññèì ïåðâóþ ñòðîêó:1 1 1 ... 1 | 1 0 0 ... 01 0 1 . . .
1 | 0 1 0 . . . 01 1 0 . . . 1 | 0 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 ... 0 | 0 0 0 ... 11 1 1 ... 1 | 1 0 0 ... 00 −1 0 . . . 0 | −1 1 0 . . . 0Ã 0 0 −1 . . . 0 | −1 0 1 . . .
0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . −1 | −1 0 0 . . . 11 0 0 ... 0 | 2 − n 1 1 ... 10 1 0 . . . 0 | 1 −1 0 . . . 0 à 0 0 1 . . . 0 | 10 −1 . . . 0 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 ... 1 | 10 0 . . . −12. Êàê èçìåíèòñÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà A−1, åñëè â ìàòðèöå Aà) ïåðåñòàâèòü i-þ è j -þ ñòðîêè,á) i-þ ñòðîêó óìíîæèòü íà íåíóëåâîå ÷èñëî c,â) ê i-é ñòðîêå ïðèáàâèòü j -þ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà c?Ðåøåíèå. à) Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî AA−1 = E , ïîëó÷àåì, ÷òîïðè ïåðåñòàíîâêå i-é è j -é ñòðîê ìàòðèöû A íóæíî ïåðåñòàâèòü i-éè j -é ñòîëáöû ìàòðèöû A−1 .á) Èç ðàâåíñòâà AA−1 = E ñëåäóåò, ÷òî i-é ñòîëáåö ìàòðèöû A−1íóæíî ïîäåëèòü íà c.â) Ïóñòü A1 , . .
. , An ñòðîêè ìàòðèöû A, B 1 , . . . , B n ñòîëáöûìàòðèöû A−1 . Òîãäà ïðîèçâåäåíèå (A1 , A2 , . . . , Ai + cAj , . . . , An ) ·(B 1, . . . , B n) îòëè÷àåòñÿ îò åäèíè÷íîé ìàòðèöû ðîâíî îäíèì ýëåìåíòîì íà (ij)-ìåñòå (òàì ñòîèò c). Äëÿ èçáàâëåíèÿ îò íåãî ñëåäóåòèç j -ãî ñòîëáöà ìàòðèöû A−1 âû÷åñòüµ i-é,¶óìíîæåííûéµ ¶ íà c.3 5.5 9Ðåøåíèå. Ïðåäñòàâèì óñëîâèå çàäà÷è â âèäå AX = B .
Ìîæíî3. Ðåøèòå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå31 2X=3 4íàéòè âòîðûì ñïîñîáîì ìàòðèöó A−1 :µ1 23 4¶−1µ¶Tµ¶11 4 −24 −3==−.1 · 4 − 2 · 3 −2 12 −3 1Çíà÷èò, óìíîæàÿ ðàâåíñòâî AX = B íà A−1 ñëåâà (Ýòî âàæíî!Ïîñêîëüêó óìíîæåíèå ìàòðèö íå êîììóòàòèâíî):µ¶µ ¶µ¶ µ¶1 4 −21 2 23 5−1 −1X=−=−=.5 92 32 −3 12 −4 −6Âû÷èñëèòåðàíã ìàòðèöû−1 2 14. à) −3 0 5−5 4 71 2 0 3 6 −2â) −2 −4 2−1 −2 2−1 3 2 4 134 , á) 0 −2 5 0 −3,10 1 −5 3 7 64 5−1 −3.5 79 11Ðåøåíèå. à) Âûáåðåì ìèíîð ïîðÿäêà 1 ýëåìåíò −1, ¯ýòî íåíó¯¯−1 2¯¯=ëåâîé ìèíîð. Åãî ìîæíî îêàéìëèòü ìèíîðîì 2 ïîðÿäêà ¯¯−3 0¯6 6= 0. Îêàéìëèòü ìèíîð ïîðÿäêà 2 ìîæíî äâóìÿ ñïîñîáàìè:¯¯¯−1 2 1¯¯ ¯¯¯¯¯¯2 1¯¯−1 2¯¯¯−3 0 5¯ = (−1)(−3) ¯ ¯ − 5 ¯¯4 7¯¯−5 4¯ = 30 − 30 = 0,¯¯¯−5 4 7¯¯¯¯−1 2 3 ¯¯¯¯¯¯¯¯2 3 ¯¯−1 2¯¯−3 0 4 ¯ = (−1)(−3) ¯¯¯¯¯¯¯4 10¯ − 4 ¯−5 4¯ = 24 − 24 = 0.¯−5 4 10¯Çíà÷èò, ðàíã ìàòðèöû ðàâåí 2.á) Òàêæå íà ïåðåñå÷åíèè ïåðâûõ ¯äâóõ ñòðîêèè ïåðâûõ äâóõ¯¯−1 3 ¯¯ = 2 6= 0.
Îêàéìëÿåì−2¯ñòîëáöîâ ïîëó÷àåì íåíóëåâîé ìèíî𠯯0ïðè ïîìîùè 3-é ñòðîêè è 3-ãî ñòîëáöà:¯¯¯−1 3 2¯¯¯ ¯¯¯¯¯−2 5¯ ¯ 3 2¯¯ 0 −2 5¯ = (−1) ¯¯ ¯¯¯¯¯−5 3¯ + ¯−2 5¯ = −19 + 19 = 0.¯ 1 −5 3¯4Îêàéìëÿåì ïðè ïîìîùè 3-é ñòðîêè è 4-ãî ñòîëáöà:¯¯¯−1 3 4 ¯¯¯ ¯¯¯¯¯−2 0¯ ¯ 3 4¯¯ 0 −2 −1¯ = (−1) ¯¯ ¯¯¯¯¯−5 7¯ + ¯−2 0¯ = 14 + 6 = 20 6= 0.¯ 1 −5 7 ¯Çíà÷èò, ðàíã ìàòðèöû ðàâåí 3.â) Íà ïåðåñå÷åíèè ïåðâûõ¯ äâóõ ¯ ñòðîêè è 3-ãî è 4-ãî ñòîëáöîâ¯0 4¯¯ = 2 6= 0 (ñïåöèàëüíî âûáèðàåìïîëó÷àåì íåíóëåâîé ìèíî𠯯−2 −1¯òàêîé, ÷òîáû ñîäåðæàë íîëü ïðîùå ñ÷èòàòü!).
Îêàéìëÿåì åãî ïðèïîìîùè 3-é ñòðîêè è 5-ãî ñòîëáöà:¯¯¯¯¯¯¯0 4 5¯¯−2 −1¯¯¯¯−2 −3¯¯¯¯¯−2 −1 −3¯ = (−4) ¯¯ 2 7 ¯ + 5 ¯ 2 5 ¯ = 32 − 40 = −8 6= 0,¯¯¯2 5 7¯Ïðîâåðÿåì îáà âàðèàíòà îêàéìëåíèÿ ïîëó÷åííîãî ìèíîðà ïîðÿäêà 3.  ïåðâîì ñëó÷àå ïðè âû÷èòàíèè 1-ãî ñòîëáöà, óìíîæåííîãîíà 4, èç 3-ãî ïîëó÷èì ïðîïîðöèîíàëüíûå ñòîëáöû:¯¯1¯¯¯3¯¯−2¯¯−10−2224−159¯ ¯5 ¯¯ ¯¯ 1¯ ¯−3¯ ¯ 3¯=¯7 ¯ ¯−2¯ ¯11 ¯ ¯−1¯005 ¯¯¯−2 −13 −3¯¯ = 0.2 13 7 ¯¯2 13 11 ¯Âî âòîðîì ñëó÷àå âû÷èòàåì èç 3-ãî ñòîëáöà 1-é ñòîëáåö, óâåëè÷åííûé íà 2, è òàêæå ïîëó÷àåì íóëåâîé ìèíîð:¯¯2¯¯¯6¯¯−4¯¯−20−2224−159¯ ¯5 ¯¯ ¯¯ 2¯ ¯−3¯ ¯ 6¯=¯7 ¯ ¯−4¯ ¯11 ¯ ¯−2Çíà÷èò, ðàíã ìàòðèöû ðàâåí 3.5¯005 ¯¯¯−2 −13 −3¯¯ = 0.2 13 7 ¯¯2 13 11 ¯.
