2016.10.05_determinant_solutions (Семинары с решением 2016)

Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Определители5 октября • 16135 группа1. Докажите,() чтоa bа) det= ad − bc,c da b cб) det d e f  = (aei + bf g + cdh) − (ceg + af h + bdi),g h iв) det E = 1.Доказательство. а) По определению.e f d f d e − bб) det A = a g i + c g hh i= a(ei − f h) − b(di − f g) + c(dh − eg)= (aei + bf g + cdh) − (ceg + af h + bdi).в) При размере матрицы n = 1 утверждение очевидно. При n>1расписываем определитель по первой строке, получим det En= 1 · det En−1, по индукции это 1.2. Как изменится определитель матрицы порядка n, если еёстроки записать в обратном порядке?Решение.

Пусть A — исходная матрица со строками A1, . . . , An,а B — конечная матрица со строками An, . . . , A1. Стартуя с матрицы A, будем менять строки местами методом пузырька: сперваA1 меняется местами с A2, затем A1 с A3 и т.д., пока строка A1 неокажется на последнем месте. После этого аналогичную процедурупроделаем со строкой A2 и т.д. до строки An−1. Итого мы совершили n − 1 + (n − 2) + . . .

+ 1 = n(n−1)замен местами. По свойству2определителя получаем det B = (−1)n(n−1)/2 det A.1Вычислите определители:1111a + x xa b c x1 31−1113 2; б) b c a; в) x b + x x ; г) .11−11 xc a bx c + x4 31 1 1 −1Решение.2 1 3 а) 5 3 2 = (2·3·3+1·2·1+3·5·4)−(3·3·1+2·2·4+1·5·3) = 80−40 = 40.1 4 3 a b c б) b c a = (acb + bac + cba) − (c3 + a3 + b3) = 3abc − (a3 + b3 + c3).c a bЗаметим, что если к первой строке прибавить две другие, получим, что все элементы первой строки станут равны a + b + c.Вынося по свойству определителя этот скаляр за скобку, получимdet = (a + b + c)(ab + ac + cb − a2 − b2 − c2).в) На первом шаге вычитаем первую строку из оставишхся, навтором — раскрываем определитель по 3-му столбцу: a + x x x a + x xx−a ba + x x x b + x x = −a b 0 = x −a 0 + c −a b xx c + x −a 0 c ()1 1 1 1= xab + c((a + x)b + ax) = abcx+ + +.x a b cг) Вычитая первую строку из всех оставшихся, получим верхнетреугольную матрицу: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 1 1 0 −2 0 0 = = 1(−2)(−2)(−2) = −8.1 1 −1 1 0 0 −2 0 1 1 1 −1 0 0 0 −2 a b c d −b a −d c 4.

Докажите, что = (a2 + b2 + c2 + d2)2. −c d a −b −d −c b a3.2а) 512Доказательство. Если все числа a, b, c, d равны нулю, то утверждение верно. Пусть a ̸= 0. Умножим 1-й столбец на a и прибавимк нему 2-й столбец, умноженный на b, третий столбец, умноженныйна c, и четвёртый столбец, умноженный на d: (после этого задачасводится к подсчёту определителя 3 × 3) a b c d a2 + b2 + c2 + d2b c d −b a −d c 1 −ab + ab − dc + cd a −d c = −c d a −b a −ac + bd + ac − bd d a −b −d −c b a−ad − bc + bc + ad −c b a a 2 + b 2 + c 2 + d2 b c d a−dc222210a −d c a + b + c + d = d a −b =0d a −b aa −c b a0−c b aa 2 + b 2 + c 2 + d2 3=[(a − bcd + bcd) − (−ac2 − ab2 − ad2)]a= (a2 + b2 + c2 + d2)2.5.

Вычислите определителипорядка n:a x x . . . x 1 1 1 . . . 1 1x a x ... x1 0 1 . . . 12а) 1 1 0 . . . 1; б) x x a3 . . . x ;. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . x x x . . . an 1 1 1 . . . 0 1 2 3 . . . n 1 2 3 . . . n − 2 n − 1 n−1 0 3 . . . n 2 3 4 . . . n − 1 n nв) −1 −2 0 . . . n; г) 3 4 5 . . . nn n .. . . . . .

. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .−1 −2 −3 . . . 0 n n n . . . nn nРешение. а) Вычитая 1-ю строку из всех оставшихся, получим3верхнетреугольную матрицу: 1 1 1 . . . 1 1 1 1 . . . 1 1 0 1 . . . 1 0 −1 0 . . . 0 1 1 0 . . . 1 = 0 0 −1 . . . 0 = (−1)n−1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . 1 1 1 . . . 0 0 0 0 . . . −1б) Сначала вычтем первую строку из остальных и вынесем изкаждого столбца полученной матрицы множитель ai − x: a x x . . . x axx...x 1 1 x a x . . . x x − a a − x0...0 122 0a3 − x . . .0 x x a 3 . . . x = x − a1 . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x x x . . . a n x − a100. . . a n − xxxx a1 a1−x a2−x a3−x . . . an−x 0 ... 0 −1 1∏(ai − x) −1 0=1 ... 0 .i=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −1 00 ... 1 Прибавляя к первому столбцу все оставшиеся, получим верхнетреугольную матрицу, на главной диагонали которой стоят n − 1 единицы и числоa1xxx+++ ...

+.a1 − x a2 − x a3 − xan − xЗначит, ответ равен)(∏xxxa1+++ ... +=(ai − x)a−xa−xa−xan − x123i=1()∏11111= x (ai − x).++++ ... +xa−xa−xa−xa−x123ni=1Поясним корректность использования при вычислении определителя деления на ai − x. Общее свойство определителя заключается4в том, что определитель является многочленом от элементов матрицы. В данной задаче, полагая ai за константы, получаем, чтоdet A = f (x) — многочлен от x. В конце мы получили (после перемножения всех скобок) многочлен g(x). Равенство f (x) = g(x)доказано для всех точек x ̸= a1, .

. . , an. Многочлены, совпадающиев бесконечном числе точек, равны (это следует из теоремы Безу).в) Прибавим к первой строке последнюю, а затем убьём единицей из первой строки последнюю координату во всех остальныхстроках: 0 0 0 ...0n01 0 0 0 ...−1 0 3 . . . n − 1 n−1 0 3 . . . n − 1 n−1 −2 0 . . . n − 1 n = n −1 −2 0 . . .

n − 1 n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .−1 −2 −3 . . . −n + 1 0 −1 −2 −3 . . . −n + 1 0 0 0 0 ...01−1 0 3 . . . n − 1 0= n −1 −2 0 . . . n − 1 0 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .−1 −2 −3 . . . −n + 1 0Раскрывая определитель по первой строке, получим множитель(−1)n−1n, а в полученной матрице меньшего порядка переставимпоследнюю строку на первое место, вынося из неё единицу:−1 0 3 . . . n − 1 −1 −2 0 . . . n − 1 . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .−1 −2 −3 . . . −n + 1 1 2 3 . . . n − 1 1 2 3 . . . n − 1 −1 0 3 . . . n − 1 −1 0 3 . . . n − 1 n−1n−1 = (−1) ·(−1) −1 −2 0 . . . n − 1 = −1 −2 0 . . . n − 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . −1 −2 −3 . . . 0 −1 −2 −3 . . . 0 Заметим, что мы получили определитель в точности такого же вида, что был и дан в условии, но порядкаn − 1. Продолжая анало5гичный процесс далее, получим ответ n(n − 1)(n − 2) .

. . · 2 · 1 = n!,поскольку при n = 1 определитель равен единице.г) Вычтем из n-го столбца (n−1)-й, из (n−1)-го вычтем (n−2)-йи так дойдём до вычитания из 2-го столбца первого: 12 3 . . . n − 2 n − 1 n 1 1 1 . . . 1 1 1 23 4 . . . n − 1 n n 2 1 1 . . . 1 1 0 4 5 ... nn n 3 1 1 . . . 1 0 0 3=.. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n − 1 n n . . . nn n n − 1 1 0 . . . 0 0 0 n n n ... nn n n 0 0 . . . 0 0 0По задаче 2 при перестановки строк в обратном порядке определитель изменится в (−1)n(n−1)/2 раз. При этом матрица с переставленными строками верхнетреугольная, её определитель равен n.Отсюда ответ: (−1)n(n−1)/2n.6.