2016.09.30_solve_linear_sysrem2_solutions (Семинары с решением 2016)

Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé-230 ñåíòÿáðÿ • 16135 ãðóïïàÈñïîëüçóÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ âåùåñòâà, ðàññòàâüòå ïðàâèëüíûå êîýôôèöèåíòû â õèìè÷åñêîé ðåàêöèè1.KClO3 + H2O2 −→ KCl + O2 + H20.Íàéäèòå îáùåå ðåøåíèå è ÔÑÐ, ïîëàãàÿ íåèçâåñòíûìè êîýôôèöèåíòû ïðè âåùåñòâàõ.Ðåøåíèå.

Ââåä¼ì ïåðåìåííûå, îáîçíà÷àþùèå êîëè÷åñòâà âåùåñòâà â ðåàêöèè:aKClO3 + bH2O2 −→ cKCl + dO2 + eH20.Çàïèøåì ïîëó÷àþùóþñÿ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íà(a, b, c, d, e)T ∈ R5:K:aCl :aO : 3a + 2bH:2b=c,=c,= 2d + e,= 2e.Îòñþäà íàõîäèì, ÷òî c = a, e = b, d = (3a + b)/2. Òåì ñàìûì, a, b ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå, îáùåå ðåøåíèå ïðèíèìàåò âèä     n(KClO3)aa10 n(H O )   b   b 01    2 2       n(KCl)  =  c  =  a  = a 1 + b 0 .   31 n(O2)  d  3a+b222b01n(H20)e êà÷åñòâå áàçèñà ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé ìîæíî âçÿòü âåêòîðû(2, 0, 2, 3, 0) è (0, 2, 0, 1, 2), îíè ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèì ðåàêöèÿì:2KClO3 −→ 2KCl + 3O2,12H2O2 −→ O2 + 2H20.Äëÿ ñëåäóþùèõ ñèñòåì óðàâíåíèé íàéäèòå îáùåå ðåøåíèå è ÔÑÐ.2x1 − 4x2 + 5x3 + 3x4 = 0,3x1 − 6x2 + 4x3 + 2x4 = 0,4x1 − 8x2 + 17x3 + 11x4 = 0.Ðåøåíèå.

Ãàóññèì:2.2 −4 5 32 −4 5 3I3 −6 4 2  ⇝ 1 −2 −1 −1 II−I 4 −8 17 110 0 7 5 III−2·I()1 −2 −1 −1 II1−2−1−1⇝⇝ 0 0 7 5.III0 0 7 50 0 7 5 I−2·IIÎáùåå ðåøåíèå: x2, x4 ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå,    2x42x2 + 722x1  x    1 x2   x2 4 0  . =5x4  = x2   +0 7 −5 x3   − 7 x40x47ÔÑÐ: (2, 1, 0, 0), (2, 0, −5, 7).x1 − x3 + x5 = 0 ,x2 − x4 + x6 = 0 ,x1 − x2 + x5 − x6 = 0 ,x2 − x3 + x6 = 0 ,x1 − x4 + x5 = 0 .Ðåøåíèå. Ãàóññèì:3.1010101−110−100−100110−1 ⇝ 010000 1−1 00 10 0−1 11 0 00 1 0⇝0 0 −10 0 −1−1−1111000010000−111IVIIIV −V20−10−10−1110−11000000−111VIII−V IV I−VII1 0 0 −1 1 0 ⇝ 0 1 0 −1 0 1 .0 0 −1 1 0 0Îáùåå ðåøåíèå: x4, x5, x6 ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå,     x1x4 − x51−10x  x − x 10−16 2  4         x3   x4 100 = = x4   + x5   + x6   . x4   x4 100      x5   x5 010x6x6001ÔÑÐ: (1, 1, 1, 1, 0, 0), (−1, 0, 0, 0, 1, 0), (0, −1, 0, 0, 0, 1).3x1 + 2x2 + 5x3 + 2x4 + 7x5 = 0,6x1 + 4x2 + 7x3 + 4x4 + 5x5 = 0,3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 − 11x5 = 0,6x1 + 4x2 + x3 + 4x4 − 13x5 = 0.Ðåøåíèå.

Ãàóññèì:4.3636242457−1132 74 5 0⇝2 −11004 −132000−16632 −110 180 180 9IIII−IIIII−IVIV −2·III(⇝)3 2 −1 2 −11.0 0 1 0 3Îáùåå ðåøåíèå: x2, x4, x5 ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå,     −2x2 −2x4 +8x5282x1−−3333x  x2 2 001     x3 =  −3x5  = x2  0  + x4  0  + x5 −3 .     x4x4 100001x5x5ÔÑÐ: (2, −3, 0, 0, 0), (2, 0, 0, −3, 0), (8, 0, −9, 0, 3).Âîêðóã êðóãëîãî ñòîëà ñòîÿò äåñÿòü ñòóëüåâ, ïîñëåäîâàòåëüíîïðîíóìåðîâàííûõ îò 1 äî 10.

Íà êàæäîì ñòóëå ñèäèò ðûöàðü (ïðèñâîèì òå æå íîìåðà, ÷òî ïðèïèñàíû èõ ñòóëüÿì). Âíà÷àëå êàæäûéðûöàðü èìåë ÷¼òíîå ÷èñëî ìîíåò. Îäíîâðåìåííî êàæäûé ðûöàðüäà¼ò ïîëîâèíó ñâîèõ ìîíåò ñâîåìó ëåâîìó ñîñåäó è îñòàâøóþñÿ ïîëîâèíó ïðàâîìó. Ïîñëå òàêîé îïåðàöèèîêàçàëîñü, ÷òî ó ïåðâîãî35.ðûöàðÿ (ñèäÿùåãî íà ñòóëå 1) 22 ìîíåòû. À ó êàæäîãî ñëåäóþùåãî ðûöàðÿ íà äâå ìîíåòû áîëüøå, òàê ÷òî ó äåñÿòîãî ðûöàðÿèìååòñÿ ðîâíî 40 ìîíåò.Ñêîëüêî ìîíåò áûëî ó âîñüìîãî ðûöàðÿ â ñàìîì íà÷àëå?Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç 2xi êîëè÷åñòâî ìîíåò, êîòîðîåáûëî âíà÷àëå ó ðûöàðÿ, ñèäÿùåãî íà i-ì ñòóëå.

Òîãäà ïîëó÷àåìñèñòåìó èç 10 ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, âûïèøåì ïîëîâèíó èç íèõ:x10 + x2 = 22,x2 + x4 = 26,x4 + x6 = 30,x6 + x8 = 34,x8 + x10 = 38.Îòñþäà íàõîäèìx10 = 22 − x2 = 22 − (26 − x4)= x4 − 4 = 30 − x6 − 4 = 26 − (34 − x8) = x8 − 8.Òîãäà x8 + x8 − 8 = 38 èëè 2x8 = 46 èñêîìîå ÷èñëî.Ïóñòü äàíû äâà ëèíåéíûõ ìíîãîîáðàçèÿ Mi = xi + Li, ãäåxi ∈ V , Li ≤ V , i = 1, 2. Äîêàæèòå, ÷òî M1 = M2, åññëè L1 = L2 èx1 − x2 ∈ L1.Äîêàçàòåëüñòâî. ⇐) Ïóñòü L1 = L2 è x1 − x2 ∈ L1, äîêàæåì,÷òî M1 = M2. Äåéñòâèòåëüíî,6.M1 = x1 + L1 = x2 + (L1 + x1 − x2) = x2 + L1 = M2,ïîñêîëüêó äëÿ ëþáîãî â.ï. L è âåêòîðà v ∈ L âåðíî L + v = L.Ñ îäíîé ñòîðîíû, L + v ⊂ L, òàê êàê â.ï. çàìêíóòî îòíîñèòåëüíîñëîæåíèÿ.

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ ëþáîãî u ∈ L âûïîëíåíî u =(u − v) + v ∈ L + v .⇒) Ïóñòü M1 = M2. Ïîêàæåì, ÷òî x1 − x2 ∈ L2 è L1 ⊂ L2,àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì, ÷òî x1 − x2 ∈ L1 è L2 ⊂ L1, ñîâîêóïíî ýòî èäîêàæåò óòâåðæäåíèå. Òàê êàê x1 = x1 + 0 ∈ x1 + L1 = x2 + L2,èìååì x1 − x2 ∈ L2. Äëÿ ëþáîãî u ∈ L1 âûïîëíåíî x1 + u ∈ x2 + L2,çíà÷èò, u ∈ (x2 − x1) + L2 = L2. 4Äîêàæèòå, ÷òî ðåøåíèÿ ëþáîé ñîâìåñòíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõóðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè ðàíãà r îáðàçóþò ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå ïðîñòðàíñòâà Rn ðàçìåðíîñòè n − r.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x0 ÷àñòíîå ðåøåíèå ÑËÓ Ax = b.Òîãäà ïðè çàìåíå ïåðåìåííûõ y = x − x0 ïîëó÷àåì îäíîðîäíóþÑËÓ Ay = 0.

Ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà L ðåøåíèé Ay = 0 ðàâíàn − rank(A) = n − r. Çíà÷èò, îáùåå ðåøåíèå åñòü x = y + x0 = x0 + L ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè n − r.Íàéäèòå ïðÿìóþ l, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó c = (8, 9, −11, −15)è ïåðåñåêàþùóþ ïðÿìûå x = a0 + a1t è y = b0 + b1t, ãäå a0 =(1, 0, −2, 1), a1 = (1, 2, −1, −5), b0 = (0, 1, 1, −1), b1 = (2, 3, −2, −4).Íàéäèòå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ l ñ x è y.Ðåøåíèå.

Ïóñòü èñêîìàÿ ïðÿìàÿ l åñòü c + dt, òîãäà óñëîâèÿïåðåñå÷åíèÿ l c x è y èìåþò âèä:7.8.c + dt1 = a0 + a1t2,c + dt3 = b0 + b1t4.Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ âåêòîðîâ, ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé:7 + d1t1 9 + d2t1 −9 + d3t1 −16 + d4t1==== t2 ,12−1−58 + d1t3 8 + d2t3 −12 + d3t3 −14 + d4t3==== t4 .23−2−4Èç ïåðâûõ ðàâåíñòâ êàæäîé èç ñòðîê âû÷èñëÿåìt1 =5,d2 − 2d1t3 =8.2d2 − 3d1Çàìåíÿÿ t1, t3 íà ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ, ïîëó÷àåì îäíîðîäíóþÑËÓ íà di:9d1 − 2d2 + 5d3 = 0,−13d1 + 19d2 + 5d4 = 0,20d1 − 8d2 + 8d3 = 0,5d1 + 2d2 + 4d4 = 0.Áóäåì ãàóññèòü, íî ïî-õèòðîìó (à êàê èíà÷å!). Ìû áóäåì ãàóññèòüïî ïåðåìåííûì d4 è d3 (ìîæíî áûëî ïåðåîáîçíà÷èòü ïåðåìåííûå è5ïðèìåíÿòü îáû÷íûé ìåòîä Ãàóññà, íî, êàæåòñÿ, ìîðîêè áóäåò íåìåíüøå):−2 519 0−8 82 013−18⇝ 11779−13 205905−18⇝0 1154−1017−6−6610300100−2 517 0−6 32 00 I1 II−IV 0 III−I 4 IV−18 17 0 1 II2·III−I 13 −10 1 0II I⇝−282400IIIIII−3·I 7 −6 0 0 IV /11IV −4·23 −1 0 1 I+3·IV⇝ −1 2 1 0 II−2·IV  .7 −6 0 0 IVÐàíã ïîëó÷èâøåéñÿ ìàòðèöû ðàâåí 3, çíà÷èò, ïðîñòðàíñòâî ðåøåíèé îäíîìåðíî.

 êà÷åñòâå ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé áåð¼ì d1, ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå:d16 7d1  d  6 1 7 , −4d1  = 6  −8  3 −11d1−116Òåì ñàìûì, âåêòîð d ìîæíî âçÿòü ðàâíûì (6, 7, −8, −11). Ëåãêîïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî t1 = −t2 = −1, t3 = t4 = −2. Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ lñ x è y åñòü ñîîòâåòñòâåííî A = (2, 2, −3, −4), B = (−4, −5, 5, 7).Ïóñòü âûáðàíû ïðîèçâîëüíûåâåêòîðû Rn a0, a1, . . . , ak .

Äî-}{k∑êàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî P = α0a0 + α1a1 + . . . + αk ak | αi = 1i=0ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìíîãîîáðàçèåì è dim P = rank(a1 − a0, a2 −a0, . . . , ak − a0).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî P ðàâíî ëèíåéíîìó ìíîãîîáðàçèþ M = a0 + L, ãäå L = L(a1 − a0, . . . , ak − a0), îòñþäà áóäåòñëåäîâàòü è âòîðàÿ ÷àñòü óòâåðæäåíèÿ. Ïî îïðåäåëåíèþ M ⊂ P .9.6Ñ äðóãîé ñòîðîíû, P = a0 + T , ãäå}{k∑αi = 0 ,T = α0a0 + α1a1 + .

. . + αk ak |i=0à âåêòîðû a1 − a0, . . . , ak − a0 ëèíåéíî ïîðîæäàþò ïðîñòðàíñòâî T .Çíà÷èò, P ⊂ a0 + L = M .7.