2016.09.28_rank_of_matrix_solutions (Семинары с решением 2016)
Описание файла
Файл "2016.09.28_rank_of_matrix_solutions" внутри архива находится в следующих папках: Вышка_Семинары_с_решением_гр_16135(2016), Решения. PDF-файл из архива "Семинары с решением 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Ðàíã ìàòðèöû28 ñåíòÿáðÿ • 16135 ãðóïïà1.à)Íàéäèòå ðàíã ìàòðèö2 −1 3 −2 44 −2 5 1 7;2 −1 1 8 2á)Ðåøåíèå. à) Ãàóññèì:25757525319494321753542043132.13448()2 −1 3 −2 42 −1 1 8 22−11824 −2 5 1 7 ⇝ 0 0 2 −10 2 ⇝,0 0 2 −10 22 −1 1 8 20 0 3 −15 3òåì ñàìûì, ðàíã ðàâåí 2.á) Ãàóññèì:25757525319494321753542043251320⇝134048031111172334325 31 17 433 ⇝ 0 1 2 3 ,50 0 1 25òåì ñàìûì, ðàíã ðàâåí 3.Íàéäèòå âñå âîçìîæíûåçíà÷åíèÿ ðàíãà ìàòðèö2.à)1 λ −1 22 −1 λ 5;1 10 −6 1á)3λ1214721101744133â çàâèñèìîñòè îò λ.Ðåøåíèå. à) Ïîëüçóÿñü ìåòîäîì Ãàóññà, ïîëó÷èì1 10−6 11 λ −1 22 −1 λ 5 ⇝ 0 λ − 1051 .0 −21 λ + 12 31 10 −6 11Ðàíã ïîëó÷åííîé ìàòðèöû ðàâåí 3, òîëüêî åñëè ïîñëåäíèå äâå ñòðîêè íå ïðîïîðöèîíàëüíû (òîãäà ðàíã ðàâåí 2).
Óñëîâèå ïðîïîðöèîíàëüíîñòè èìååò âèä:(λ − 10)(λ + 12) = −21 · 5,3(λ − 10) = −21,èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íàõîäèì λ = 3, ïåðâîå ðàâåíñòâî ïðè λ = 3òàêæå âûïîëíÿåòñÿ. Çíà÷èò, ïðè λ = 3 ðàíã ðàâåí 2, èíà÷å 3.á) Îò ïåðåñòàíîâêè ñòîëáöîâ ìåñòàìè ðàíã ìàòðèöû íå ïîìåíÿåòñÿ, ïîýòîìóïîìåíÿåììåñòàìè 1 è 4 ñòîëáöû.Ïîñëå ýòîãî ãàóññèì:1472110174413331λ0⇝10201 4311436 −15 λ − 12 ⇝ 0 2 −5 −4 .10 −25 −20 0 0 0 λ2 −5−4ßñíî, ÷òî ïðè λ ̸= 0 ðàíã ðàâåí 3, èíà÷å 2.Äîêàæèòå, ÷òî ëþáóþ ìàòðèöó ðàíãà r ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå ñóììû r ìàòðèö ðàíãà 1, íî íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììûìåíåå ÷åì r òàêèõ ìàòðèö.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïóñòü ðàíã ìàòðèöû A ðàâåí r è A1, . . . , Am ñòðîêè ìàòðèöû A. Ôàêòè÷åñêè ðàâåíñòâî rank A = r îçíà÷àåò,÷òî dim L(A1, . . . , Am) = r. Ïóñòü y1, . . . , yr áàçèñ L(A1, . . . , Am),òîãäà îïðåäåëèì ìàòðèöû B1, . . . , Br ñëåäóþùèì îáðàçîì: k-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû Bi ðàâíÿåòñÿ skiyi, ãäå ski êîîðäèíàòà ïî yi ïðè ðàçëîæåíèè Ak ïî áàçèñó y1, .
. . , yr . Ïî ïîñòðîåíèþ A = B1 + . . . + Br ,ïðè ýòîì rank Bi ≤ 1, òàê êàê âñå ñòðîêè Bi ïðîïîðöèîíàëüíû yi.Òîò ôàêò, ÷òî rank Bi = 1 ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ó õîòÿ áû îäíîé ñòðîêè Ak åñòü íåíóëåâàÿ êîîðäèíàòà ïî yi, èíà÷å âåêòîð yi íå âõîäèëáû â áàçèñ L(A1, . . . , Am) è â êà÷åñòâå áàçèñà L(A1, . . . , Am) ìîæíîáûëî ðàññìàòðèâàòü y1, . . . , yi−1, yi+1. . .
. , yr , ÷òî ïðîòèâîðå÷èâî.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A = B1 + . . . + Bs, ãäå s < r, rank Bi=1.Îáîçíà÷èì ÷åðåç xi ïðîèçâîëüíóþ íåíóëåâóþ ñòðîêó ìàòðèöûBi. Òîãäà âñå ñòðîêè Bi ïðîïîðöèîíàëüíû xi. Îòñþäà íàõîäèì, ÷òîA1, . . . , Am ∈ L(x1, . . . , xs). Òåì ñàìûì, L(A1, . . . , Am) ⊆ L(x1, . . . , xs),ò.å. r-ìåðíîå â.ï. ñîäåðæèòñÿ â ëèíåéíîé îáîëî÷êå s < r âåêòîðîâ.Ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà xi èìååò ðàçìåðíîñòü ≤ s, ìû ïðèøëè ê ïðîòèâîðå÷èþ.23.Íàéäèòå áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ñóììû è ïåðåñå÷åíèÿ ïðîñòðàíñòâLa è Lb, ÿâëÿþùèõñÿ ëèíåéíûìè îáîëî÷êàìè ñîîòâåòñòâåííî ñèñòåì âåêòîðîâa1 = (1, 2, 0, 1), a2 = (1, 1, 1, 0), b1 = (1, 0, 1, 0), b2 = (1, 3, 0, 1).Ðåøåíèå. ßñíî, ÷òî dim La = dim Lb = 2.
Ñîñòàâèì èç âåêòîðîâa1, a2, b1, b2 ìàòðèöó è íàéä¼ì ðàíã îáðàçîâàííîé ìàòðèöû, îí âòî÷íîñòè äàñò ðàçìåðíîñòü La + Lb.4.1111210301101001||||||||a11a2 0⇝b1 0b2001130 ||b11 || a1 − a20 || a2 − b1 1 || b2 − b11 0 1 0 ||b1a2 − b1 0 1 0 0 ||⇝0 0 −1 1 || a1 − 2a2 + b1 0 0 −1 1 || b2 + 2b1 − 3a21−10−1Ðàíã ïîëó÷åííîé ìàòðèöû ðàâåí 3. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé(1)Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî dim (La + Lb) = 3, â êà÷åñòâå áàçèñà ìîæíî âçÿòüïîëó÷åííûå âåêòîðû (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, −1, 1). À ðàçìåðíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ íàõîäèì ïî (1): dim (La ∩ Lb) = 2 + 2 − 3 = 1, å¼åäèíñòâåííûé áàçèñíûé âåêòîð âû÷èñëÿåì èç ðàâåíñòâàdim (L1 + L2) + dim (L1 ∩ L2) = dim L1 + dim L2.(0, 0, −1, 1) = a1 − 2a2 + b1 = b2 + 2b1 − 3a2.Çíà÷èò, a1 + a2 = b1 + b2 = (2, 3, 1, 1) áàçèñ La ∩ Lb.a1 = (1, 1, 1, 1), a2 = (1, −1, 1, −1), a3 = (1, 3, 1, 3),b1 = (1, 2, 0, 2), b2 = (1, 2, 1, 2), b3 = (3, 1, 3, 1).Ðåøåíèå. Ñïåðâà íàéä¼ì áàçèñ îáåèõ ëèíåéíûõ îáîëî÷åê.5.1 1 1 1 || a11 1 1 1 ||a11 −1 1 −1 || a2 ⇝ 0 1 0 1 || (a1 − a2)/21 3 1 3 || a30 2 0 2 || a3 − a1()1 0 1 0 || (a1 + a2)/2⇝,0 1 0 1 || (a1 − a2)/23çíà÷èò, (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1) áàçèñ La.1 2 0 2 ||b11 2 0 2 || b11 2 1 2 || b2 ⇝ 0 0 1 0 || b2 − b1 0 −5 3 −5 || b3 − 3b13 1 3 1 || b31 2 0 2 ||b1⇝ 0 −5 0 −5 || b3 − 3b20 0 1 0 || b2 − b11 0 0 0 || (5b1 − 6b2 + 2b3)/5⇝ 0 1 0 1 ||(3b2 − b3)/5 ,0 0 1 0 ||b2 − b1çíà÷èò, (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0) áàçèñ Lb.
Âèäíî, ÷òî La ⊂Lb. Çíà÷èò, La + Lb = Lb è (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0) áàçèñLa + Lb, à (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1) áàçèñ La = La ∩ Lb.a1 = (1, 2, 1, −2), a2 = (2, 3, 1, 0), a3 = (1, 2, 2, −3),b1 = (1, 1, 1, 1), b2 = (1, 0, 1, −1), b3 = (1, 3, 0, −4).Ðåøåíèå. Ãàóññèì-ñ:6.1 2 1 −21 2 1 −2 || a12 3 1 0 || a2 ⇝ 0 1 1 −40 0 1 −11 2 2 −3 || a31 0⇝ 0 10 0||a1|| 2a1 − a2|| a3 − a10 5 || 2a2 + a3 − 4a10 −3 || 3a1 − a2 − a3 ,1 −1 ||a3 − a1áàçèñ La åñòü (1, 0, 0, 5), (0, 1, 0, −3), (0, 0, 1, −1).Ïðèâîäèì ê òðåóãîëüíîìó âèäó ñèñòåìó âåêòîðîâ b:1 11 01 31⇝ 001 1 || b11 0 1 −1 ||1 −1 || b2 ⇝ 0 1 0 2 ||0 −4 || b30 3 −1 −3 ||0 1 −1 ||b211 0 2 ||b1 − b2 ⇝ 00 1 9 || 3b1 − 2b2 − b30b2b1 − b2 b3 − b20 0 −10 || 3b2 + b3 − 3b11 0 2 ||b1 − b2 ,0 1 9 || 3b1 − 2b2 − b3íàáîð âåêòîðîâ (1, 0, 0, −10), (0, 1,4 0, 2), (0, 0, 1, 9) áàçèñ Lb.Òåïåðü áóäåì ãàóññèòü ñèñòåìó âåêòîðîâ, ñîñòàâëåííóþ èç áàçèñîâ La è Lb:1001000100100 5 || 2a2 + a3 − 4a10 −3 || 3a1 − a2 − a3 1 −1 ||a3 − a10 −10 || 3b2 + b3 − 3b1 0 2 ||b1 − b21 9 || 3b1 − 2b2 − b31 0 0 5 ||2a2 + a3 − 4a10 1 0 −3 ||3a1 − a2 − a3a3 − a10 0 1 −1 ||⇝.0 0 0 −15 || 3b2 + b3 − 3b1 − (2a2 + a3 − 4a1)0 0 0 5 ||b1 − b2 − (3a1 − a2 − a3)0 0 0 10 ||3b1 − 2b2 − b3 − (a3 − a1)ßñíî, ÷òî La + Lb äà¼ò âñå 4-ìåðíîå ïðîñòðàíñòâî R4, â êà÷åñòâååãî áàçèñà ìîæíî âçÿòü, íàïðèìåð, ñòàíäàðòíûé áàçèñ (1, 0, 0, 0),(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1).
Ïî ôîðìóëå (1) èìååì dim (La ∩Lb) =3+3−4 = 2. Èç ïîñëåäíåãî ãàóññåíèÿ êàê ðàç íàõîäèì äâà áàçèñíûõâåêòîðà La ∩ Lb:(0, 0, 0, 10) = 2(b1 − b2 − 3a1 + a2 + a3) = 3b1 − 2b2 − b3 − a3 + a1,(0, 0, 0, 15) = 3(b1 − b2 − 3a1 + a2 + a3)= −3b2 − b3 + 3b1 + 2a2 + a3 − 4a1,ñëåäîâàòåëüíî,(1, 3, 0, −4) = 5a1 − a2 − 2a3 = b3,(0, −2, 1, 5) = −7a1 + 2a2 + 3a3 = b1 − b3 áàçèñ La ∩ Lb.Äîêàæèòå, ÷òî Rn = L1 ⊕L2, ãäå L1 = {x ∈ Rn|x1 +. . .+xn=0},L2 = {x ∈ Rn|x1 = x2 = . .
. = xn}. Íàéäèòå ïðîåêöèè áàçèñíûõâåêòîðîâ ei íà L1 ïàðàëëåëüíî L2 è íà L2 ïàðàëëåëüíî L1.Ðåøåíèå. Îòìåòèì, ÷òî L1 è L2 ÿâëÿþòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâàìèâ Rn, dim L1 = n − 1, dim L2 = 15 (â êà÷åñòâå áàçèñà ìîæíî âçÿòü7.âåêòîð (1, 1, . . . , 1)). Ïîêàæåì, ÷òî L1 ∩ L2 = 0, ýòî áëàãîäàðÿ ôîðìóëå 1 äîêàæåò ðàâåíñòâî Rn = L1 ⊕ L2. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòüv = (v1, . .
. , vn) ∈ L1 ∩ L2, ñ îäíîé ñòîðîíû, v1 = v2 = . . . = vn,ñ äðóãîé v1 + v2 + . . . + vn = v1 + v1 + . . . + v1 = nv1 = 0, ò.å.v1 = v2 = . . . = vn = 0, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Ïðåäñòàâèì âåêòîð ñòàíäàðòíîãî áàçèñà ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)iêàê ai + bi, ãäå ai ∈ L1, bi ∈ L2. Òîãäà ñóììàêîîðäèíàòei ñîâïàäàåò(1)1ñ ñóììîé êîîðäèíàòb,çíà÷èò,b=,...,iinn) . Òîãäà ai íàõîäèì( 11 n−111êàê ei − bi: ai = − n , . .
. , − n , n , − n , . . . , − n .i6.
