2016.09.23_matrices_solutions (Семинары с решением 2016)

Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Ìàòðèöû23 ñåíòÿáðÿ • 16135 ãðóïïà1. Äîêàæèòå, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâR[x] = {anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0|ai ∈ R}îò îäíîé ïåðåìåííîé x ìíîãî÷ëåíû 1, x, x2 , . . ., xn , . . .

îáðàçóþò áåñêîíå÷íûé áàçèñ.Äîêàçàòåëüñòâî. Òîò ôàêò, ÷òî ëþáîé ìíîãî÷ëåí ëèíåéíîâûðàæàåòñÿ ÷åðåç ìîíîìû xi , ÿñåí. Ïîêàæåì, ÷òî âñå òàêèå ìîíîìû îáðàçóþò ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó. Ïóñòü, îò ïðîòèâíîPãî, f (x) =αixi = 0. Òîãäà ó ìíîãî÷ëåíà f (x) áåñêîíå÷íî ìíîãîêîðíåé, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå Áåçó: x0 êîðåíü f (x), åññëèf (x) = (x − x0)g(x) äëÿ íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà g(x). Èç òåîðåìûÁåçó ñëåäóåò, ÷òî ó ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè n íå ìîæåò áûòü áîëüøå,÷åì n ðàçëè÷íûõ êîðíåé.2. Íàéäóòñÿ ëè òàêèå ìíîãî÷ëåíû a(x), b(x), c(y), d(y), ÷òî1 + xy + x2y 2 = a(x)c(y) + b(x)d(y) âûïîëíåíî òîæäåñòâåííî?Ðåøåíèå.

Íåò. Ïóñòü, îò ïðîòèâíîãî, òàêèå ìíîãî÷ëåíû íàøëèñü. Ïîëàãàÿ y = −1, 0, 1, ïîëó÷èì, ÷òî ìíîãî÷ëåíû 1 − x + x2 ,1, 1 + x + x2 ëåæàò â ëèíåéíîé îáîëî÷êå L(a(x), b(x)). Ïðè ýòîìíàáîð ìíîãî÷ëåíîâ 1 − x + x2 , 1, 1 + x + x2 ëèíåéíî íåçàâèñèì èïîýòîìó íå ìîæåò ñîäåðæàòüñÿ â äâóìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.3. Äîêàæèòå, ÷òî âñå êâàäðàòíûå ìàòðèöû n × n íàä ïîëåì F(Mn (F )) îáðàçóþò â.ï. íàä ïîëåì F . Íàéäèòå áàçèñ è ðàçìåðíîñòüýòîãî ïðîñòðàíñòâà.Ðåøåíèå. Áàçèñîì áóäóò âåêòîðû eij ìàòðè÷íûå åäèíè÷êè,ìàòðèöû, ó êîòîðûõ íà (ij)-ì ìåñòå ñòîèò 1, à íà îñòàëüíûõ 0.Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó äëÿ ïðîñòðàíñòâ ñòðîê Fn .

Ðàçìåðíîñòü ðàâíÿåòñÿ n2 .4. Äîêàæèòå, ÷òî âñå à) ñèììåòðè÷åñêèå, á) êîñîñèììåòðè÷åñêèå ìàòðèöû îáðàçóþò â.ï. Íàéäèòå áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ýòîãîïðîñòðàíñòâà.1Ðåøåíèå. Ìíîæåñòâî A ñèììåòðè÷åñêèõ (òàêèõ, ÷òî aji = aij ,i, j = 1, . . . , n) è ìíîæåñòâî B êîñîñèììåòðè÷åñêèõ (òàêèõ, ÷òîaji = −aij ) ìàòðèö ïî îòäåëüíîñòè çàìêíóòû îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð, ïîýòîìó è îáðàçóþò ïîäïðîñòðàíñòâà.Áàçèñîì A áóäóò âåêòîðû eii , i = 1, .

. . , n, eij + eji , i 6= j = 1, . . . , n,n(n−1)n(n+1)ðàçìåðíîñòü ðàâíà n + Cn2 = n + 2 = 2 . Áàçèñîì B áóäóòn(n−1)2âåêòîðû eij − eji , i 6= j = 1, . . . , n,ðàçìåðíîñòüðàâíàC=n2 .2 −1 3 −47 8 6 9 3 −2 4 −3 5 7 4 55. Âû÷èñëèòå ·.5 −3 −2 1  3 4 5 63 −3 −1 22 1 1 210 17 19 2317 23 27 35Ðåøåíèå. .16 12 9 207 1 3 10µ¶nµ¶n2 −1cos x − sin x6. Âû÷èñëèòå à), á).3 −2sin x cos xÐåøåíèå. à) Îáîçíà÷èì äàííóþ ìàòðèöó êàê A. Çàìåòèì,÷òî(E, n...2,2nA = E ìàòðè÷íàÿ åäèíèöà.

Òîãäà îòâåò òàêîé: A =A, n6 ...2.µ¶cos 2x − sin 2xá) Îáîçíà÷èì ìàòðèöó êàê A. Íàéä¼ì A2 =.sin 2x cos 2xÈíäóêöèåé ïî n ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òµ¶cosnx−sinnxcosx−sinxAn+1 = An · A =sin nx cos nxsin x cos xµ¶cos(n + 1)x − sin(n + 1)x=.sin(n + 1)x cos(n + 1)x7. Êàê èçìåíèòñÿ ïðîèçâåäåíèå AB ìàòðèö A è B , åñëèà) ïåðåñòàâèòü i-þ è j -þ ñòðîêè ìàòðèöû A?á) ê i-é ñòðîêå A ïðèáàâèòü j -þ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà c?â) ïåðåñòàâèòü i-é è j -é ñòîëáöû ìàòðèöû B ?ã) ê i-ìó ñòîëáöó B ïðèáàâèòü j -é ñòîëáåö, óìíîæåííûé íà c?Ðåøåíèå. à) ïåðåñòàâÿòñÿ i-ÿ è j -ÿ ñòðîêè AB ;2á) ê i-é ñòðîêå AB ïðèáàâèòñÿ å¼ j -ÿ ñòðîêà, óìíîæåííàÿ íà c;â) ïåðåñòàâÿòñÿ i-é è j -é ñòîëáöû AB ;ã) ê i-ìó ñòîëáöó AB ïðèáàâèòñÿ å¼ j -é ñòîëáåö, óìíîæåííûé íà c.Ñëåäîì êâàäðàòíîé ìàòðèöû A ∈ Mn (F ) íàçûâàåòñÿ ñóììà å¼äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ò.å.

tr(A) = a11 + a22 + . . . + ann .8. Ïóñòü A, B ∈ Mn(F ). Äîêàæèòå, ÷òî tr(AB) = tr(BA).Ðåøåíèå. Åñëè ñîáðàòü âìåñòå âñå ñëàãàåìûå ñëåäà ïðîèçâåäåíèÿ AB , ïîëó÷èòñÿ tr(AB) =nPk,l=1nP(aij bji). Àíàëîãè÷íî tr(BA) =i,j=1(bkl alk ). Åñëè âî âòîðîì ñóììèðîâàíèè îáîçíà÷èòü k çà j , à l çài, ìû ïîëó÷èì â òî÷íîñòè ïåðâóþ ñóììó.9.

Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöà A ∈ Mn(F ) ïåðåñòàíîâî÷íà ñî âñåìèìàòðèöàìè èç Mn (F ), åññëè A ñêàëÿðíà.Ðåøåíèå. Åñëè ìàòðèöà ñêàëÿðíà, ò.å. ðàâíà λE , òî îíà ïåðåñòàíîâî÷íà ñ ëþáîé ìàòðèöåé, ïîñêîëüêó λE · X = λX = X · λE .Ïóñòü ìàòðèöà A = (aij ) ïåðåñòàíîâî÷íà ñî âñåìè ìàòðèöàìè èçMn(F ).

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî åñòü i 6= j òàêèå, ÷òî aij 6= 0. Òîãäàðàññìîòðèì ìàòðèöó X = eji . Òîãäà (AX)ii = 1, à ó ìàòðèöû XAâñÿ i-ÿ ñòðîêà íóëåâàÿ (âåäü i 6= j !), çíà÷èò, ïðîòèâîðå÷èå. ÏîýòîìónPìàòðèöà A îáÿçàíà áûòü äèàãîíàëüíîé (ðàâíàλieii). Ïðåäïîëîi=1æèì, ÷òî íàéäóòñÿ òàêèå i 6= j , ÷òî λi 6= λj , òîãäà ðàññìîòðèììàòðèöó X = eij . Ñ îäíîé ñòîðîíû, AX = λi eij . Ñ äðóãîé ñòîðîíû,XA = λj eij , ò.å. AX 6= XA ïðîòèâîðå÷èå.3 1 010. Íàéäèòå âñå ìàòðèöû, ïåðåñòàíîâî÷íûå ñ ìàòðèöåé 0 3 1.0 0 3Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ìàòðèöó èç óñëîâèÿ êàê A, ïóñòü òàêæåB = e12 + e23.

Ïîñêîëüêó A = 3E + B , à ñêàëÿðíàÿ ìàòðèöà 3Eïåðåñòàíîâî÷íà ñ ëþáîé, òî çàäà÷ó ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü êàêíàéòè ìàòðèöó ïåðåñòàíîâî÷íóþ ñ B . Ðàññìîòðèì XB − BX äëÿìàòðèöû X = (xij ):3 x21 x22 x230 x11 x12XB = 0 x21 x22 = x31 x32 x33 = BX,0 0 00 x31 x32îòêóäà íàõîäèì x21 = x31 = x32 = 0, x11 = x22 = x33 = a,x12 = x23 = b, íà x13 = c íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íåò, ò.å. ñ A áóa b cäóò ïåðåñòàíîâî÷íû âñå ìàòðèöû âèäà 0 a b .0 0 aµ¶a b11. Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöà A =óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåc díèþx2 − (a + d)x + ad − bc = 0.Ðåøåíèå.

Ýòî ìîæíî ïðîâåðèòü ïîäñòàíîâêîé:µ¶2µ¶a ba b− (a + d)+ (ad − bc)Ec dc dµ 2¶ µ 2¶ µ¶a + bc ab + bda + ad ab + bdad − bc0=−+=0.ac + cd cb + d2ac + cd ad + d20ad − bc12. Äîêàæèòå, ÷òî ðàâåíñòâî AB − BA = E íå âûïîëíÿåòñÿ íèäëÿ êàêèõ ìàòðèö A, B ∈ Mn (F ).Ðåøåíèå.  ñèëó ëèíåéíîñòè ñëåäà (ò.å. tr(X + Y ) = tr(X) +tr(Y )) ïî çàäà÷å 8 ïîëó÷àåì, ÷òî 0 = tr(AB) − tr(BA) = tr(E) = n ïðîòèâîðå÷èå.13. Íàéäèòå âñå ìàòðèöû 2-ãî ïîðÿäêà, êâàäðàòû êîòîðûõ ðàâíû åäèíè÷íîé ìàòðèöå.µ¶Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì èñêîìóþ ìàòðèöó X êàêa b, òîãäàc dóñëîâèå X 2 = E ýêâèâàëåíòíî âûïîëíåíèþ ñëåäóþùèõ ðàâåíñòâ:a2 + bc = 1,b(a + d) = 0,d2 + bc = 1.c(a + d) = 0,Åñëè d = −a, òîãäà 2-å è 3-å ðàâåíñòâà âûïîëíåíû,à 4-å ýêâèâà!Ãëåíòíî 1-ìó. Çíà÷èò, ïðè b 6= 0 èìååì X =µèìååì X =1−a2b¶±1 0.0 ±1a4b, ïðè b = 0−aÅñëè d 6= −a, òîãäà b = c, à X = ±E , ÷òî ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûìñëó÷àåì ðàññìîòðåííîãî âûøå.Ã!µÎòâåò.

X =¶±1 0;0 ±1ab, b 6= 0.−a1−a2b5.