2016.09.21_linear_spaces_solutions (Семинары с решением 2016)

Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Âåêòîðíûå ïðîñòðàíñòâà21 ñåíòÿáðÿ • 16135 ãðóïïàÂåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî V ñ îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ñëåâà íà ñêàëÿð èç F (R, C), ïðè ýòîì1. x + (y + z) = (x + y) + z (àññîöèàòèâíîñòü)2. x + y = y + x (êîììóòàòèâíîñòü)3. ñóùåñòâóåò âåêòîð 0: x + 0 = 0 + x = x4.

ñóùåñòâóåò îáðàòíûé ïî ñëîæåíèþ x0 : x + x0 = x0 + x = 05. α(x + y) = αx + αy6. (α + β)x = αx + βx7. α(βx) = (αβ)x8. 1x = xÂåêòîðíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì â.ï. V íàçûâàåòñÿ íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî L òàêîå, ÷òî 1) ñóììà x+y ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ x, y ∈ Lè 2) ïðîèçâåäåíèå αx ëþáîãî x ∈ L è ñêàëÿðà α ïðèíàäëåæèò L.×åðåç Rn îáîçíà÷èì â.ï. âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ n-îê ñ ÷èñëàìè èç R.ßâëÿåòñÿ ëè âåêòîðíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ñîîòâåòñòâóþùåãî â.ï.êàæäîå èç ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ âñåõ âåêòîðîâ èç1. Rn, êîîðäèíàòû êîòîðûõ öåëûå ÷èñëà;√ Ðåøåíèå. Íåò, ïîñêîëüêó íàðóøàåòñÿ ï.

2: íàïðèìåð,2 · (1, 1, . . . , 1) 6∈ Zn.2. R2, êàæäûé èç êîòîðûõ ëåæèò íà îäíîé èç îñåé Ox è Oy ;Ðåøåíèå. Íåò, ïîñêîëüêó íàðóøàåòñÿ ï. 1: íàïðèìåð, (1, 0) +(0, 1) = (1, 1) íå ëåæèò íè íà êàêîé èç îñåé.3. R2, êîíöû êîòîðûõ ëåæàò íà äàííîé ïðÿìîé;Ðåøåíèå. Åñëè äàííàÿ ïðÿìàÿ l íå ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, òî íåò, ïîñêîëüêó íàðóøàåòñÿ êàê ï. 1 (ìîæíî ïîäîáðàòüäâà âåêòîðà òàêèõ, ÷òî èõ ñóììà íå áóäåò ëåæàòü íà l), òàê è ï.

2.Åñëè l ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, òî äà.4. R3, êîíöû êîòîðûõ íå ëåæàò íà äàííîé ïðÿìîé;Ðåøåíèå. Ïóñòü ïðÿìàÿ l íå ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, òîãäà íåò, ïîñêîëüêó, íàïðèìåð, ïðè óäëèíåíèè âåêòîðà, íåæåëàùåãî íà äàííîé ïðÿìîé, ìû óæå ìîæåì ïîëó÷èì âåêòîð, ïðèíàäëåæàùèé l. Åñëè l ïðîõîäèò ÷åðåçíà÷àëî êîîðäèíàò, òî ìîæíî1ïîäîáðàòü òàêèå äâà âåêòîðà, íå ëåæàùèå íà l, ÷òî èõ ñóììà áóäåòóæå ïðèíàäëåæàòü l (òîæå íåò).5. R2, êîíöû êîòîðûõ ëåæàò â I ÷åòâåðòè ñèñòåìû êîîðäèíàò;Ðåøåíèå. Íåò, ïîñêîëüêó ïðè óìíîæåíèè íà −1 âåêòîðû áóäóòëåæàòü â III ÷åòâåðòè, çíà÷èò, íàðóøàåòñÿ ï. 2.6.

Rn, êîîðäèíàòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþà) x1 + . . . + xn = 0, á) x1 + . . . + xn = 1;Ðåøåíèå. Äà, ïîñêîëüêó åñëè ~a = (x1, . . . , xn) è ~b = (y1, . . . , yn)−−→èìåþò íóëåâóþ ñóììó êîýôôèöèåíòîâ, òî è âåêòîð a + b = (x1 +y1, . . . , xn + yn) áóäåò òàêîâûì, ò.ê.(x1 + y1) + . . . + (xn + yn) = (x1 + . . . + xn) + (y1 + . . . + yn) = 0 + 0 = 0.Ïóñòü k ∈ R, òîãäà ó âåêòîðà k~a = (kx1 , .

. . , kxn ) òàêæå ñóììàðàâíà kx1 + . . . + kxn = k(x1 + . . . + xn ) = k · 0 = 0.7. Rn, ó êîòîðûõ ïåðâàÿ è ïîñëåäíÿÿ êîîðäèíàòû ðàâíû;Ðåøåíèå. Äà, ïîñêîëüêó ïðè ñëîæåíèè è óìíîæåíèè íà ñêàëÿðýòî ñâîéñòâî (ðàâåíñòâà ïåðâîé è ïîñëåäíåé êîîðäèíàò) âûïîëíÿåòñÿ.8. Rn âèäà (α, β, α, β, α, β, . . .)?Ðåøåíèå. Äà, ïîñêîëüêó ïðè ñëîæåíèè è óìíîæåíèè íà ñêàëÿðýòè ñâîéñòâà (ïîïàðíûå ðàâåíñòâà âñåõ ÷¼òíûõ è íå÷¼òíûõ êîîðäèíàò) âûïîëíÿþòñÿ.Îäíîðîäíûì ëèíåéíûì ðåêóððåíòíûì óðàâíåíèåì (ÎËÐÓ)2-ãî ïîðÿäêà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn }∞n=0 íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå xn+2 = axn+1 + bxn , ãäå n > 0, a, b êîíñòàíòû (∈ R).9. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé ÎËÐÓ 2-ãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü k ∈ R; {xn } è {yn } ðåøåíèÿ ÎËÐÓ2-ãî ïîðÿäêà zn+2 = azn+1 + bzn , ò.å.xn+2 = axn+1 + bxn,yn+2 = ayn+1 + byn.Òîãäà è {k · xn }, {xn + yn } ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ýòîãî æå ÎËÐÓ,ïîñêîëüêókxn+2 = akxn+1 + bkxn,(xn+2 + y2 n+2) = a(xn+1 + yn+1) + b(xn + yn).Ñîîòíîøåíèå âèäà s = α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn , ãäå αi ∈ R,xi ∈ V , ãäå V â.ï., íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâx1, . . . , xn, à ïðî âåêòîð s ãîâîðÿò, ÷òî îí ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåçâåêòîðû x1 , . .

. , xn .Âåêòîðû x1 , . . . , xn ëèíåéíî çàâèñèìû, åñëè ñóùåñòâóåò èõ íåòðèâèàëüíàÿ (ò.å. íå âñå αi ðàâíû íóëþ) ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, ðàâíàÿíóëåâîìó âåêòîðó (s = 0). Èíà÷å âåêòîðû ëèíåéíî íåçàâèñèìû.10. Äîêàæèòå, ÷òî áóäóò ëèíåéíî çàâèñèìû ëþáûå à) äâà âåêòîðà íà ïðÿìîé, á) òðè âåêòîðà íà ïëîñêîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî. à) Ïóñòü äàíû âåêòîðû u è v . Åñëè îäèíèç âåêòîðîâ íóëåâîé (íàïðèìåð, u = 0), òîãäà 1 · u + 0 · v = 0 íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ u è v , ðàâíàÿ íóëþ. Èíà÷å u èv , ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé, ïðîïîðöèîíàëüíû, íàïðèìåð, u = k·v ,òîãäà 1 · u + (−k) · v = 0 íåòðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ uè v , ðàâíàÿ íóëþ.á) Ïóñòü äàíû òðè âåêòîðà u, v, w è (ñîãëàñíî ï.

à), îò ïðîòèâíîãî, âñå îíè íåíóëåâûå è íèêàêèå äâà èç íèç íå ëåæàò íà îäíîéïðÿìîé. Ïóñòü O îáùåå íà÷àëî ýòèõ òð¼õ âåêòîðîâ. Ïðîâåä¼ì èçêîíöà âåêòîðà v ïðÿìóþ l ïàðàëëåëüíóþ u. ×åðåç âåêòîð w ïðîâåä¼ì ïðÿìóþ m, êîòîðàÿ ïåðåñå÷¼ò l â íåêîòîðîé òî÷êå. Òîãäàv + k · w = l · u èëè v + (−k) · w + (−l) · u = 0 äëÿ íåêîòîðûõ k, l.Ìû íàøëè íåòðèâèàëüíóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ u, v, w,çíà÷èò, îíè ëèíåéíî çàâèñèìû.11.

Äîêàæèòå ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü íàä R ñèñòåì ôóíêöèé:à) sin x, cos x;á) 1, sin x, cos x;â) sin x, sin 2x, . . . , sin nx;ã) 1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx;ä) eax , ebx , a 6= b;å) 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx.Äîêàçàòåëüñòâî. à) Ïóñòü ñóùåñòâóþò k, l òàêèå, ÷òî k sin x+l cos x = 0. Åñëè, íàïðèìåð, k = 0, òîãäà sin x = 0, ÷òî íåâåðíî(ìîæíî âçÿòü x = π/2); àíàëîãè÷íî ïðè l = 0. Ïðè k, l 6= 0 ïîëó÷àåì, ÷òî tgx = −l/k = const, ÷òî íåâåðíî.á) Ïóñòü íàéäóòñÿ k, l, m òàêèå, ÷òî m + k sin x + l cos x = 0.Äèôôåðåíöèðóÿ äâàæäû ýòî ðàâåíñòâî, ïîëó÷èì −k sin x−l cos x =0, èç ï.à) ìû çíàåì, ÷òî òîãäà k = l = 0. Òåì ñàìûì, îñòà¼òñÿ3ðàâåíñòâî m = 0 è ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ áûëà òðèâèàëüíîé.â) Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåä¼ì èíäóêöèåé ïî n. Ïðè n = 1 ñèñòåìàôóíêöèé sin x ëèíåéíà íåçàâèñèìà.

Äîêàæåì èíäóêöèîííûé ïåðåõîä. ÏóñòüA(x) = k1 sin x + k2 sin 2x + . . . + kn sin nx = 0,äèôôåðåíöèðóÿ äâàæäû, ïîëó÷èìA00(x) = −k1 sin x − 4k2 sin 2x − . . . − n2kn sin nx = 0.Òîãäà0 = n2A(x) + A00(x)= k1(n2−1) sin x+k2(n2−22) sin 2x+. . .+kn−1(n2−(n−1)2) sin(n−1)x,÷òî ïî èíäóêöèîííîìó ïðåäïîëîæåíèþ âëå÷¼ò0 = k1(n2 − 1) = k2(n2 − 22) = . . .

= kn−1(n2 − (n − 1)2),ò.å. k1 = k2 = . . . = kn−1 = 0. Òîãäà è kn = 0.ã) Ïóñòü k0 + k1 cos x + . . . + kn cos nx = 0, äèôôåðåíöèðóÿ ýòîðàâåíñòâî è èñïîëüçóÿ ï. â), ïîëó÷èì, ÷òî k1 = k2 = . . . = kn = 0, àçíà÷èò, è k0 = 0.ä) Ïóñòü íàéäóòñÿ k, l òàêèå, ÷òî A(x) = keax + lebx = 0, òîãäàA0(x) = kaeax + lbebx = 0. Âû÷èñëèì âûðàæåíèå A0(x) − aA(x) =l(b − a)ebx = 0, ïîñêîëüêó ebx ôóíêöèÿ íå ðàâíàÿ òîæäåñòâåííîíóëþ, à a 6= b, èìååì l = 0.

Çíà÷èò, è k = 0.å) Äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî â): èíäóêöèåé ïî n, áàçîé êîòîðîéÿâëÿåòñÿ ï. á).Áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, ÷åðåç êîòîðóþ ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ëþáîé âåêòîðèç V . Ðàçìåðíîñòüþ V íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòü áàçèñà, îáîçíà÷åíèå:dim V . Ïðè dim V < ∞(= ∞) â.ï. V íàçûâàåòñÿ (áåñ)êîíå÷íîìåðíûì.12. Íàéäèòå êàêîé-íèáóäü áàçèñ è ðàçìåðíîñòü à) ïðîñòðàíñòâàñòðîê Rn ; á) âåêòîðíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà L â Rn , çàäàííîãî óðàâíåíèåì x1 + .

. . + xn = 0; â) ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé ÎËÐÓ 2-ãîïîðÿäêà.4Ðåøåíèå. à) Ðàññìîòðèì âåêòîðû ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0),i = 1, . . . , n, ó êîòîðûõ 1 ñòîèò íà i-ì ìåñòå, â îñòàëüíûõ êîîðäèíàòàõ íóëè. Òîãäà, âî-ïåðâûõ, ëþáûé âåêòîð v = (α1 , . . . , αn ) ∈ Rnëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç íèõ: v = α1 e1 + .

. . + αn en . Âî-âòîðûõ,îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Îò ïðîòèâíîãî, α1 e1 +. . .+αn en = 0̄, òîãäà(α1, . . . , αn) = (0, . . . , 0), ÷òî âëå÷¼ò αi = 0 äëÿ âñåõ i = 1, . . . , n.á) Àíàëîãè÷íî ï. à) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà âåêòîðîâ ei =(0, 0, . . . , 0, 1, −1, . .

. , 0), i = 1, . . . , n − 1, ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì L.â) Ïóñòü äàíî ÎËÐÓ 2-ãî ïîðÿäêà zn+2 = azn+1 + bzn . Çàìåòèì, ÷òî ëþáîå åãî ðåøåíèå îäíîçíà÷íî çàäà¼òñÿ ïåðâûìè äâóìÿ÷ëåíàìè z0 , z1 îñòàëüíûå íàõîäÿòñÿ ïðè ïîìîùè ðåêêóðåíòíîéôîðìóëû: z2 = az1 + bz0 , z3 = az2 + bz1 è ò.ä.Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ðåøåíèÿ äàííîãî ÎËÐÓ: {an } = {1, 0, . . .}è {bn } = {0, 1, . .

.}. Âî-ïåðâûõ, îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Âî-âòîðûõ,ëþáîå ðåøåíèå ÎËÐÓ {cn } = {c0 , c1 , . . .} ñîâïàäàåò â ïåðâûõ äâóõ÷ëåíàõ ñ ðåøåíèåì {dn } = {c0 · an + c1 · bn }. Ïî çàäà÷å 9 ðåøåíèÿ ÎËÐÓ îáðàçóþò â.ï., çíà÷èò, {dn } òàêæå ðåøåíèå ÎËÐÓ.Ïî óêàçàííîìó âûøå ïîëó÷àåì, ÷òî {cn } = {dn } îáÿçàòåëüíî.Òåì ñàìûì, {an }, {bn } ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèéçàäàííîãî ÎËÐÓ, åãî ðàçìåðíîñòü ðàâíà äâóì.13. Äîêàæèòå, ÷òî âåêòîðû e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 1, 2), e3 =(1, 2, 3) îáðàçóþò áàçèñ R3 è íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðà x = (6, 9, 14)â ýòîì áàçèñå.Ðåøåíèå. Ìåòîäîì Ãàóññà ïîëó÷àåì:1 1 1 || e11 1 1 ||e111 1 2 || e2 à 0 0 1 || e2 − e1 à 01 2 3 || e30 1 2 || e3 − e101 0 0 ||à 0 1 0 ||0 0 1 ||51 1 ||e11 2 || e3 − e10 1 || e2 − e1e 1 + e2 − e3e3 + e1 − 2e2 .e2 − e1Îòêóäà ïîìèìî ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè e1 , e2 , e3 íàõîäèì, ÷òî(6, 9, 14) = 6 · (1, 0, 0) + 9 · (0, 1, 0) + 14 · (0, 0, 1)= 6(e1 + e2 − e3) + 9(e3 + e1 − 2e2) + 14(e2 − e1)= e1 + 2e2 + 3e3.Ïóñòü x1 , .

. . , xn âåêòîðû â.ï. V . Òîãäà L(x1 , . . . , xn ) = {α1 x1 +α2x2+. . .+αnxn|αi ∈ R} åñòü ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà âåêòîðîâ x1, . . . , xn.14. Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî L(x1, . . . , xn) ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûìïîäïðîñòðàíñòâîì â V .Äîêàçàòåëüñòâî. Ìíîæåñòâî L(x1 , . . . , xn ) çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð:(α1x1 + . . .

+ αnxn) + (β1x1 + . . . + βnxn)= (α1 + β1)x1 + . . . + (αn + βn)xn,k · (α1x1 + . . . + αnxn) = (kα1)x1 + . . . + (kαn)xn.Íàéäèòå áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ëèíåéíûõ îáîëî÷åê âåêòîðîâ:15. x1 = (1, 0, 0, −1), x2 = (2, 1, 1, 0), x3 = (1, 1, 1, 1), x4 =(1, 2, 3, 4), x5 = (0, 1, 2, 3).Ðåøåíèå. Ìåòîäîì Ãàóññà ïðèâîäèì ýòó ñèñòåìó ê ñëåäóþùåìóâèäó (ïîëüçóÿñü ðàâåíñòâîì L(v1 , v2 , .

. . , vn )=L(v1 +tv2 , v2 , . . . , vn )):121100112101132−11001  à 040300112101132−11 0 0 −121 0 0 −12  à 0 1 1 2  à 0 1 0 1  .0 0 1 150 0 1 13Ñîîòâåòñòâåííî áàçèñ ñîñòîèò èç âåêòîðîâ(1, 0, 0, −1),(0, 1, 0, 1),ðàçìåðíîñòü ðàâíà 3.(0, 0, 1, 1),16. x1 = (1, 1, 1, 1, 0), x2 = (1, 1, −1, −1, −1), x3 = (2, 2, 0, 0, −1),x4 = (1, 1, 5, 5, 2), x5 = (1, −1, −1, 0, 0).6Ðåøåíèå.112111121−11−105−11−105001 −1 −1 0 0−10 2 2 1 0 −1 à 0 2 0 −1 −120 4 2 0 −100 2 6 5 21 −1 −1 0 00 2 0 −1 −11 −1 −1 0 0à 0 0 2 2 1  à 0 2 0 −1 −10 0 2 2 10 0 2 2 1 0 0 6 6 3Çíà÷èò, áàçèñ ñîñòîèò èç âåêòîðîâ(1, −1, −1, 0, 0),(0, 2, 0, −1, −1),ðàçìåðíîñòü ðàâíà 3.7(0, 0, 2, 2, 1),.