2016.09.14_solve_linear_system_solutions (Семинары с решением 2016)
Описание файла
Файл "2016.09.14_solve_linear_system_solutions" внутри архива находится в следующих папках: Вышка_Семинары_с_решением_гр_16135(2016), Решения. PDF-файл из архива "Семинары с решением 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ìåòîä Ãàóññà14 ñåíòÿáðÿ • 16135 ãðóïïàÐåøèòå ñèñòåìû óðàâíåíèé:2x1 + 7x2 + 3x3 + x4 = 6,1.3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4,9x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 2.Ðåøåíèå. Áóäåì çàïèñûâàòü ñèñòåìû, îïóñêàÿ ñèìâîëû ïåðå-ìåííûõ.
Âû÷òåì èç 3-é ñòðîêè óòðîåííóþ 2-þ, à ïîòîì èç 2-éïåðâóþ.2 7 3 1 || 62 73 1 || 63 5 2 2 || 4 ⇝ 1 −2 −1 1 || −2 9 4 1 7 || 20 −11 −5 1 || −10()1 −2 −1 1 || −2⇝.0 −11 −5 1 || −10Ïðèíèìàÿ x3 è x4 çà ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå, íàõîäèì2x3 9x410 5x3 x4−+ ,x1 = − +−.11111111 1111x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 3,x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 2,2x1 + 9x2 + 8x3 + 3x4 = 7,3x1 + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12,5x1 + 7x2 + 9x3 + 2x4 = 20.x2 =2.Ðåøåíèå.111235||||||||||10⇝0024977358791232213207 ⇝ 01200202230320−6110−32251−3||||||||322−2−6111−1−3||||||||||3−1135351031||3−1 ⇝ 0 1 0 0 || 23 20 0 2 1 || − 7371 0 1 0 || 4⇝ 0 1 0 0 || 32 .0 0 2 1 || − 73Çíà÷èò, x2 = 32 , x3 = − 76 − x2 , x1 = 4 − x3 = 316 + x2 .10x1 + 23x2 + 17x3 + 44x4 = 25,15x1 + 35x2 + 26x3 + 69x4 = 40,25x1 + 57x2 + 42x3 + 108x4 = 65,30x1 + 69x2 + 51x3 + 133x4 = 95.Ðåøåíèå.
Âû÷òåì èç 2-é ñòðîêè 1-þ, èç 3-é ñóììó 1-é è 2-é, àèç 4-é óòðîåííóþ 1-þ.443.101525302335576917264251446918133||||||||2510405⇝6509502312−10179−1050⇝00èç ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî x4ñèñòåìû.= 20è x42= 5,4425−5112−1−10||||||||25150209−1−1025−6−51||||||||15−5,020÷òî äà¼ò íåñîâìåñòíîñòüÐåøèòå ñèñòåìû óðàâíåíèé (â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèÿ ïàðàìåòðîâ):5x1 − 3x2 + 2x3 + 4x4 = 3,4x1 − 2x2 + 3x3 + 7x4 = 1,8x1 − 6x2 − x3 − 5x4 = 9,7x1 − 3x2 + 7x3 + 17x4 = λ.Ðåøåíèå.4.5487−3−2−6−323−1747−517||||||||3110⇝90λ0−12−24−1 −3 ||7 19 ||−7 −19 ||14 38 ||1 −1⇝ 0 20 02−7 7 λ − 14−1 −3 || 27 19 || −7 .0 0 || λÅñëè λ ̸= 0, òî ñèñòåìà íåñîâìåñòíà.
Ïðè λ = 0 èìååì3 5x3 13x47 7x3 19x4−,x1 = − −−.x2 = − −2222225. λx1 + x2 + x3 = 1,x1 + λx2 + x3 = 1,x1 + x2 + λx3 = 1.Ðåøåíèå. Ïóñòü λ = 1, òîãäà âñå òðè óðàâíåíèÿ ñîâïàäóò èäàäóò ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå x2, x3, à x1 = 1 − x2 − x3. Ïóñòü λ ̸= 1,òîãäà1 0 λ + 1 || 11 1 λ || 11 1 λ || 1 1 λ 1 || 1 ⇝ 0 1 −1 || 0 ⇝ 0 1 −1 || 0 .0 0 2 + λ || 10 1 1 + λ || 1λ 1 1 || 1Åñëè λ = −2, òî ñèñòåìà íåñîâìåñòíà. Ïðè λ ̸= −2 èìååì x2 = x3 =1λ+11λ+2 è x1 = 1 − λ+2 = λ+2 .36.x + y + z = 1,ax + by + cz = d,a 2 x + b 2 y + c 2 z = d2 .Ðåøåíèå.Ïóñòü a, b, c ïîïàðíî ðàçëè÷íû, òîãäà ïðè âû÷èòàíèè èç ñòðîêèñ íîìåðîì i ñòðîêè ñ íîìåðîì i − 1, óìíîæåííîé íà a, ïîëó÷àåì1 1 1 || 1111 a b c || d ⇝ 0 b − ac−aa2 b2 c2 || d20 b(b − a) c(c − a)1 11⇝ 0 b − ac−a0 0 (c − a)(c − b)||1|| d − a || d(d − a)||1,||d−a|| (d − a)(d − b)îòêóäà íàõîäèì z = (d−a)(d−b)(c−a)(c−b) .
 ñèëó ñèììåòðèè ñèñòåìû ëåãêî(d−b)(d−c)íàéòè x = (a−b)(a−c), y = (d−a)(d−c)(b−a)(b−c) .Åñëè a = b = c, òî äëÿ ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû íåîáõîäèìî d = a,òîãäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå x + y + z = 1, ÷òî äà¼ò x = 1 − y − z, ãäåy, z ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå.Åñëè a = b ̸= c (ñëó÷àè a = c ̸= b è b = c ̸= a àíàëîãè÷íû)âëå÷¼ò, ÷òî ñèñòåìà ýêâèâàëåíòíà òàêîé:1 11||10 0c−a||d−a0 0 (c − a)(c − b) || (d − a)(d − b)1 1 1 ||1.⇝ 0 0 c − a ||d−a0 0 0 || (d − a)(d − c)Ïðè d ̸= a è d ̸= c ñèñòåìà íå ñîâìåñòíà. Ïðè d = a èìååì z = 0,x = 1 − y . Ïðè d = c èìååì z = 1, x = −y .
 îáîèõ ñëó÷àÿõ y ñâîáîäíàÿ ïåðåìåííàÿ.Ðåøèòå ñèñòåìû óðàâíåíèé è íàéäèòå ÷àñòíîå ðåøåíèå:2x1 − 3x2 + 5x3 + 7x4 = 1,4x1 − 6x2 + 2x3 + 3x4 = 2,2x1 − 3x2 − 11x3 − 15x4 = 1.47.Ðåøåíèå. Âûáåðåì 1-þ ñòðîêó âåäóùåé, òîãäà ñèñòåìà óïðî-ùàåòñÿ:2 −3 57 || 12 −3 574 −6 23 || 2 ⇝ 0 0 −8 −112 −3 −11 −15 || 10 0 −16 −22(2 −3⇝0 0|| 1|| 0|| 0)57 || 1.−8 −11 || 0Ïðèíèìàÿ x2 è x4 çà ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå, íàõîäèì113x2 x4 1x4 ,x1 =−+ .8216 23x1 + 4x2 + x3 + 2x4 = 3,6x1 + 8x2 + 2x3 + 5x4 = 7,9x1 + 12x2 + 3x3 + 10x4 = 13.x3 = −8.Ðåøåíèå.
Âûáåðåì 1-þ ñòðîêó âåäóùåé, òîãäà ñèñòåìà ïðèìåòâèä:3 4 1 2 || 33 4 1 2 || 36 8 2 5 || 7 ⇝ 0 0 0 1 || 19 12 3 10 || 130 0 0 4 || 4(⇝)3 4 1 2 || 3.0 0 0 1 || 1Ïðèíèìàÿ x1 è x2 çà ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå, íàõîäèìx4 = 1,9.x3 = −3x1 − 4x2 + 1.3x1 − 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2,7x1 − 4x2 + x3 + 3x4 = 5,5x1 + 7x2 − 4x3 − 6x4 = 3.Ðåøåíèå. Ñïåðâà âû÷òåì óäâîåííóþ 1-þ ñòðîêó èç äâóõ äðó-5ãèõ, ïîñëå ýòîãî âûáåðåì âåäóùåé íîâóþ 2-þ ñòðîêó è ïîëó÷èì3 −5 2 4 || 23 −5 24 || 27 −4 1 3 || 5 ⇝ 1 6 −3 −5 || 1 5 7 −4 −6 || 3−1 17 −8 −14 || −11 6 −3 −5 || 1⇝ 0 −23 11 19 || −1 .0 23 −11 −19 || 0ßñíî, ÷òî ñèñòåìà âëå÷¼ò óðàâíåíèå 0 = 1 è îíà íå ñîâìåñòíà.2x1 + 5x2 − 8x3 = 8,4x1 + 3x2 − 9x3 = 9,2x1 + 3x2 − 5x3 = 7,x1 + 8x2 − 7x3 = 12.Ðåøåíèå. Áóäåì õèòðî âû÷èòàòü ñòðîêè:10.24215338−8−9−5−71|| 8|| 9 0⇝|| 7 00|| 121 8 −7 ||0 2 −3 ||⇝0 1 2 ||0 11 −6 |||| 12IV|| −16 I−2·IV || −5 II−2·III || −1 III−I1 8 −70 1 2−IV ⇝0 0 −7−III+IV 0 0 −28−II8−11−3−2121416−7613|| 12|| 4 .|| −7 || −28Ïîñêîëüêó 3-å è 4-å óðàâíåíèÿ ñîâïàäàþò, ìû ìîæåì íàéòè âñåïåðåìåííûå:x3 = 1,11.x2 = 2,3x1 − 2x2 + 5x3 + 4x4 = 2,6x1 − 4x2 + 4x3 + 3x4 = 3,9x1 − 6x2 + 3x3 + 2x4 = 4.x1 = 3.Ðåøåíèå.
Âûáåðåì 1-þ ñòðîêó âåäóùåé, òîãäà ñèñòåìà ïðèìåò6âèä:3 −2 5 4 || 23 −2 54 || 26 −4 4 3 || 3 ⇝ 0 0 −6 −5 || −19 −6 3 2 || 40 0 −12 −10 || −2()3 −2 5 4 || 2⇝.0 0 6 5 || 1Ïðèíèìàÿ x1 è x3 çà ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå, íàõîäèì−6x3 + 13x1 x3 3,x2 =+− .5210 512.
2x1 − x2 + 3x3 − 7x4 = 5,6x1 − 3x2 + x3 − 4x4 = 7,4x1 − 2x2 + 14x3 − 31x4 = 18.x4 =Ðåøåíèå. 1-ÿ ñòðîêà âåäóùàÿ, äàëåå ïî àëãîðèòìó:2 −1 3 −7 || 52 −1 3 −76 −3 1 −4 || 7 ⇝ 0 0 −8 174 −2 14 −31 || 180 0 8 −17(2⇝0|| 5|| −8|| 8)−1 3 −7 || 5.0 8 −17 || 8Ïðèíèìàÿ x1 è x4 çà ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå, íàõîäèì17x45x4,x2 = 2x1 −− 2.8813. 9x1 − 3x2 + 5x3 + 6x4 = 4,6x1 − 2x2 + 3x3 + x4 = 5,3x1 − x2 + 3x3 + 14x4 = −8.x3 = 1 +Ðåøåíèå.
3-ÿ ñòðîêà âåäóùàÿ, äàëåå âñ¼ ïðîñòî:3 −1 3 14 || −89 −3 5 6 || 46 −2 3 1 || 5 ⇝ 0 0 −4 −36 || 28 0 0 −3 −27 || 213 −1 3 14 || −8)(3 −1 3 14 || −8.⇝0 0 1 9 || 77Ïðèíèìàÿ x1 è x4 çà ñâîáîäíûå ïåðåìåííûå, íàõîäèìx3 = −9x4 − 7,14.x2 = −3x1 − 13x4 − 13.3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2,2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 = 3,9x1 + x2 + 4x3 − 5x4 = 1,2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5,7x1 + x2 + 6x3 − x4 = 7.Ðåøåíèå. Ïðîäîëæèì õèòðî ðàáîòàòü ñî ñòðîêàìè:2 2 2 ||3 2 5 ||1 4 −5 ||2 3 4 ||1 6 −1 ||1 0 −10 1 −1⇝ 0 0 −70 −3 30 2 53292722131 ⇝ 0507134 || 5IV−1 −2 || −3 I−IV −1 1 || −2 II−IV −2 −11 || −5 III−3·I 2 −5 || 3 V −2·I−2 || −3II1 0 −1 −2 || −31 || −2III0 1 −1 1 || −2−6 || −15 IV +5·III ⇝ 0 0 7 6 || 15 −3 || 6V −II 0 0 7 6 || 158 || 11 I−2·II1 0 −1 −2 || −3⇝ 0 1 −1 1 || −2 .0 0 7 6 || 15201−5−3Ïðèíèìàÿ x4 çà ñâîáîäíóþ ïåðåìåííóþ, íàõîäèìx3 =−6x4 + 15,7x2 =−13x4 + 1,78x1 =8x4 − 6.7.
