2016.09.09_Kardano _solutions (Семинары с решением 2016)
Описание файла
Файл "2016.09.09_Kardano _solutions" внутри архива находится в следующих папках: Вышка_Семинары_с_решением_гр_16135(2016), Решения. PDF-файл из архива "Семинары с решением 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Ìåòîäû Êàðäàíî è Ôåððàðè9 ñåíòÿáðÿ • 16135 ãðóïïàÄîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå ay3 +by2 +cy +d = 0 ìîæíî çàìåíîéïåðåìåííûõ ñâåñòè ê óðàâíåíèþ x3 + 3px + 2q = 0.Äîêàçàòåëüñòâî. ßñíî, ÷òî èçíà÷àëüíîå óðàâíåíèå ìîæíîïîäåëèòü íà a, ïîýòîìó ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíåíèå èìåëî âèäy 3 + by 2 + cy + d = 0.Ñîâåðøèì çàìåíó y = x − 3b , òîãäà óðàâíåíèå ïðèìåò âèä1.()3()2()bbby 3 + by 2 + cy + d = x −+b x−+c x−+d333b 2b2b32b2b3bc32=x −3 x +3 x−+ bx −x + + cx − + d3927 (3)3 )(9 32bc bbc d+2= 0.= x3 + 3x−− +392762Ðåøèòå ìåòîäîì Êàðäàíî óðàâíåíèÿ:à) x3 − 6x + 9 = 0;á) x3 + 12x + 63 = 0;â) x3 + 9x2 + 18x + 28 = 0;ã) x3 − 6x + 4 = 0;å) x3 + 6x + 2 = 0.√Ðåøåíèå.
à) ßñíî, ÷òî p = −2, q = 29 . Òîãäà u± = − 92 ± 27√, ïðèýòîì îáÿçàòåëüíî√√ u+u− = 2, ò.å. arg(u+u−) = 0. Ñ÷èòàåì u+ = −1,u− = −8 = 2 −1. Ïîñêîëüêó −1 = 1(cos π + i sin π), óãëû ó îáîèõêóáè÷åñêèõ êîðíåé áóäóò ðàâíû π/3, π è −π/3. Âû÷èñëÿåì2.3333(π )(π )[( π)( π )]x1 = cos+ i sin+ 2 cos −+ i sin −333√√3 )√(313133= −i .= +i+2−i222222x2 = cos π + i sin π + 2(cos π + i sin π) = −3,1à x3 = x1 =32+√i 23.√á) ßñíî, ÷òî p = 4, q = . Òîãäà u± = − 632 ± 652 , ïðè ýòîì√îáÿçàòåëüíîu+√u− = −4, ò.å. arg(u+u−) = π . Ñ÷èòàåì u+ = 1,√u− = −64 = 4 −1.
Ïîñêîëüêó63233331 = 1(cos 0 + i sin 0),−1 = 1(cos π + i sin π),óãëû ó êóáè÷åñêèõ êîðíåé èç 1 ðàâíû 0, ±2π/3, à èç −1: π, ±π/3.Âû÷èñëÿåì x1 = cos 0 + i sin 0 + 4(cos π + i sin π) = −3,x2 = cos( 2π )( 2π )[(π )( π )]+ i sin+ 4 cos+ i sin333√ )√3√(135 3133=− +i+4+i= +i.222222√5 3i 2à x3 = x2 = − .â) Ïî çàäà÷å 1 ñäåëàåì çàìåíó x = z − 3, ñîîòâåòñòâåííîïîëó÷èì√óðàâíåíèå z3 + 3z(−3) + 2(14) = 0. Òîãäà íàõîäèì u± = −14 ± 13,ïðèu√+u− = 3, ò.å. arg(u+u−) = 0. Ñ÷èòàåì u+ =√ ýòîì îáÿçàòåëüíî√−1, u− = −27 = 3 −1. Êàê â ï. à) óãëû ó îáîèõ êóáè÷åñêèõêîðíåé áóäóò ðàâíû π/3, π è −π/3. Âû÷èñëÿåì32333z1 = cos3(π )[( π)( π )](π )+ i sin+ 3 cos −+ i sin −333 )√3√(√1313= +i+3−i= 2 − i 3.2222√z2 = cos π + i sin π + 3(cos π + i sin π) = −4, à z3 =√z1 = + i 23 .Âåðí¼ìñÿ ê èçíà÷àëüíîé ïåðåìåííîé x =√−4; −1 ± i 3.ã) ßñíî, ÷òî p = −2, q = 2.
Òîãäà u± = 3 −2 ± 2i, ïðè ýòîì îáÿçàòåëüíî u+u− = 2, ò.å. arg(u+u−) = 0. Ñ÷èòàåì√√√11u+ = 3 −2 + 2i = 2 3 − √ + i √ ,22√√√11u− = 3 −2 − 2i = 2 3 − √ − i √ .22322Ïîñêîëüêó( 3π ))(( 3π )11+ i sin,− √ + i √ = 1 cos4422(( −3π )( −3π ))11− √ + i √ = 1 cos+ i sin,4422óãëû ó êóáè÷åñêèõ êîðíåé èç −2 + 2i ðàâíû π/4, 11π/12, −5π/12,à èç −2 − 2i: 5π/12, 13π/12, −π/4. Âû÷èñëÿåì√ ((π )( −π )( −π ))(π )x1 = 2 cos+ i sin+ cos+ i sin= 2,4444Èñïîëüçóÿ ÷¼òíîñòü cos(z) è íå÷¼òíîñòü sin(z), ñâîäèì√ (( 11π )( 11π )( 11π )( −11π ))x2 = 2 cos+ i sin+ cos+ i sin12121212√√( 11π )(π)= −2 2 cos.= 2 2 cos1212Èç ôîðìóëû cos(2α) = 2 cos2(α) − 1 âû÷èñëÿåì(π)cos=12√cos(π )6+12√1=2√√√√13+2= √2 3+422√√√112= √(1 + 3) = √ (1 + 3),2 22 2òåì ñàìûì, x2 = −(1 + 3), à √ïî ôîðìóëå√Âèåòà äëÿ êóáè÷åñêîãîóðàâíåíèÿ x3 = 0 − 2 − (−1 − 3) = −1 √+ 3.ä) ßñíî, ÷òî p = 2, q = 1.
Òîãäà u± = −1 ± 3, ïðè√ýòîì îáÿçà√1/3òåëüíî√u+u− = −2√, ò.å. arg(u+u−) = π. Ñ÷èòàåì u+ = 2 = 2 1,u− = 4 = 22/3 −1. Êàê â ï. á), óãëû ó êóáè÷åñêèõ êîðíåé èç1 ðàâíû 0, ±2π/3, à èç −1: π, ±π/3. Âû÷èñëÿåì x1 = 21/3(cos 0 +i sin 0) + 22/3(cos π + i sin π) = 21/3 − 22/3,33333[( 2π )( 2π )][(π )( π )]x2 = 21/3 cos+ i sin+ 22/3 cos+ i sin3√ 3)√ 32/3( 3√ )(2/31/32 −21333(2 + 21/3)2/3 11/3+2==2− +i+i+i.222222à x3 = x2 =22/3 −21/32−√ 2/3 1/3i 3(2 2+2 )3.Ðåøèòå ìåòîäîì Ôåððàðè óðàâíåíèÿ:à) x4 − 2x3 + 2x2 + 4x − 8 = 0;á) x4 + 2x3 − 2x2 + 6x − 15 = 0;â) x4 − x3 − x2 + 2x − 2 = 0.Ðåøåíèå.
à) Ïðåäñòàâëÿåì ëåâóþ ÷àñòü êàê3.()2[]2λ+32− (λ − 1)x2 − (λ + 4)x +.4(1)Äàëåå, ñîñòàâëÿåì óðàâíåíèå äëÿ êðàòíîãî êîðíÿ λ äëÿ êâàäðàòíîãî òð¼õ÷ëåíà, ñòîÿùåãî âî âòîðîé ñêîáêå:λx2 − x +2( 2)λ + 32(λ + 4)2 − 4(λ − 1)=04èëè, ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ñëàãàåìûõ: λ3 − 2λ2 + 24λ − 48=0.Ìîæíî óãàäàòü îäèí èç êîðíåé λ = 2. Ïîäñòàâèì åãî â (1):(x2 −x+1)2 −(x2 −6x+9) = (x2 −x+1+(x−3))(x2 −x+1−(x+3))= (x2 − 2x + 4)(x2 − 2),√√ñëåäîâàòåëüíî, x1,2 = 1 ± i 3, x3,4 = ± 2.á) Ïðåäñòàâëÿåì ëåâóþ ÷àñòü êàê)2 [](2λλ+60.x2 + x +− (λ + 3)x2 + (λ − 6)x +24Ñîñòàâëÿåì óðàâíåíèå äëÿ λ:(λ − 6)2 − 4(λ + 3)(2λ + 604(2))=0èëè, ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ñëàãàåìûõ: λ3 + 2λ2 + 72λ + 144=0.Òðàäèöèîííî óãàäûâàåì îäèí èç êîðíåé λ= − 2. Ïîäñòàâëÿåì â (2):(x2 +x−1)2 −(x2 −8x+16) = (x2 +x−1+(x−4))(x2 +x−1−(x−4))= (x2 + 2x − 5)(x2 + 3),√√ñëåäîâàòåëüíî, x1,2 = −1 ± 6, x3,4 = ±i 3.â) Ïðåäñòàâëÿåì ëåâóþ ÷àñòü êàê()2 [()(])2x5λλλ+8x2 − +− λ+x2 + − − 2 x +.2 24 424(3)Ñîñòàâëÿåì óðàâíåíèå äëÿ λ:()2 ()λ5(λ2 + 8) = 0− −2 − λ+24èëè, ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ñëàãàåìûõ: λ3 + λ2 + 6λ + 6 = 0.Ïî-ïðåæíåìó, ìîæíî îïðåäåëèòü, ÷òî îäèí èç êîðíåé ýòî λ = −1.Ïîäñòàâëÿåì â (3):()2 ( 2)x1x3x9x2 − −−+−2 2424()()x1x−31x−3x= x2 − − +x2 − − −= (x2 −2)(x2 −x+1),2 222 22√√1±i 3ñëåäîâàòåëüíî, x1,2 = ± 2, x3,4 = 2 .5.
