2016.09.07_complex_numbers2_solutions (Семинары с решением 2016)

Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Êîìïëåêñíûå ÷èñëà-27 ñåíòÿáðÿ • 16135 ãðóïïàÏðîâåðüòå ðàâåíñòâà:à) z + z′ = z̄ + z̄′; á) z · z′ = z̄ · z̄′;â) z/z′ = z̄/z̄′; ã) (z̄) = z.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z = a + ib, z′ = c + id, òîãäàà) z + z′ = (a + c) + i(b + d) = (a + c) − i(b + d), ïðè ýòîì z̄ + z̄′ =a − ib + c − id = (a + c) − i(b + d).á) z · z′ = ac − bd + i(ad + bc) = ac − bd − i(ad + bc), ñ äðóãîéñòîðîíû, z̄ · z̄′ = (a − ib)(c − id) = ac − bd − i(ad + bc).â) Ñëåäóåò èç á) è ðàâåíñòâà1.1/(c + id) = (c − id)/(c2 + d2) = (c+id)/(c2 +d2) = 1/(c−id) = 1/z̄ ′.ã) (z̄) = a − ib = a + ib = z.Äîêàæèòå ðàâåíñòâà:à) z + z̄ = 2Re z; á) z − z̄ = 2iIm z; â) z · z̄ = |z|2.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü z = a + ib, òîãäà z̄ = a − ib,à) z + z̄ = a + ib + a − ib = 2a = 2Re z,á) z − z̄ = (a + ib) − (a − ib) = 2ib = 2iIm z,â) z · z̄ = (a + ib)(a − ib) = a2 + b2 = |z|2.Äàéòå ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ íåðàâåíñòâ:à) |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|; á) |z1 − z2| ≥ ||z1| − |z2||;â) |1 − z| ≤ |arg z| äëÿ |z| = 1.Ðåøåíèå.

à, á) Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà; â) äëèíà äóãè íåìåíüøå, ÷åì äëèíà õîðäû, å¼ ñòÿãèâàþùåé.Ïðåäñòàâüòå â òðèãîíîìåòðè÷åñêîéôîðìå√√ ÷èñëà:à) ±1, á) ±i, â) 1 + i; ã) −1 − i 3; ä) 3 − i.Ðåøåíèå. à) cos 0 + i sin 0, cos(π)√ + i sin(π);á) cos(±π/2) + i sin(±π/2); â) 2(cos(π/4) + i sin(π/4));ã) 2(cos(4π/3) + i sin(4π/3)); ä) 2(cos(−π/6) + i sin(−π/6)).2.3.4.1Äîêàæèòå, ÷òîà) |z1z2| = |z1||z2|,á) |zn| = |z|n,â) arg (z1z2) = arg (z1) + arg (z2),ã) arg (zn) = narg z.ä) èç z1 = z2 ñëåäóåò, ÷òî arg z1 = arg z2 + 2πk, k ∈ Z.Äîêàçàòåëüñòâî.

à) Äîêàæåì ðàâåíñòâî |z1z2|2äëÿ ÷èñåë z1 = a + ib, z2 = c + id:5.= |z1|2|z2|2|z1z2|2 = |(ac − bd) + i(ad + bc)|2 = (ac − bd)2 + (ad + bc)2= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2 = (a2 + b2)(c2 + d2) = |z1|2|z2|2.â) Ïóñòü z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1), z2èñêîìîå ðàâåíñòâî ñëåäóåò èç= r2(cos φ2 + i sin φ2),òîãäàz1z2 = r1r2(cos φ1 cos φ2 −sin φ1 sin φ2 +i(sin φ1 cos φ2 +cos φ1 sin φ2))= r1r2(cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)).á) Ñëåäóåò èç à); ã) ñëåäóåò èç â); ä) ïî îïðåäåëåíèþàðãóìåíòà.√Èñïîëüçóÿ 5, íàó÷èòåñü âû÷èñëÿòüw = z , íàõîäÿ ïî îò√äåëüíîñòè |w| è arg w. Âíèìàíèå: z, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðèíèìàåò nðàçíûõ çíà÷åíèé.nnnÐåøåíèå.

Ïóñòü√ w = z , òîãäà ïî 5á) ïîëó÷àåì |w | = |w| = |z|è ïîýòîìó |w| = |z|. Èç 5ã) è 5ä) çàêëþ÷àåì, ÷òî narg w = arg z +2πk , k ∈ Z, èëè arg w = argn z + 2πkn , k = 0, 1, . . . , n − 1 (ïîñêîëüêóïðè äðóãèõ öåëûõ k ìû ïîëó÷èì îäíî èç ýòèõ n çíà÷åíèé).√√Âû÷èñëèòå√√√√√à) 2 + i 2, á) 1 + i 3, â) 2i, ã) −1, ä) (1 + i)25.Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìû íàøëè õîòÿ áû êàêîé-òî w êâàäðàòíûé êîðåíü èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z ̸= 0, òî âòîðûì êîðíåìáóäåò ÷èñëî −w, à ìíîæåñòâî êîðíåé åñòü ±w.

Òîãäàn6.nn7.4à)√√ ()√√1i2+i 2= 2 √ + √22√√ √= 2 ( cos(π/4) + i sin(π/4)) = ± 2(cos(π/8) + i sin(π/8)).2Íàéä¼ì cos(π/8) êàê√cos(π/4)+12√=√1+√ 22 2,à√√√√2−11+ 2√ .sin(π/8) = 1 − cos2(π/8) = 1 − √ =2 22 2√√√√−1/4Îêîí÷àòåëüíîèìååìîòâåò ±2 ( 2 + 1 + i 2 − 1).√√√ √á) 1 + i 3 = 2 cos(π/3)+ i sin(π/3)√ √3 i√= ± 2(cos(π/6) + i sin(π/6)) = ± 2( 2 + 2 ).√√ √√â) 2i = 2 cos(π/2) + i sin(π/2) = ± 2(cos(π/4) + i sin(π/4))= ±(1 + i).√√ã) 4 −1 = 4 cos(π) + i sin(π)= ±(cos(π/4) + i sin(π/4)); ±(cos(3π/4)+√i sin(3π/4))√= ± 2(1 + i); ± 2(−1 + i).√ä) (1 + i)25 = ( 2(cos(π/4) + i sin(π/4)))25= 225/2(cos(25π/4) + i sin(25π/4)) = 225/2( √12 + √i2 ) = 212(1 + i).8. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëà wk , k = 0, . .

. , n − 1, ÿâëÿþùèåñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ wn = z, ïðè ëþáîì z ðàñïîëàãàþòñÿ â âåðøèíàõïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç6 ñëåäóåò, ÷òî âñå n êîðíåé ðàñïîëîæåíû√níà îêðóæíîñòè ðàäèóñà |z|, ïðè÷¼ì óãëû ìåæäó òî÷êîé A = (0, 0)(öåíòðîì îêðóæíîñòè) è ñîñåäíèìè âåðøèíàìè n-óãîëüíèêà ïîïàðíî ðàâíû äðóã äðóãó è ðàâíû 2π/n. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîñåäíèåâåðøèíû è òî÷êà A îáðàçóþò n ðàâíûõ ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêîâ.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå ñòîðîíû è âñå óãëû n-óãîëüíèêà√ñîîòâåòñòâåííî ïîïàðíî ðàâíû.Âûðàçèòå ÷åðåç cos x è sin x âûðàæåíèÿ:à) cos(2x), á) sin(2x), â) cos(3x), ã) sin(3x), ä) cos(6x).Ðåøåíèå. Ïóñòü z = cos x + i sin x, òîãäà ïî 5ã) cos(nx) =Re (z n), sin(nx) = Im (z n). Ïîýòîìóà) cos(2x) = Re (cos x + i sin x)2 = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 x − 1;á) sin(2x) = Im (cos x + i sin x)2 = 2 cos x sin x;â) cos(3x) = Re (cos x + i sin x)3 = cos3 x − 3 cos x sin2 x = cos3 x −3 cos x(1 − cos2 x) = 4 cos3 x − 3 cos x;9.3ã) sin(3x) = Im (cos x + i sin x)3= 3 cos2 sin x − sin3 x = 3 sin x(1 −sin2 x) − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x;ä)cos(6x) = Re (cos x + i sin x)6= cos6 x − 15 cos4 x sin2 x + 15 cos2 x sin4 x − sin6 x= cos6 x − 15 cos4 x(1 − cos2 x) + 15 cos2 x(1 − cos2 x)2 − (1 − cos2 x)3= 16 cos6 x − 15 cos4 x + 15 cos2 x(1 − 2 cos2 x + cos4 x)− (1 − 3 cos2 x + 3 cos4 x − cos6 x)= 32 cos6 x − 48 cos4 x + 18 cos2 x − 1.√nz íå ìîæåò ïðèíèìàòü áîëüøå, ÷åì n çíà÷åíèé?10.

Ïî÷åìóÐåøåíèå. Ïîñêîëüêó óðàâíåíèå wn − z = 0 îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé w èìååò ñòåïåíü, à èç òåîðåìû Áåçó ñëåäóåò, ÷òî ìíîãî÷ëåííå ìîæåò èìåòü êîðíåé áîëüøå, ÷åì åãî ñòåïåíü.Ðåøèòå óðàâíåíèÿ:à) z4 = z̄4, á) z2 + z̄ = 0, â) z3 = z̄.Ðåøåíèå. à) Èç 5 ñëåäóåò, ÷òî r = |z| ìîæåò áûòü ëþáûì, à4arg z = 4(−arg z) + 2πk èëè arg z = πk/4. Ñîîòâåòñòâåííî îòâåò:r(cos(πk/4) + i sin(πk/4)), r ∈ R≥0, k = 0, 1, .

. . , 7.á) Èç z2 = −z̄ ñëåäóåò, ÷òî |z2| = |z|2 = |z̄| = |z|, ÷òî äà¼ò ëèáî z = 0, ëèáî |z| = 1. Òîãäà ðàâåíñòâî z2 = −z̄ ýêâèâàëåíò3íîðàâåíñòâóz= −z z̄ = −1. Ñîîòâåòñòâåííîîòâåòîì áóäóò 0 è√√−1 = cos(±π/3) + i sin(±π/3) = 12 ± i 2 3 ; cos(π) + i sin(π) = −1.â) Àíàëîãè÷íî√ á) ïîëó÷àåì ëèáî z = 0, ëèáî z4 = 1, ÷òî äà¼òz = (±1 ± i)/ 2.11.34.