2016.09.02_complex_numbers1-solutions (Семинары с решением 2016)
Описание файла
Файл "2016.09.02_complex_numbers1-solutions" внутри архива находится в следующих папках: Вышка_Семинары_с_решением_гр_16135(2016), Решения. PDF-файл из архива "Семинары с решением 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Êîìïëåêñíûå ÷èñëà2 ñåíòÿáðÿ • 16135 ãðóïïàÊîìïëåêñíîå ÷èñëî åñòü óïîðÿäî÷åííàÿ ïàðà (a, b), ãäåÎïðåäåëèì íà ìíîæåñòâåC = {(a, b)|a, b ∈ R}(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),1.a, b ∈ R.îïåðàöèè(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).Äîêàæèòå, ÷òî îïåðàöèè, çàäàííûå íà(1)C ïî (1), àññîöèàòèâíû,êîììóòàòèâíû, èìåþò íåéòðàëüíûé ýëåìåíò è äèñòðèáóòèâíû.Ðåøåíèå. Êîììóòàòèâíîñòü +:(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) + (a, b).Àññîöèàòèâíîñòü+:[(a, b) + (c, d)] + (e, f ) = (a + c, b + d) + (e, f )= (a+c+e, b+d+f ) = (a, b)+(c+e, d+f ) = (a, b)+[(c, d)+(e, f )].Êîììóòàòèâíîñòü ·:(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, bc + ad) = (c, d) · (a, b).Àññîöèàòèâíîñòü ·:[(a, b) · (c, d)] · (e, f ) = (ac − bd, ad + bc) · (e, f )= (ace − bde − f ad − f bc, acf − bdf + ade + bce)= (a, b) · (ce − f d, cf + de) = (a, b) · [(c, d) · (e, f )].Íåéòðàëüíûé ýëåìåíò ïî+:(0, 0) + (a, b) = (a, b) + (0, 0) = (a, b).Íåéòðàëüíûé ýëåìåíò ïî ·:(1, 0) · (a, b) = (a, b) · (1, 0) = (a, b).Äèñòðèáóòèâíîñòü:(a, b) · [(c, d) + (e, f )] = (a, b) · (c + e, d + f )= (ac + ae − bd − bf, ad + af + bc + be)= (ac − bd, ad + bc) + (ae − bf, af + be)= (a, b) · (c, d) + (a, b) · (e, f ).1Íàéäèòå îáðàòíûé ýëåìåíò ïî óìíîæåíèþ äëÿ2.a + ibïðèa2 + b2 > 0.a − iba − ib1== 2.a + ib (a + ib)(a − ib) a + b2Âû÷èñëèòå (2 + 3i)(4 − 5i) + (2 − 3i)(4 + 5i).Ðåøåíèå.3.Ðåøåíèå.(2 + 3i)(4 − 5i) + (2 − 3i)(4 + 5i) = (8 + 15 + 2i) + (8 + 15 − 2i) = 46.4.à)(1Âû÷èñëèòå+ 2i)6,á)Ðåøåíèå.à) (1+2i)6(2 + i)7 + (2 − i)7,â)(1 + 2i)5 − (1 − 2i)5.= (−3+4i)(−3+4i)(−3+4i) = (−3+4i)(−7−24i) = 117+44i,á)(2 + i)7 + (2 − i)7 = (2 + i)(2 + i)2(2 + i)4 + (2 − i)(2 − i)2(2 − i)4= (2 + i)(3 + 4i)(−7 + 24i) + (2 − i)(3 − 4i)(−7 − 24i)= (2 + 11i)(−7 + 24i) + (2 − 11i)(−7 − 24i)= (−278 − 29i) + (−278 + 29i) = −556.â)(1 + 2i)5 − (1 − 2i)5= (−7 − 24i)(1 + 2i) − (−7 + 24i)(1 − 2i)= (41 − 38i) − (41 + 38i) = −76i.5.à)á)â)Ðåøèòå ñèñòåìû óðàâíåíèé:(3 − i)x + (4 + 2i)y = 2 + 6i, (4 + 2i)x − (2 + 3i)y = 5 + 4i;(2 + i)x + (2 − i)y = 6,(3 + 2i)x + (3 − 2i)y = 8;x + yi − 2z = 10, x − y + 2iz = 20, ix + 3iy − (1 + i)z = 30.Ðåøåíèå.
à) Ñêëàäûâàÿ óäâîåííîå ïåðâîå óðàâíåíèå è âòîðîå,9+16i10x+y(6+i) = 9+16i, îòêóäà âûðàæàåì x = −y 6+i10 + 10 .Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå âìåñòî x â ïåðâîå óðàâíåíèå, èìååìïîëó÷èì−(3 − i)(6 + i)y (9 + 16i)(3 − i)++ (4 + 2i)y = 2 + 6i,1010(3i − 19)y + 43 + 39i + (40 + 20i)y = 20 + 60i, èëè(21 + 23i)y = 21i − 23 = i(21 + 23i),2èëè÷òî âëå÷¼òy = i,àx = 1 + i.á) Âû÷òåì èç óäâîåííîãî ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âòîðîå, ïîëó÷èìx+x = 4 − y è ïîäñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå â1+2iïåðâîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì y = i = 2 − i. Òîãäà x = 4 − y = 2 + i.â) Âû÷òåì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ âòîðîå: y(i+1)−2(1+i)z = −10,1÷òî äà¼ò y − 2z = − 10(1+i) = −5 + 5i.Äåëåíèåì íà i ïðèâåä¼ì òðåòüå óðàâíåíèå ê âèäó x+3y+(i−1)z =−30i. Òîãäà âû÷èòàÿ èç ýòîãî óðàâíåíèÿ âòîðîå óðàâíåíèå èçíà÷àëüíîé ñèñòåìû, ïîëó÷èì 4y + z(−1 − i) = −20 − 30i.
Ïîäñòàâëÿÿâ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî y = −5 + 5i + 2z , íàõîäèìy = 4.Âûðàçèâ îòñþäà4(2z − 5 + 5i) + z(−1 − i) = −20 − 30i, èëèz(7 − i) = −20 − 30i − 20i + 20 = −50i, èëè50i50i(7 + i)z=−=−= −i(7 + i) = 1 − 7i,7−i50÷òî âëå÷¼ò y = −5+5i+2z = −3−9i è x = 10+2−14i+3i−9 = 3−11i(èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ).( Âû÷èñëèòå√ )2i 31−2 + 2 ,6.à)(√ )3i 31á) − 2 + 2.(√ )2√i 3113.
à) − 2 + 2= 4 − 4 − 2i · 43 =(√ )3√ )(√ )i 3i 3i 311= −2 − 2− 2 + 2 = 1.2Ðåøåíèåá)(− 12 +− 12−√i 32 ;√ Âû÷èñëèòå√√√√à)2i, á) −8i, â) 3 − 4i,√ã)−15 + 8i, ä) −11√+ 60i,√√√√√44å)−8 − 6i, ¼) √2 − 3i, æ) 1 − i 3, √ç)−1, è)√ 2 − i 12.Ðåøåíèå. à)2i = ±(1 + i); √ á) −8i = 2 −2i = ±2(1 − i);√â)ã)−15√+ 8i = ±(4i + 1);√3 − 4i = ±(2 − i);ä)−8 − 6i = ±(3i − 1);√ −11 + 60i = ±(6i + 5); 2 å)¼) 2 − 3i = x+iy , çíà÷èò, x −y 2 = 2, xy = −3/2, ñëåäîâàòåëüíî,√√13922y = −3/(2x), x − 4x2 = 2.
Òîãäà íàõîäèì x = 1 ± 2 = 1 + 213 ,√√√√1313−3√ √ = ∓− 1.ò.å. x = ± 1 + 2 . Ïîýòîìó y =22± 1+ 213√√√√√41√√ ;æ)1 − i 3 = ± 2 ( 3 − i);ç)−1 = ±i = ±1±i27.3(1 + i)2 = 2i, çàïèøåì√√√√√ √√√4442 − i 12 = 2 − 2i 3 = ( 3i − 2)2 = ±( 3 − i)√√√ √√√111=√±(2 3 − 2i) = √±i(2 + 2 3i) = √±i( 3 + i)22 √22√√√√1122=±(1 + i) ( 3 + i) =±( 3 − 1 + i( 3 + 1))222√√1 √i √= ± ( 3 − 1 + i( 3 + 1)); ± ( 3 − 1 + i( 3 + 1))22) ( √√√(√)3−13+13+1− 3+1=±+i;±+i.2222è) Èñïîëüçóÿ ïðîñòîé ôàêò, ÷òî8.à)á)â)Ðåøèòå óðàâíåíèÿ:x2 − (2 + i)x + (−1 + 7i) = 0,x2 − (3 − 2i)x + (5 − 5i) = 0,(2 + i)x2 − (5 − i)x + (2 − 2i) = 0.Ðåøåíèå.Áóäåì ðåøàòü, êàê è ðåøàëè â øêîëå êâàäðàòíûåóðàâíåíèÿ (â øêîëüíîì ìåòîäå áûëî íå îñîáî âàæíûì, ÷òî ìûèùåì âåùåñòâåííûå êîðíè):à) ÏîñêîëüêóD = (2 + i)2 − 4(−1 + 7i) = 7 − 24i = (4 − 3i)2,ïîýòîìó√2 + i 4 − 3i1±= 3 − i; −1 + 2i.x1,2 = (2 + i ± D) =222á) Çäåñü D = (3 − 2i)2 − 4(5 − 5i) = 8i − 15 = −(4 − i)2 , çíà÷èò,13 − 2i 1 + 4ix1,2 = (3 − 2i ± i(4 − i)) =±= 2 + i; 1 − 3i.222â) Ñïåðâà äîìíîæèì óðàâíåíèå íà 2 − i:5x2 − (5 − i)(2 − i)x + 2(1 − i)(2 − i) = 5x2 + (−9 + 7i)x + 2 − 6i.Òåïåðü ïîñ÷èòàåì äèñêðèìèíàíò:D = (−9 + 7i)2 − 4 · 5(2 − 6i) = −8 − 6i = (1 − 3i)2,òåì ñàìûì,x1,2 =9 − 7i 1 − 3i4 − 2i±= 1 − i;.101054.