2016.12.16_polynoms4 (Семинары с решением 2016)
Описание файла
Файл "2016.12.16_polynoms4" внутри архива находится в следующих папках: Вышка_Семинары_с_решением_гр_16135(2016), Задания. PDF-файл из архива "Семинары с решением 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Ïðîñòûå ðàñøèðåíèÿ ïîëåé16 äåêàáðÿ • 16135 ãðóïïàÊîëüöî K êîëüöî ãëàâíûõ èäåàëîâ, åñëè â K ïðîèçâîëüíûéPèäåàë I îäíîïîðîæä¼í, ò.å. I = { ki ali | ki , li ∈ K}, ãäå a ∈ Kíàçûâàåòñÿ ïîðîæäàþùèì èäåàëà.Óòâåðæäåíèå. Êîëüöî ìíîãî÷ëåíîâ F [x], ãäå F ïîëå, ÿâëÿåòñÿ êîëüöîì ãëàâíûõ èäåàëîâ.Ïóñòü I èäåàë â F [x] è f (x) ïîðîæäàþùèé I , òîãäà ýòîòôàêò îáîçíà÷àåòñÿ òàê: I = (f ).1.
Ïóñòü F ïîëå, I = (f ) èäåàë â F [x]. Äîêàæèòå, ÷òîôàêòîð-êîëüöî F [x]/I ÿâëÿåòñÿ ïîëåì, åññëè f íåïðèâîäèì.Ïóñòü k ⊂ K ðàñøèðåíèå ïîëåé, ò.å. k ÿâëÿåòñÿ ïîäïîëåì K .Ýëåìåíò α ∈ K íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì íàä k, åñëè ñóùåñòâóåòòàêîé íåíóëåâîé ìíîãî÷ëåí p(x) ∈ k[x], ÷òî p(α) =√0.√√32. Äîêàæèòå, ÷òî íàä Q àëãåáðàè÷íû ÷èñëà à) 2, á) 2 + 3.Ïóñòü α êîðåíü f (x) ∈ Q[x].
Ïîðîäèì ìíîæåñòâîì {Q, α} â Rïîäêîëüöî Q[α]. Ôàêòè÷åñêè Q[α] = {a0 +a1 α+. . .+an αn | ai ∈ Q}.3. Ïóñòü α êîðåíü f (x) ∈ Q[x] è f (x) íåïðèâîäèì íàä Q[x].à) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè h(x) ∈ Q[x] òàêîé ìíîãî÷ëåí, ÷òî h(α)=0,òîãäà h(x) äåëèòñÿ íà f (x).á) Èñïîëüçóÿ ãîìîìîðôèçì ϕ : Q[x] → Q[α], çàäàííûé ñëåäóþùèì îáðàçîì: h(x) → h(α), äîêàæèòå, ÷òî Q[α] ïîëå.â) ×åìó ðàâíà ðàçìåðíîñòü Q[α] íàä ïîëåìQ? √√334. √Íàéäèòåýëåìåíò,îáðàòíûé÷èñëó1−2+24 â ïîëå ÷èñåë√a + b 3 2 + c 3 4 ñ ðàöèîíàëüíûìè a, b è c.5. Ïóñòü I èäåàë â Z11[x], I = (x2 + x + 4).
à) Äîêàæèòå, ÷òîZ11[x]/I ïîëå, á) ñêîëüêî ýëåìåíòîâ â Z11[x]/I ?6. Ïóñòü π : Z[x] → Zp[x] åñòåñòâåííûé ãîìîìîðôèçì, f (x) ∈Z[x], f 6= 0. Ïóñòü deg(π(f )) = deg f . Äîêàæèòå, ÷òî åñëè π(f (x))íåïðèâîäèì â Zp [x], òî è f (x) íåïðèâîäèì â Z[x].7. Ïóñòü r ∈ R òàêîå, ÷òî r + 1r ðàâíÿåòñÿ íå÷¼òíîìó öåëîìó.Äîêàæèòå, ÷òî r 6∈ Q.1.