2016.11.18_rings1 (Семинары с решением 2016)

Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Кольца18 ноября • 16135 группаНепустое множество K с двумя заданными на нём операциями+ и · называется кольцом, если для всех x, y, z ∈ K выполнено1) ⟨K, +⟩ — абелева группа (0 — единица этой группы),2) (x · y) · z = x · (y · z) (ассоциативность умножения),3) x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz (дистрибутивность).Кольцо называется кольцом с единицей, если4) найдётся такой элемент 1, что 1 · x = x · 1 = x для всех x ∈ K.Кольцо с единицей — коммутативное кольцо, если5) x · y = y · x для всех x, y ∈ K.Коммутативное кольцо есть область целостности, если6) в K нет делителей нуля, т.е. из x · y = 0 следует, что хотя быодин из элементов x, y равен 0.Коммутативное кольцо называется полем, если7) для любого x ̸= 0 найдётся такой x−1, что x · x−1 = x−1 · x = 1.Кольцо с единицей называется телом, если в нём выполнено 7).Замечание 1.

Проще сказать, что K — это поле, если ⟨K, +⟩ и⟨K \ {0}, ·⟩ — абелевы группы и x(y + z) = xy + xz.Замечание 2. Тело есть фактически некоммутативное поле.1. Определите, является ли данное множество относительно операций + и · кольцом/кольцом с единицей/коммутативным кольцом/областью целостности/полем?а) целые числа,б) чётные числа,в) целые числа, кратные n, т.е. nZ,г) рациональные числа,д) действительные числа,е) комплексные числа,√ё) числа вида a + b √2 с целыми a и b,ж) числа вида a + b 3 с рациональными a и b,1з) матрицы порядка n с действительными элементами,и) функции с действительными() значениями, непрерывные на [−1, 1],a bй) все матрицы вида, где a, b ∈ Q (или R),2b a√3к) числа вида a + b√2 с рациональнымиa и b,√33л) числа вида a + b 2 + c 4 с рациональными a, b и c,м) многочлены от x с действительными √коэффициентами.√2.

Найдите обратный элемент к 1 − 3 2 + 2 3 4 в множестве из1, л).√√333. Найдитеобратныйэлементк2+35−25 в множестве чисел√√вида a + b 3 5 + c 3 25 с рациональными a, b и c.4. Докажите, что в кольце 0 · x = x · 0 = 0 для любого x.5. Докажите, что в теле (и поэтому в поле) нет делителей нуля.2.