2016.11.11_groups-3 (Семинары с решением 2016)
Описание файла
Файл "2016.11.11_groups-3" внутри архива находится в следующих папках: Вышка_Семинары_с_решением_гр_16135(2016), Задания. PDF-файл из архива "Семинары с решением 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Группы-311 ноября • 16135 группа1. Докажите, что в произвольной группе выполнено равенствоf G = G для любого элемента f ∈ G.2.
Пусть H — подгруппа конечной группы G, g1, g2 ∈ G. Докажите, чтоа) если g1H ∩ g2H ̸= ∅, то g1H = g2H;б) |g1H| = |g2H|;в) множеством всех левых смежных классов gH разбивает множество G на равномощные классы;г) |H| делит |G|.Коммутатором элементов a, b ∈ G называется элемент [a, b] =aba−1b−1.3. Докажите, что [a, b] = e, ессли ab = ba.4.
Докажите следующие равенства для коммутаторов элементова) [x, y]−1 = [y, x];б) [xy, z] = x[y, z]x−1[x, z];в) [z, xy] = [z, x]x[z, y]x−1.5. Докажите, чтоа) conj x(ab) = conj x(a)conj x(b);б) (conj x(a))−1 = conj x(a−1);в) conj x([a, b]) = [conj x(a), conj x(b)].6. Докажите, что все коммутаторы и их произведения (с любымконечным числом множителей) образуют нормальную подгруппу.Пусть G1, G2 — группы.
Отображение φ : G1 → G2 называется гомоморфизмом групп G1, G2, если φ(g ·G1 h) = φ(g) ·G2 φ(h)для любых g, h ∈ G1. Ядром гомоморфизма называется множествоKer(φ) = {g ∈ G1 | φ(g) = e}.7. Пусть φ — гомоморфизм групп G1, G2. Докажите, чтоа) φ(e) = e; б) φ(g −1) = (φ(g))−1; в) φ инъективно ⇔ Ker(φ) = {e}.8.
Докажите, что ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой.9. Пусть G — группа, x ∈ G. Докажите, чтоа) conj x — гомоморфизм из G в G; б) Ker(conj x) = {e}.1.