2016.11.02_subst-2 (Семинары с решением 2016)
Описание файла
Файл "2016.11.02_subst-2" внутри архива находится в следующих папках: Вышка_Семинары_с_решением_гр_16135(2016), Задания. PDF-файл из архива "Семинары с решением 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Перестановки-22 ноября • 16135 группаМножество всех перестановок обозначается как Sn, а всех чётныхперестановок — An.Теорема. Пусть A = (aij ) — квадратная матрица размера n × n.∑sgn (σ)a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n).Тогда det A =σ∈Sn1. Выберете значения i и k так, чтобы в определитель 7-го порядка произведение a47a63a1ia55a7k a24a31 входило со знаком плюс.2. С каким знаком входит в определитель порядка n произведение элементов а) главной диагонали,б) побочнойдиагонали?5x 1 2 3 x x 1 23. Вычислите коэффициенты при x4 и x3.1 2 x 3 x 1 2 2xПусть x ∈ Sn фиксирован.
Сопряжением назовём отображениеconj x : Sn → Sn, заданное правилом conj x(a) = x−1ax. Подгруппа H группы G называется нормальной, если conj x(H) ⊂ H длялюбого x ∈ G.4. Опишите все подгруппы в а) S2; б) S3; в) S4.5. Докажите, что сопряжение перестановкой x перестановкиa ∈ Sn не изменяет структуры разложения перестановки на независимые циклы.
Точнее, x−1ax равна перестановке, полученной применением x ко всем числам в разложении a на независимые циклы.6. Докажите, чтоа) An — подгруппа в Sn;б) |An| = n!/2;в) An — нормальная подгруппа в Sn.7. Опишите все нормальные подгруппы в а) S2; б) S(3; в) S4; г))A4.1 2 3 48. Найдите все перестановки, перестановочные с.2 1 4 39. Докажите, что любая чётная перестановка разлагается напроизведение пар циклов вида (ij)(kl) при n ≥ 5.1.