2016.10.26_groups2 (Семинары с решением 2016)

Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Группы-226 октября • 16135 группаПодгруппа ⟨a⟩G называется циклической, а число k порядкомэлемента a (обозначение |a|).Группы G и H называются изоморфными, если существует биекция φ : G → H такая, что выполняется соотношение φ(g1 ·G g2) =φ(g1) ·H φ(g2).1. Докажите, что между собой изоморфныа) все бесконечные циклические группы;б) все циклические группы данного порядка n.2.

Докажите, чтоа) группа положительных действительных чисел по умножениюизоморфна группе всех действительных чисел по сложению;б) группа положительных рациональных чисел по умножению неизоформна группе всех рациональных чисел по сложению.3. Докажите, что для любых элементов a, b группы G элементыab и ba имеют одинаковый порядок, т.е. |ab| = |ba|.4. Докажите, что если n — порядок элемента a в группе G, тогдаиз ak = e следует, что k делится на n.5. Выпишите первообразные корни из единицы степениа) 2, б) 3, в) 4, г) 6, д) 8, е) 12, ё) 24.6.

Пусть G = ⟨a⟩ — циклическая группа порядка n, b = ak .Докажите, чтоа) элемент b будет образующим G, ессли (n, k) = 1;б) |b| = n/(n; k);√в) если (n, k) = 1, то в G существует корень k s, т.е. произвольныйэлемент s ∈ G является k-й степенью некоторого элемента из G;г) в группе нечётного порядка все элементы являются квадратами.7. Докажите, что а) если элементы a, b группы G имеют конечные взаимно простые порядки r и s, ab = ba, то |ab| = rs; б) еслиэлементы a, b группы G имеют конечные порядки r и s, ab = ba и⟨a⟩G ∩ ⟨b⟩G = {e}, то |ab| = [r; s].1.