2016.10.21_groups (Семинары с решением 2016)

Новосибирский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра алгебры и математической логики, 2016–2017г.Группы21 октября • 16135 группаНепустое множество G с заданными на нём бинарной операцией · и унарной операцией −1 называется группой, если выполненыследующие аксиомы:(G1) существует e ∈ G такой, что для любого x ∈ G выполненоx · e = e · x = x;(G2) для любого x ∈ G выполнено x · x−1 = x−1 · x = e;(G3) для любых x, y, z ∈ G выполнено (x · y) · z = x · (y · z).1. Выясните, образует ли группу каждое из следующих множеств при указанной операции над элементами:а) целые числа относительно сложения,б) чётные числа относительно сложения,в) целые числа, кратные данному натуральному числу n, относительно сложения,г) степени данного действительного числа a, a ̸= 0, ±1, с целымипоказателями относительно умножения,д) неотрицательные числа относительно сложения,е) нечётные числа относительно сложения,ё) целые числа относительно вычитания,ж) рациональные числа относительно сложения,з) рациональные числа относительно умножения,и) рациональные числа, отличные от нуля, относительно умножения,й) положительные рациональные числа относительно умножения,к) положительные рациональные числа относительно деления,л) рациональные числа, знаменатели которых — положительныестепени двойки, относительно сложения,м) (комплексные) корни n-й степени из единицы относительноумножения,1н) матрицы порядка n с действительными элементами относительно умножения,о) невырожденные матрицы порядка n с действительными элементами относительно умножения,п) матрицы порядка n с целыми элементами и определителем,равным ±1, относительно умножения,р) матрицы порядка n с действительными элементами относительно сложения,с) положительные действительные числа, если операция определяется так: a ∗ b = ab,т) действительные многочлены степени ≤ n от неизвестного xотносительно сложения.2.

Докажите, что в группе единственны а) единица, б) обратныйэлемент.3. Докажите, что если a2 = e для любого a ∈ G, то группа Gабелева (т.е. xy = yx для любых x, y ∈ G).Подмножество H ⊆ G называется подгруппой, если для любыхh1, h2 ∈ H выполнено h1h2, h−11 ∈ H.4. Докажите, что подгруппой являетсяа) пересечение подгрупп данной группы,б) прямая сумма подгрупп данной абелевой группы.5.

Докажите, что все подгруппы группы целых чисел по сложению имеют вид nZ = {nk|k ∈ Z}.6. В группе G рассмотрим множество ⟨a⟩G = {e, a, a−1, a2, a−2, a3,a−3, . . .}. Докажите, что либо все элементы ak , al различны приk ̸= l, либо найдётся такое минимальное k, что ak = e и тогдаH = {e, a, . . . , ak−1}.7. Докажите, что конечное множество G, на котором определенаассоциативная бинарная операция и каждое из уравнений ax = b,ya = b для любых a, b ∈ G имеет в G не более одного решения,будет группой.2.