2016.09.26_hometask (Семинары с решением 2016)
Описание файла
Файл "2016.09.26_hometask" внутри архива находится в следующих папках: Вышка_Семинары_с_решением_гр_16135(2016), Задания. PDF-файл из архива "Семинары с решением 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Çàî÷íàÿ ðàáîòà ïî âûñøåé àëãåáðå26 ñåíòÿáðÿ • 16135 ãðóïïà√1. Ïóñòü ε1, . . . , εn âñå êîìïëåêñíûå çíà÷åíèÿ x = n 1. Íàéäèòå, ÷åìó ìîæåò ðàâíÿòüñÿ ε1 + ε2 + . . . + εn .2. Âû÷èñëèòå ñóììó äëÿ íàòóðàëüíîãî n:111Cn1 − Cn3 + Cn5 − Cn7 + . .
. .39273. Ïóñòü òî÷êè a, b, c, d êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ëåæàò íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå 0. Äîêàæèòå, ÷òî âåêòîðû~ è CD~ ïåðïåíäèêóëÿðíû, åññëè ab + cd = 0.AB∗x + ∗y + ∗z = 0,4. Åñòü ñèñòåìà óðàâíåíèé ∗x + ∗y + ∗z = 0, Êðîø è æèê∗x + ∗y + ∗z = 0.âïèñûâàþò ïî î÷åðåäè âìåñòî çâåçäî÷åê ÷èñëà, Êðîø íà÷èíàåò.Äîêàæèòå, ÷òî Êðîø âñåãäà ìîæåò äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ñèñòåìàèìåëà íåíóëåâîå ðåøåíèå.5. Åñòü 10 àéôîíîâ îäèíàêîâîãî âåñà è äâóõ÷àøå÷íûå âåñû áåçãèðü. Äîêàæèòå, ÷òî ìåíåå ÷åì çà 9 âçâåøèâàíèé íåëüçÿ ïîêàçàòü,÷òî âñå àéôîíû äåéñòâèòåëüíî âåñÿò îäèíàêîâî.6.
Äîêàæèòå, ÷òî â ïðîèçâîëüíîì âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâåà) 0 · x = 0̄, á) (−1) · x = −(x), â) íóëåâîé âåêòîð åäèíñòâåíåí,ã) ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîð x0 åäèíñòâåíåí.Ïîäìíîæåñòâî S â. ï. V íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé îáðàçóþùèõýòîãî ïðîñòðàíñòâà, åñëè âñÿêèé âåêòîð v ∈ V ìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäå v = α1 v1 + · · · + αn vn , ãäå v1 , . .
. , vn ∈ S , α1 , . . . , αn ∈ K .7. Ïóñòü S = {vi, i ∈ I} ñåìåéñòâî âåêòîðîâ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà V . Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ðàâíîñèëüíû:à) íèêàêîé âåêòîð èç V íåëüçÿ âûðàçèòü ÷åðåç âåêòîðû èç Säâóìÿ ðàçíûìè ñïîñîáàìè;á) íèêàêîé âåêòîð èç S íåëüçÿ âûðàçèòü ÷åðåç îñòàëüíûå;â) åñëè ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ èç S ðàâíà íóëåâîìó âåêòîðó, òî âñå åå êîýôôèöèåíòû ðàâíû0.18.
Äîêàæèòå ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:à) ñèñòåìà, ñîäåðæàùàÿ íóëåâîé âåêòîð, ÿâëÿåòñÿ ËÇ (ëèíåéíîçàâèñèìîé);á) ñèñòåìà, ñîäåðæàùàÿ ïðîïîðöèîíàëüíûå âåêòîðû, ÿâë-ñÿ ËÇ;â) åñëè ñåìåéñòâî âåêòîðîâ ËÍÇ (ëèíåéíî íåçàâèñèìà), òî è ëþáàÿ åãî ÷àñòü ËÍÇ;ã) åñëè ñåìåéñòâî ËÇ, òî è ëþáîå ñîäåðæàùåå åãî ñåìåéñòâî ËÇ;ä) åñëè ËÍÇ íàáîð âåêòîðîâ íå ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì â.ï., òî ê ýòîìóíàáîðó ìîæíî äîáàâèòü âåêòîð òàê, ÷òîáû îí îñòàëñÿ ËÍÇ.9.
Äîêàæèòå, ÷òî ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ðàâíîñèëüíû:à) S áàçèñ V ;á) S ñèñòåìà îáðàçóþùèõ ïðîñòðàíñòâà V , ÷åðåç êîòîðóþ ëþáîé âåêòîð V âûðàæàåòñÿ îäíîçíà÷íî;â) S ËÍÇ, íî áóäåò ËÇ ïðè äîáàâëåíèè ëþáîãî âåêòîðà èç V ;ã) S ñèñòåìà îáðàçóþùèõ ïðîñòðàíñòâà V , íî òåðÿåò ýòî ñâîéñòâî ïðè óäàëåíèè ëþáîãî âåêòîðà.10. Äîêàæèòå, ÷òîà) Èç ëþáîé ñèñòåìû îáðàçóþùèõ êîíå÷íîìåðíîãî â. ï. ìîæíîóäàëèòü ÷àñòü âåêòîðîâ òàê, ÷òîáû îñòàâøèåñÿ îáðàçîâûâàëè áàçèñ.á) Ê ëþáîé ËÍÇ ñèñòåìå âåêòîðîâ êîíå÷íîìåðíîãî â. ï. ìîæíîäîáàâèòü âåêòîðû òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëñÿ áàçèñ.11.
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ìàòðèöà ñîäåðæèò m ñòðîê è èìååò ðàíãr, òî ëþáûå s å¼ ñòðîê îáðàçóþò ìàòðèöó, ðàíã êîòîðîé íå ìåíüøår + s − m.12. Êàêèå áû âåùåñòâåííûå ÷èñëà Ìîðèàðòè íè íàïèñàë íà ÷¼ðíûõ êëåòêàõ øàõìàòíîé äîñêè, Øåðëîê Õîëìñ ìîæåò çàïîëíèòüáåëûå êëåòêè òàê, ÷òî ïîëó÷èòñÿ ìàòðèöà ðàíãà r. Äëÿ êàêèõ r ýòîâîçìîæíî?13. Íàéäèòå êîîðäèíàòû ìíîãî÷ëåíà f (x) = anxn + an−1xn−1 +. . .
+ a1x + a0 â áàçèñåà) 1, x, . . . , xn ;á) 1, x − α, (x − α)2 , . . . , (x − α)n , ãäå α ∈ R, äîêàçàâ, ÷òî ïîñëåäíèåìíîãî÷ëåíû äåéñòâèòåëüíî îáðàçóþò áàçèñ.214. Äîêàæèòå, ÷òî äâà ëèíåéíûõ ìíîãîîáðàçèÿ ïðîñòðàíñòâà Vðàçìåðíîñòåé k è l ñîîòâåòñòâåííî ñîäåðæàòñÿ â íåêîòîðîì ëèíåéíîì ìíîãîîáðàçèè ðàçìåðíîñòè ≤ k + l + 1.15.
Ïóñòü L1, L2 ≤ V . Äîêàæèòå, ÷òî V = L1 ⊕ L2, åññëè ëþáîéâåêòîð x ∈ V îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå x1 +x2 , ãäå x1 ∈ L1 ,x2 ∈ L2.16. Ìàòðèöà A ∈ Mn(C) íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâîé, åñëè AT =Ā, è êîñîýðìèòîâîé, åñëè AT = −Ā (÷åðòà îçíà÷àåò êîìïëåêñíîåñîïðÿæåíèå ýëåìåíòîâ ìàòðèöû). Äîêàæèòå, ÷òî Mn (C) ÿâëÿåòñÿïðÿìîé ñóììîé ïîäïðîñòðàíñòâà Hn (C) âñåõ ýðìèòîâûõ ìàòðèö èïîäïðîñòðàíñòâà Sn (C) âñåõ êîñîýðìèòîâûõ ìàòðèö.17.
Ïóñòü äàíî íàòóðàëüíîå n > 1 è S ìíîæåñòâî âñåõ ìàòðèöðàçìåðà n × n, ñîñòîÿùèõ òîëüêî èç 0 è 1. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäíååçíà÷åíèå îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû èç S ðàâíî 0.18. Îïèøèòå âñå íåâûðîæäåííûå âåùåñòâåííûå ìàòðèöû A, äëÿêîòîðûõ âñå ýëåìåíòû ìàòðèö A è A−1 íåîòðèöàòåëüíû.19. Äîêàæèòå, ÷òî öåëî÷èñëåííàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A èìååòöåëî÷èñëåííóþ îáðàòíóþ, åññëè det(A) = ±1.3.
