2016.09.23_matrices (Семинары с решением 2016)
Описание файла
Файл "2016.09.23_matrices" внутри архива находится в следующих папках: Вышка_Семинары_с_решением_гр_16135(2016), Задания. PDF-файл из архива "Семинары с решением 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Ìàòðèöû23 ñåíòÿáðÿ • 16135 ãðóïïàÁåñêîíå÷íûé íàáîð âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèì, åñëè ëèíåéíî çàâèñèìà êàêàÿ-íèáóäü åãî êîíå÷íàÿ ÷àñòü.1. Äîêàæèòå, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâR[x] = {anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0|ai ∈ R}îò îäíîé ïåðåìåííîé x ìíîãî÷ëåíû 1, x, x2 , . . ., xn , . . . îáðàçóþò áåñêîíå÷íûé áàçèñ.2. Íàéäóòñÿ ëè òàêèå ìíîãî÷ëåíû a(x), b(x), c(y), d(y), ÷òî1 + xy + x2y 2 = a(x)c(y) + b(x)d(y) âûïîëíåíî òîæäåñòâåííî?3.
Äîêàæèòå, ÷òî âñå êâàäðàòíûå ìàòðèöû n × n íàä ïîëåì F(Mn (F )) îáðàçóþò â.ï. íàä ïîëåì F . Íàéäèòå áàçèñ è ðàçìåðíîñòüýòîãî ïðîñòðàíñòâà.4. Äîêàæèòå, ÷òî âñå à) ñèììåòðè÷åñêèå, á) êîñîñèììåòðè÷åñêèå ìàòðèöû îáðàçóþò â.ï. Íàéäèòå áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ýòîãîïðîñòðàíñòâà. 2 −1 3 −47 8 6 9 3 −2 4 −3 5 7 4 55. Âû÷èñëèòå ·.5 −3 −2 1 3 4 5 63 −3 −1 22 1 1 2µ¶nµ¶n2 −1cos x − sin x6. Âû÷èñëèòå à), á).3 −2sin x cos x7. Êàê èçìåíèòñÿ ïðîèçâåäåíèå AB ìàòðèö A è B , åñëèà) ïåðåñòàâèòü i-þ è j -þ ñòðîêè ìàòðèöû A?á) ê i-é ñòðîêå A ïðèáàâèòü j -þ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà c?â) ïåðåñòàâèòü i-é è j -é ñòîëáöû ìàòðèöû B ?ã) ê i-ìó ñòîëáöó B ïðèáàâèòü j -é ñòîëáåö, óìíîæåííûé íà c?Ñëåäîì êâàäðàòíîé ìàòðèöû A ∈ Mn (F ) íàçûâàåòñÿ ñóììà å¼äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ, ò.å.
tr(A) = a11 + a22 + . . . + ann .8. Ïóñòü A, B ∈ Mn(F ). Äîêàæèòå, ÷òî tr(AB) = tr(BA).1Ìàòðèöû A, B ∈ Mn (F ) ïåðåñòàíîâî÷íû, åñëè AB = BA. Ìàòðèöà âèäà αE , ãäå E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíîé.9. Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöà A ∈ Mn(F ) ïåðåñòàíîâî÷íà ñî âñåìèìàòðèöàìè èç Mn (F ), åññëè A ñêàëÿðíà.3 1 010. Íàéäèòå âñå ìàòðèöû, ïåðåñòàíîâî÷íûå ñ ìàòðèöåé 0 3 1.0 0 3µ¶a b11.
Äîêàæèòå, ÷òî ìàòðèöà A =óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåc díèþx2 − (a + d)x + ad − bc = 0.12. Äîêàæèòå, ÷òî ðàâåíñòâî AB − BA = E íå âûïîëíÿåòñÿ íèäëÿ êàêèõ ìàòðèö A, B ∈ Mn (F ).13. Íàéäèòå âñå ìàòðèöû 2-ãî ïîðÿäêà, êâàäðàòû êîòîðûõ ðàâíû åäèíè÷íîé ìàòðèöå.2.