2016.09.21_linear_spaces (Семинары с решением 2016)
Описание файла
Файл "2016.09.21_linear_spaces" внутри архива находится в следующих папках: Вышка_Семинары_с_решением_гр_16135(2016), Задания. PDF-файл из архива "Семинары с решением 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Âåêòîðíûåïðîñòðàíñòâà21 ñåíòÿáðÿ 16135 ãðóïïà•Âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî V ñ îïåðàöèÿìè ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ñëåâà íà ñêàëÿð èç F (R, C), ïðè ýòîì1.
x + (y + z) = (x + y) + z (àññîöèàòèâíîñòü)2. x + y = y + x (êîììóòàòèâíîñòü)3. ñóùåñòâóåò âåêòîð 0: x + 0 = 0 + x = x4. ñóùåñòâóåò îáðàòíûé ïî ñëîæåíèþ x′: x + x′ = x′ + x = 05. α(x + y) = αx + αy6. (α + β)x = αx + βx7. α(βx) = (αβ)x8. 1x = xÂåêòîðíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì â.ï. V íàçûâàåòñÿ íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî L òàêîå, ÷òî 1) ñóììà x+y ëþáûõ äâóõ âåêòîðîâ x, y ∈ Lè 2) ïðîèçâåäåíèå αx ëþáîãî x ∈ L è ñêàëÿðà α ïðèíàäëåæèò L.×åðåç Fn îáîçíà÷èì â.ï. âñåõ óïîðÿäî÷åííûõ n-îê ñ ÷èñëàìè èç F .ßâëÿåòñÿ ëè âåêòîðíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì ñîîòâåòñòâóþùåãî â.ï.êàæäîå èç ñëåäóþùèõ ìíîæåñòâ âñåõ âåêòîðîâ èçRn, êîîðäèíàòû êîòîðûõ öåëûå ÷èñëà;R2, êàæäûé èç êîòîðûõ ëåæèò íà îäíîé èç îñåé Ox è Oy ;R2, êîíöû êîòîðûõ ëåæàò íà äàííîé ïðÿìîé;R3, êîíöû êîòîðûõ íå ëåæàò íà äàííîé ïðÿìîé;R2, êîíöû êîòîðûõ ëåæàò â I ÷åòâåðòè ñèñòåìû êîîðäèíàò;Rn, êîîðäèíàòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþà) x1 + . .
. + xn = 0, á) x1 + . . . + xn = 1;Rn, ó êîòîðûõ ïåðâàÿ è ïîñëåäíÿÿ êîîðäèíàòû ðàâíû;Rn âèäà (α, β, α, β, α, β, . . .)?Îäíîðîäíûì ëèíåéíûì ðåêóððåíòíûì óðàâíåíèåì (ÎËÐÓ)2-ãî ïîðÿäêà äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn}∞n=0 íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå xn+2 = axn+1 + bxn, ãäå n ⩾ 0, a, b êîíñòàíòû (∈ R).Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî ðåøåíèé ÎËÐÓ 2-ãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì.1.2.3.4.5.6.7.8.9.1Ñîîòíîøåíèå âèäà s = α1x1 + α2x2 + .
. . + αnxn, ãäå αi ∈ F ,xi ∈ V , ãäå V â.ï., íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâx1, . . . , xn, à ïðî âåêòîð s ãîâîðÿò, ÷òî îí ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåçâåêòîðû x1, . . . , xn.Âåêòîðû x1, . . . , xn ëèíåéíî çàâèñèìû, åñëè ñóùåñòâóåò èõ íåòðèâèàëüíàÿ (ò.å. íå âñå αi ðàâíû íóëþ) ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ, ðàâíàÿíóëåâîìó âåêòîðó (s = 0). Èíà÷å âåêòîðû ëèíåéíî íåçàâèñèìû.Äîêàæèòå, ÷òî áóäóò ëèíåéíî çàâèñèìû ëþáûå à) äâà âåêòîðà íà ïðÿìîé, á) òðè âåêòîðà íà ïëîñêîñòè.Äîêàæèòå ëèíåéíóþ íåçàâèñèìîñòü íàä R ñèñòåì ôóíêöèé:à) sin x, cos x; á) 1, sin x, cos x; â) sin x, sin 2x, .
. . , sin nx;ã) 1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx; ä) eax, ebx, a ̸= b;å) 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx.Áàçèñîì ïðîñòðàíñòâà V íàçûâàåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, ÷åðåç êîòîðóþ ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ëþáîé âåêòîðèç V . Ðàçìåðíîñòüþ V íàçûâàåòñÿ ìîùíîñòü áàçèñà, îáîçíà÷åíèå:dim V . Ïðè dim V < ∞(= ∞) â.ï. V íàçûâàåòñÿ (áåñ)êîíå÷íîìåðíûì.Íàéäèòå êàêîé-íèáóäü áàçèñ è ðàçìåðíîñòü à) ïðîñòðàíñòâàñòðîê Rn; á) âåêòîðíîãî ïîäïðîñòðàíñòâà L â Rn, çàäàííîãî óðàâíåíèåì x1 + . .
. + xn = 0; â) ïðîñòðàíñòâà ðåøåíèé ÎËÐÓ 2-ãîïîðÿäêà.Äîêàæèòå, ÷òî âåêòîðû e1 = (1, 1, 1), e2 = (1, 1, 2), e3 =(1, 2, 3) îáðàçóþò áàçèñ R3 è íàéäèòå êîîðäèíàòû âåêòîðà x = (6, 9, 14)â ýòîì áàçèñå.Ïóñòü x1, . . . , xn âåêòîðû â.ï. V . Òîãäà L(x1, . . . , xn) = {α1x1 +α2x2+. . .+αnxn|αi ∈ R} åñòü ëèíåéíàÿ îáîëî÷êà âåêòîðîâ x1, . . . , xn.Äîêàæèòå, ÷òî ìíîæåñòâî L(x1, . . .
, xn) ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûìïîäïðîñòðàíñòâîì â V .Íàéäèòå áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ëèíåéíûõ îáîëî÷åê âåêòîðîâ:x1 = (1, 0, 0, −1), x2 = (2, 1, 1, 0), x3 = (1, 1, 1, 1), x4 =(1, 2, 3, 4), x5 = (0, 1, 2, 3).x1 = (1, 1, 1, 1, 0), x2 = (1, 1, −1, −1, −1), x3 = (2, 2, 0, 0, −1),x4 = (1, 1, 5, 5, 2), x5 = (1, −1, −1, 0, 0).10.11.12.13.14.15.16.2.
