2016.09.09_Kardano (Семинары с решением 2016)
Описание файла
Файл "2016.09.09_Kardano" внутри архива находится в следующих папках: Вышка_Семинары_с_решением_гр_16135(2016), Задания. PDF-файл из архива "Семинары с решением 2016", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
Íîâîñèáèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà àëãåáðû è ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè, 20162017ã.Ìåòîäû Êàðäàíî è Ôåððàðè9 ñåíòÿáðÿ • 16135 ãðóïïàÄîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå ay3 +by2 +cy +d = 0 ìîæíî çàìåíîéïåðåìåííûõ ñâåñòè ê óðàâíåíèþ x3 + 3px + 2q = 0.. Ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x3 + 3px + 2q = 0 íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå√√√√23−q + q + p + −q − q 2 + p3,(1)ïðè÷¼ì êîìïëåêñíûå êîðíè âûáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû èõ ïðîèçâåäåíèå ðàâíÿëîñü −p.Ðåøèòå ìåòîäîì Êàðäàíî óðàâíåíèÿ:à) x3 − 6x + 9 = 0;á) x3 + 12x + 63 = 0;â) x3 + 9x2 + 18x + 28 = 0;ã) x3 − 6x + 4 = 0;å) x3 + 6x + 2 = 0..
Øàã 1. Óðàâíåíèå x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0ïðåäñòàâèì â âèäå (*):1.Ôîðìóëà Êàðäàíî332.Ìåòîä Ôåððàðè()2 [( 2)()( 2)]aλaaλλ−+ λ − b x2 +−c x+−d= 0.x2 + x +22424Øàã 2. Ïîäáèðàåì λ òàê, ÷òîáû â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ áûë ïîë-íûé êâàäðàò. Ïîñëåäíåå âûïîëíåíî, åññëè(aλ−c2)2(−42a+λ−b4)(2λ−d4)= 0.Èùåì êîðåíü (ëþáîé!) ïîëó÷åííîãî êóáè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ íà λ.Øàã 3. Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå íà øàãå 2 λ â (*), ðàñêëàäûâàåìëåâóþ ÷àñòü íà ìíîæèòåëè ïî ôîðìóëå ðàçíîñòè êâàäðàòîâ.
Áèíãî!Ðåøèòå ìåòîäîì Ôåððàðè óðàâíåíèÿ:à) x4 − 2x3 + 2x2 + 4x − 8 = 0;á) x4 + 2x3 − 2x2 + 6x − 15 = 0;â) x4 − x3 − x2 + 2x − 2 = 0. 13..  óðàâíåíèè x3 + 3px + 2q = 0ñäåëàåì çàìåíó x = u − up , ãäå u íîâàÿ ïåðåìåíííàÿ. ÒîãäàÎáîñíîâàíèå ìåòîäà Êàðäàíî()3)(ppu−+ 3p u −+ 2quup2 p 3p23= u − 3pu + 3 − 3 + 3pu − 3 + 2quuup3= u − 3 + 2q = 0,u3ò.å. îòíîñèòåëüíî t = u3 ïîëó÷àåì êâàäðàòíîå óðàâíåíèåðåøàÿ êîòîðîå, íàõîäèìpx=u− =u{u+ − up+ ,u− − up−t2 + 2qt − p3 = 0,√3u± = t± = −q ± q 2 + p3èëè(2)= u+ + u−√=3−q +√√q2+p3+3√−q − q 2 + p3,ïîñêîëüêó ïî ôîðìóëå Âèåòà äëÿ (2) èìååì t+ · t− = −p3, à óñëîâèÿu+ · u− = −p áóäåò äîñòàòî÷íûì, ÷òîáû íàéäåííûå òðè âûðàæåíèÿáûëè ðåøåíèÿìè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ..
Âñå êîðíè (êâàäðàòíûå è êóáè÷åñêèå) ìû èçâëåêàåì êîìïëåêñíûå!. Íàñ÷¼ò âîçìîæíîãî äåëåíèÿ íà 0: íîâàÿ ïåðåìåííàÿ u îêàæåòñÿ ðàâíîé íóëþ, òîëüêî åñëè (u3 =)t = 0 êîðåíüóðàâíåíèÿ (2). Ïîñëåäíåå âîçìîæíî, åññëè p = 0.  ñëó÷àå, êîãäàp = 3, íå ñîñòàâëÿåò òðóäà è áåç ìåòîäà Êàðäàíî ðåøèòü êóáè÷åñêîåóðàâíåíèå x3 + 2q = 0.Çàìå÷àíèå 1Çàìå÷àíèå 22.