1610841784-4ddd8b6ff40e9cbd93e57c95925d7436 (2014 Лекции Колесников)

Высшая алгебраП.С. КолесниковНовосибирский государственный университетЛекции для студентов 1-го курсамеханико-математического факультета2014-2015Техническая информация:• Продолжительность курса:2 семестра• В конце каждого семестра: зачет и экзамен• Основная литература:[1] А. П. Пожидаев, С. Р. Сверчков, И. П. Шестаков.Лекции по алгебре. Ч. 1, 2. Новосибирск: НГУ, 2012.[2] Б.

Л. Ван дер Варден. Алгебра. М.: Наука, 1976.[3] А. И. Кострикин. Курс алгебры. Ч. 1–3. М.: Физ.-мат. лит.,2000.[4] А. Г. Курош. Курс высшей алгебры. СПб.: Лань, 2003.• Дополнительная литература:см. введение [1]• Сайт: http://math.nsc.ru/LBRT/a1/pavelsk/AlgebraВведение: предмет алгебрыName of the game:Мухаммед ибн Муса Аль-Хорезми (Алгоритмус)«Хисаб мухтасаб ал-джабр ва л-мукабала», IX в.н.э.(«Руководство по вычислениям посредством восполненияи противопоставления»)• Линейная алгебра• «Нелинейная» алгебра (алгебраическая геометрия)• Алгебраические системыЛинейная алгебра• Системы линейных уравнений:a11x1 + · · · + a1nxn = b1, a x + · · · + a xn = b ,21 12n2...am1x1 + · · · + amnxn = bm,– Что называть решением?– Когда есть хоть одно решение?– Сколько может быть решений?– Как найти решение?• Линейные операторы на векторных пространствах:(Например, преобразование плоскости, сохраняющее прямыелинии)– Как задать такое преобразование?– Композиция сдвига, поворота и растяжения?– Как найти коэффициент растяжения, ось и угол поворота?Алгебраическая геометрия• Решение алгебраических уравнений:anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = 0– n = 2: формула квадратного уравнения;– n = 3, 4: методы Кардано и Феррари;– Всегда имеет решение в комплексных числах («основнаятеорема алгебры»);– n ≥ 5: не решается в радикалах;• Решение систем алгебраических уравнений:– Что называть решением?y2x2+ 2 =12abэллипс,x2 y 2− 2 =12abгипербола, ...– Почему любая система сводится к конечной подсистеме(теорема Гильберта о базисе)?– Как найти решение (базисы Грёбнера)?Алгебраические системы (группы, кольца, поля, ...)• Группы– Платоновы тела (правильные многогранники):Почему нет других?– Игра «15»:Как отличить «правильную» расстановку?– Классификация типов кристаллических решеток;– Стандартная модель элементарных частиц;– ...• Кольца– Решение уравнений и систем уравнений в целых числах(диофантовы уравнения);– Теория решения алгебраических уравнений;– ...• Поля– Решения алгебраических уравнений в радикалах;– Кодирование сообщений и криптография;– ...1.

Поле комплексных чиселОбозначенияN множество натуральных чисел (1, 2, 3, . . . )Z множество целых чисел (N, 0, −1, −2, . . . )mQ множество рациональных чисел (Z и дроби вида , m ∈ Z, n ∈ N)nR множество всех вещественных чисел (все бесконечные десятичныедроби, кроме оканчивающихся на 999999 . . . )ОпределениеМножество комплексных чисел C: совокупность всех пар вида (a, b), гдеa и b — произвольные вещественные числаC = {(a, b) | a, b ∈ R}Арифметические операции над комплексными числамиСложение:(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)Умножение(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)Традиционная запись(a, b) отождествляется с a + ib (декартова/алгебраическая форма записикомплексного числа), где i = (0, 1) (мнимая единица: i2 = −1)Например,(a + ib)(c + id) = ac + a(id) + (ib)c + (ib)(id)= ac + i2(bd) + i(ad) + i(bc) = (ac − bd) + i(ad + bc)Свойства операций на комплексных числахu, v, w ∈ C• u + (v + w) = (u + v) + w ассоциативность сложения;• u + v = v + u коммутативность сложения;• u(vw) = (uv)w ассоциативность умножения;• uv = vu коммутативность умножения;• u(v + w) = uv + uw (левая) дистрибутивность;• (u + v)w = uw + vw (правая) дистрибутивность;Доказательство (например, правой дистрибутивности)u = a1 + ib1v = a2 + ib2w = a3 + ib3ai , b i ∈ R(u + v)w = (a1 + a2 + i(b1 + b2))(a3 + ib3)= (a1 + a2)a3 − (b1 + b2)b3 + i (b1 + b2)a3 + (a1 + a2)b3= (a1a3 + a2a3 − b1b3 − b2b3) + i b1a3 + b2a3 + a1b3 + a2b3С другой стороны,uw + vw = (a1 + ib1)(a3 + ib3) + (a2 + ib2)(a3 + ib3)= a1a3 − b1b3 + i(b1a3 + a1b3) + a2a3 − b2b3 + i(a2b3 + b2a3)= a1 a3 − b 1 b 3 + a2 a3 − b 2 b 3 + i b 1 a3 + a1 b 3 + a2 b 3 + b 2 a3Полученные выражения действительно совпадают.Прочие свойства доказываются аналогично (упражнение).• Существует нейтральный по сложению (нулевой) элемент 0 =0 + i0 ∈ C:u+0=0+u=uдля любого u ∈ C;• Для любого u ∈ C найдется обратный по сложению (противоположный)элемент −u ∈ C:u + (−u) = (−u) + u = 0если u = a + ib то −u = −a + i(−b);• Существует нейтральный по умножению (единичный) элемент1 = 1 + i0: для любого u ∈ Cu · 1 = 1 · u = u;• Для любого ненулевого u ∈ C найдется обратный по умножениюэлемент u−1 ∈ C:uu−1 = u−1u = 1a−b−1если u = a + ib то u= 2+i 2;a + b2a + b2Деление комплексных чисел:(a + ib)(c − id)(ac + bd) + i(bc − ad)a + ib−1= (a + ib)(c + id)==c + id(c + id)(c − id)c2 + d 2при c + id 6= 0.Совокупность установленных свойств операций + и ·:• ассоциативность и коммутативность обеих операций;• дистрибутивность;• существование нейтральных элементов (0 и 1);• существование противоположных элементов;• существование обратных к ненулевымпо определению означает, что множество C относительно этих двухопераций образует поле.Q, R и C — поляZ и N полями не являютсяГеометрическая интерпретация комплексных чиселw = (a, b) = a + ib ∈ C — точка на плоскости Oxyс координатами x = a, y = ba = Re w вещественная часть;b = Im w мнимая часть;Тригонометрическая форма записи комплексного числаr > 0, 0 ≤ ϕ < 2πr=qa2 + b2 = |w| модуль;ϕ = arg w аргумент (определен при w 6= 0),arg w =a,arccos qa2 + b 2aq,2π − arccosa2 + b 2b ≥ 0,b < 0.a = r cos ϕb = r sin ϕw = r(cos ϕ + i sin ϕ)(r > 0, 0 ≤ ϕ < 2π)Геометрическая интерпретация сложения комплексных чиселГеометрическая интерпретация умножения комплексных чиселТеорема 1.

Пусть z, w ∈ C, z 6= 0, w 6= 0. Тогда|zw| = |z||w|,arg(zw) = arg z + arg w − 2πk (при k = 0 или k = 1)Доказательство|z| = r,arg z = ϕ,|w| = ρ,arg w = ψzw = r(cos ϕ + i sin ϕ)ρ(cos ψ + i sin ψ)= rρ(cos ϕ + i sin ϕ)(cos ψ + i sin ψ)= rρ cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ + i(cos ψ sin ϕ + cos ϕ sin ψ)= rρ cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)Следовательно,|zw| = rρ,)cos arg(zw) = cos(ϕ + ψ)sin arg(zw) = sin(ϕ + ψ)⇒ arg(zw) = ϕ + ψ − 2πk.Если ϕ + ψ < 2π, то k = 0, иначе — k = 1.Следствие. Пусть w ∈ C, w 6= 0. Тогда|w−1| = 1/|w|,arg(w−1) =Доказательство. Для модуля:0,2π − arg w,arg w = 0 (w ∈ R, w > 0);arg w 6= 0.ww−1 = 1 ⇒ |w||w−1| = |1| = 1 ⇒ |w−1| = 1/|w|Для аргумента:При arg w = 0 утверждение очевидно.Пусть arg w > 0.ww−1 = 1 ⇒ arg(ww−1) = arg 1 = 0,по теореме 1arg(ww−1) = arg w + arg w−1 − 2πk = 0при некотором k = 0 или k = 1.Оба аргумента меньше 2π — их сумма меньше 4π:0 < arg w + arg w−1 = 2πk < 4π ⇒ k = 1arg w + arg w−1 = 2πчто и требовалось.Следствие (формула Муавра).Для любого w ∈ C и для любого n ∈ Nnnw = |w| cos(n arg w) + i sin(n arg w)Доказательство.Применить теорему 1 n раз.Упражнение.

Показать, что формула Муавра верна также и дляотрицательных n ∈ Z.1. Поле комплексных чисел (продолжение)C = {(a, b) | a, b ∈ R}(a, b) = a + ib,i2 = −1Извлечение корня из комплексного числаОбозначение: для w ∈ C, n ∈ N положим√nw = {x ∈ C | xn = w}√n0 = {0}Теорема 2.Пусть w ∈ C, w 6= 0. Тогда для любого n ∈ N√множество n w содержит ровно n элементов(т.е. уравнение xn = w имеет ровно n решений в C).Доказательство. Пусть |w| = r, arg w = ϕ,w = r(cos ϕ + i sin ϕ),r > 0, 0 ≤ ϕ < 2π.Ищем x: xn = wв тригонометрической форме (ясно, что x 6= 0)x = |x|(cos χ + i sin χ)По формуле Муавраxn = |x|n(cos nχ + i sin nχ).|x|n(cos nχ + i sin nχ) = xn = w = r(cos ϕ + i sin ϕ)Следовательно,|x|n = r,cos nχ = cos ϕ,sin nχ = sin ϕОтсюда|x| = r 1/n,nχ = ϕ + 2πk, k ∈ Zχ=ϕ + 2πkn(?) Сколько различных таких χ лежит в интервале [0, 2π)?(!) Ровно n:ϕ2π0 ≤ ϕ < 2π ⇒ 0 ≤ <nnТогда при k = 0, 1 .

. . , n − 1 имеемϕ + 2πk2π2π(n − 1)<+= 2π,nnnϕ + 2πkвыпадает из интервала [0, 2π).а при k < 0 или k > n − 1 число χ =n0≤Значит, решений ровно n и найти их все можно по формулеϕ + 2πknвыбирая любые n последовательных целых чисел k(обычно k = 0, 1, . .

. , n − 1)x = r 1/n(cos χ + i sin χ),χ=Геометрическая интерпретация корня:√Точки множества n w являются вершинами правильного n-угольникана комплексной плоскости с центром в O, вписанного в окружностьрадиуса |w|1/n.Пример. Вычислитьs31−i.1+iВычислим1−i(1 − i)21 − 1 + i(−1 − 1)=== −i1+i22Запишем в тригонометрической форме: | − i| = 1, arg(−i) = 3π/2,−i = cos(3π/2) + i sin(3π/2)Согласно теореме 2,имеет вид√3−i состоит из трех элементов, каждый из которыхx = cos χ + i sin χ,χ=3π/2 + 2πk,3k = 0, 1, 2x = cos χ + i sin χ,k=0:k=1:k=2:χ=3π/2 + 2πk,3k = 0, 1, 23π/2= π/2 ⇒ x = i;3√13π/2 + 2π3= 7π/6 ⇒ x = −−i ;χ=32√23π/2 + 4π31χ== 11π/6 ⇒ x =−i322χ=Следовательно,s31−i=1+i√3(−i = i, −√31−i ,22√31−i22)Комплексное сопряжение:w = a + ib 7→ w̄ = a − ib,a, b ∈ RУпражнения.• Покажите, что ww̄ = |w|2 для любого w ∈ C;• Покажите, что w+w̄ = 2Re w и w−w̄ = 2Im w для любого w ∈ C;√2+i• Докажите, чтоне лежит в n 1 ни для какого n ∈ N.2−i2.

Решение систем линейных уравненийметодом ГауссаОсновные понятияСистема из m линейных уравнений с n неизвестными:a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1, a x + a x + · · · + a xn = b ,21 122 22n2...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bmaij — коэффициенты системыbj — свободные членыxi — неизвестныеСчитаем, что aij и bj — известные элементы некоторого поля F(F = Q, R, C, . . . )(∗)Система (∗) называется однородной, если bi = 0 для всех i = 1, .

. . , m(иначе — неоднородной).Система (∗) называется тривиальной, если aij = bi = 0для всех i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n(иначе — нетривиальной).Набор элементов (c1, . . . , cn), ci ∈ F , называется решением системы (∗)если при подстановке xi = ci все уравнения системы оказываютсявыполнены.Множество решений непусто = система совместна(иначе — несовместна).Задача: решить систему = найти множество всех решенийДве системы с n неизвестными эквивалентны,если их множества решений совпадают.Пример.

Следующие системы эквивалентны:(x1 + x2 = 2,x1 − x2 = 0(x1 + 2x2 = 3,2x1 − x2 = 1Упражнение. Эквивалентны ли следующие системы:x + x2 + x3 = 3, 1x1 − x2 + x3 = 1,x1 + x3 = 0(x1 + x2 + x3 = 1,− x1 − x2 − x3 = 0Элементарные преобразования систем линейных уравнений(1)a x + · · · + a1nxn = b1, 11 1...am1x1 + · · · + amnxn = bm(2) ′′ x = b′ ,x+···+aa111n n 11... ′am1x1 + · · · + a′mnxn = b′mI типа: Переставить местами i-е и j-е уравнения (i 6= j);II типа: Прибавить к i-му уравнению j-е (i 6= j), умноженное на константуα ∈ F:+(ai1x1 + · · · + ainxn = biaj1x1 + · · · + ajnxn = bj | × α(ai1 + αaj1)x1 + · · · + (ain + αajn)xn = bi + αbj(!) при таком преобразовании меняется i-е уравнение,j-е остается неизменнымВместо систем линейных уравнений рассмотрим их матрицы.Определение.Пусть F — некоторое поле.