1610841717-9c24e46dbf04e3bde7cb68f9a60e4fa3 (Краткий конспект для экзамена)

АлгебраТема 1:Комплексные числаОпределение комплексных чисел:(a,b) — По Декартуa+bi — алгебраическая форма, где i^2=-1r*(cos(p)+i*(sin(p)) — тригонометрическая форма, здесь r =a^2+b^2 (модуль числа), p — уголмежду осью oX и числом, r>0, 0<=p<2pi cos(p)=a/a^2+b^2Операции над комплексными числамиСложение: (a,b)+(c,d) → (a+c)+(b+d)iУмножение: (a,b)*(c,d)=ac-bd+(ad+bc)iДеление:(a,b)/(c,d)=((a+bi)*(c-di))/c^2+d^2Теорема 1.1 (О произведении комплексных чисел):Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме = модули перемножаются,аргументы складываютсяДоказательство:r(cos(p)+i(sin(p))*w(cos(g)+i*sin(g))=zw(cos(p)cos(g)-sin(g)sin(p)+i(cos(p)sin(g)+cos(g)(sin(p))=zw(cos(p+g)+i(sin(p+g))Следствие 1.1.1 модуль z^-1=1/zarg(z^-1)=0 если arg(z)=0 и 2pi-p в противном случаеСледствие 1.1.2 (Формула Муавра)z^n=r^n(cos(np)+i*sin(np))Следствие из Формулы Муавраz^1/n=r^1/n(cos(p+2pi*k/n)+i(sin(p+2pi*k/n)) имеет n решений.(Поскольку cos(p)=cos(p+2pi*k) то cos(np)=cos(n*(p+2pi*k), но ввиду того что при делении на nможно получить n различных остатков мы получим n различных решений, поскольку далее онибудут совпадать).(Геометрически корни n степени из комплексного числа формируют правильный n-угольник наокружности радиуса r)Комплексное сопряженные числа: z=a+bi; ẑ=a-biОсновная теорема алгебры:Уравнение n степени имеет n решений в комплексных числах.Примеры: Найти cos 2pi/5, посчитав корень 5 степени из 1Заметим что сумма всех корней 5 степени представляется по углу как 0, x, 2x, 3x, 4x… Такжезаметим что cos(5x)=cos(0)=1 Тогда представим их сумму как 1+x+x^2+x^3+x^4=SНо если мы домножим на x (повернем на угол x) то мы получим то же самое так как x^5 =1.Из этого заключаем что S=0Таким образом можно получить что 1+x+x^2+x^3+x^4=0Но так как x...x^4 — комплексные числа, то они сопряженны друг другу.

Иными словамиx^2=x^3 и x=x^4 тогда пусть x=cos(2pi/5), y=cos(4pi/5)=x^2 но так-как y=2x^2-1 то получимквадратное уравнение относительно x: 2x+2(2x^2-1)+1=0 которое очевидно легко решается.Представить cos(nx) или sin(nx) в виде комбинации sin(x) и cos(x)Заметим что cos(nx) это ничто иное как Re[r^n(cos(nx)+i(sin(nx)], а sin — мнимая часть этого жевыражения, для удобства взяв r=1 можно раскрыть скобки и выделить действительную(мнимую) часть.Тема 2:Начало алгебры матрицОпределение 2.1Пусть F — непустое множество.Тогда Матрица размера mxn — прямоугольная таблица, состоящая из элементов F.M m,n (F) — множество всех матриц размера mxn надо полем FОперации сложения и умножения на скаляр действуют поэлементно.Умножение матриц происходит по принципу «Строка на столбец»Определение 2.2Транспонирование матриц Аt — строки и столбцы меняются местами.Свойства транспонирования:1)Att=A2) (A+B)t=At+Bt3)(aAt)=a(At)Определение 2.3Символ Кронекера (обозначается δ) на элементе с индексами i,j=1 если i=j и 0 если i≠jОпределение 2.4e(i,j) — Матрица в которой на месте i,j стоит единица, в остальных местах стоит 0.Матричные единицы ≠ Единичные матрицыТеорема 2.1 (О единичных матрицах и символе Кронекера):e(i,j)*e(k,p)=δ(j,k)*e(i,p)Доказательство:Заметим, что перемножая матрицы в левой части равенства мы однозначно получим нули везде,кроме (возможно) случая умножения i-ой строки на p-ый столбец.

Однако, ввиду определенияумножения матриц нам нужно чтобы j совпадало с k (так как в противном случае мы будемумножать на 0) таким образом мы будем иметь 0 если j≠k и e(i,p) в противном случае. Но именноэто и выражается равенством вышеюСледствие 2.1:Пусть А - матрицаe(i,j)*A — Ряд j матрицы А будет находиться на i ряду.Определение 2.5Элементарные преобразования матриц:Элементарным преобразованием называется умножение на т.н элементарные матрицы:I типа: перестановка строк местами (S(i,j))II Типа: трансвекция (прибавление к i строке j строки умноженной на а) (Tij(a))Определение 2.6 Ступенчатый вид матриц — матрица такого вида, что в т. н.

Ступенькахстоят ненулевые числа, а под ступеньками — нулиФормально: Матрица mxn называется ступенчатой если существуют такие целые числа r,k1,k2..kr1)1<=r<=m2)1<=k1<k2<...<kr<=n3)если i>r то при всех j c(i,j)=04)если i<=r то c(i,j)=0 для j<ki но при c(i,kj)≠0Пример:[3,4,50270 0 6] — cтупенчатая матрицаТеорема 2.2 (О приведении к ступенчатому виду)Любая матрица может быть приведена к ступенчатому виду преобразованиями I и II типаДоказательство:Докажем это утверждение методом математической индукции: по m — количеству строк вматрице MПри m = 1 матрица уже в ступенчатом виде.Пусть утверждение верно для m-1Докажем для m:Если в М есть хоть одна полностью нулевая строка с индексом i то с помощью S(i,m) перенесемее в самый низ.

По предположению индукции мы можем привести оставшуюся матрицу кступенчатому виду.Пусть тогда ни одна строка нулевой не является. Тогда в каждой строке выберем самый левыйненулевой элемент.Потом выберем самый минимальный из них, обозначим строку в которой он находится i. Затемприменяя преобразование I типа поставим i строку на первое место..

Обозначим полученнуюматрицу M`. Затем для каждой строки с 2 по n-ую выполним следующее: превратим в нули спомощью преобразований второго типа от всех элементов под j элементом (самым левымэлементом 1 строки). Если k=n, то алгоритм завершился (k — последняя строка). Иначерассмотрим матрицу (m-1)x(n-k) и мы можем, по предположению индукции привести ее кступенчатому виду.Так или иначе получаем, что исходная матрица приведена к ступенчатому видуСледствие 2.2:Для любой ненулевой матрицы А найдутся такие элементарные матрицы T1,T2...Tk иступенчатая матрица C, что A=T1*T2*T3...*Tk*CДоказательство:Так как умножение на элементарную матрицу слева это элементарное преобразование строк.Таким образом цепочка элементарных матриц: последовательное умножение на элементарныематрицы. По Теореме 2.2 T`*T1`*T2`...T`n*A=CТеперь докажем следующую лемму:Лемма 2.1 (О обратимости элементарных матриц)Любая элементарная матрица обратимаДоказательство:Заметим что S(i,j)*S(i,j)=E (Мы просто поменяли исходные строки местами двараза)Также Tij(a)*Tij(-a)=E (Прибавляем и отнимаем одну и ту же строчку умноженнуюна одну и ту же строчку).Таким образом мы получаем требуемое утверждение.Таким образом последовательно умножая обе части выражения на обратные матрицы T1..Tk мыполучаем требуемое условие (при умножении обратные матрицы слева уничтожаются, справа жеостаются)Теорема 2.3 (О приведении к диагональной матрице)Любая ненулевая матрица А может быть приведена к виду T1*T2..Tn*D*R1...Rkгде D — диагональная матрица, T1...Tk — элем.

п. строк, R1..Rk — элем. п. СтолбцовДоказательство:По теореме 2.2 мы знаем что можем привести любую ненулевую матрицу к ступенчатому виду,получив матрицу С.Переставим столбцы таким образом, чтобы на главной диагонали оказались ненулевыеэлементы, над ними произвольные числа, а под ними — нули.Затем транспонируем матрицу (главная диагональ не изменится, а элементы находившиеся надней перейдут вниз). Приводим получившуюся C` к ступенчатому виду, тем самым получаяматрицу Dt.Имеем что для некоторых P`*P2`..Pn`*Ct=DtТранспонируя получаем С*P`t*P2`t*..Pn`t=DНо по Теореме 2.2 T1`*T2`*..Tn`*A=CТаким образом получаем что T1`*T2`*..Tn`*A*P`t*..P`n=DИ обратив матрицы (по лемме 2.1) Получаем что A=T1*T2..*TnD*R1..Rnб что и требовалосьдоказать.Следствие 2.3:Любая ненулевая матрица может быть представлена в виде T*D*R где T и R — произведениеэлементарных матриц T1,T2..Tn и R1,R2..Rn соответственно и T и R обратимы.Доказательство:Поскольку каждая матрица составляющая T и R обратима (по лемме 2.1) то и Матрицы T и Rобратимы (Для них можно попросту подобрать матрицы вида T`n*..T`1 и R`n*..R`1, где G`i —обратная к матрице Gn).Систему линейных уравнений с помощью представлений матриц Можно представить в видеAX=B где А — матрица коэффицентов, X — вектор переменных, а B — вектор свободныхкоэффицентов.Метод Гаусса: Последовательное исключение переменных для сведения матрицы к матрицетреугольного вида, из которой затем выражаются решения:Матрица треугольного вида: (a(1,1)*x1+a(1,2)x2+a(1,3)x3..+a(1,n)xn=b1a(2,2)x2+a(2,3)x3+..a(2,n)xn=b2…a(n,m)xn=bn)Notes:1)Любую строку можно умножить на какое то число.2)В с.л.у.

в целом нельзя применять преобразования со столбцами (можно, но редко имеетсмысл).После приведения к ступенчатому виду можно (и нужно) выразить переменные через другиепеременныеПример:Тема 3Векторные пространства (а также линейные отображения и матрицы)Определение 3.1Пусть F — произвольное поле.

Непустое множество V, на котором заданы операции сложения иумножения на элементы поля F и удовлетворяющее заданным аксиомам называется Векторнымпространством над полем F.(Элементы V называются векторами, а F - скалярами)Аксиомы Векторного пространства:1)Относительно сложения V — абелева группа.2)умножение на скаляр дистрибутивно.3)умножение на скаляр ассоциативно.4)умножение на «единицу» поля по умножению дает тот же элемент V.Простейшие свойства векторного пространства:1)Нулевой вектор единственен.2)Для любого u из V есть противоположный -u.3)-(-v)=v для любого v из V4)a*0=0 a из F5)0*v=0 0 из F v из V6)если a*v=0 и а из F v из V то либо а=0 либо v = 07)(-1)v=-v v из V8)-(av)=-av для а из F и v из V(Доказываются почти аналогично подобным свойствам полей (См.