1610841717-6230c00e00b52a8ec161c3cc2cf13c9e (Билеты Колесников 2017)

Вопросы к экзамену по курсу «Высшая алгебра»1-й семестр 2017-18 гг(1) Комплексные числа: операции сложения, умножения и деления комплексныхчисел в декартовой форме и их свойства.(2) Модуль и аргумент комплексного числа, тригонометрическая форма записи.Геометрическая интерпретация операций сложения и умножения комплексныхчисел.(3) Формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа.(4) Элементарные преобразования систем линейных уравнений и строк матрицы.Эквивалентность систем линейных уравнений.(5) Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиямистрок.(6) Алгоритм решения системы линейных уравнений: определение совместности ипоиск общего решения.(7) Операции сложения матриц и умножение матрицы на скаляр: определение исвойства.(8) Умножение матриц: определение и основные свойства.(9) Единичная матрица и матричные единицы.

Реализация элементарныхпреобразований строк через умножение матриц.(10) Определение и примеры векторных пространств. Простейшие свойства операцийна векторных пространствах.(11) Понятие подпространства векторного пространства.(12) Линейная независимость набора векторов. Определение базиса векторногопространства.(13) Существование базиса у любого конечномерного пространства, понятиеразмерности. Координаты вектора в данном базисе.(14) Линейные отображения векторных пространств, понятие изоморфизмавекторных пространств.(15) Простейшие свойства линейных отображений и их суперпозиции. Изоморфизмвекторных пространств одной размерности.(16) Сумма и пересечение подпространств, связь размерностей суммы и пересечения.(17) Прямая сумма подпространств: эквивалентные определения.(18) Образ и ядро линейного отображения, связь их размерностей.(19) Множество Hom(V, W ) и операции на нем.(20) Изоморфизм пространства линейных отображений и пространства матриц.(21) Матрица линейного отображения.

Связь суперпозиции линейных отображений ипроизведения матриц.(22) Равенство горизонтального и вертикального рангов матрицы, рангтранспонированной матрицы.(23) Ранг матрицы как размерность образа соответствующего линейногоотображения.(24) Ранг произведения матриц.(25) Обратимые матрицы размера n × n, обратная матрица.(26) Размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений,фундаментальная система решений.(27) Множество решений неоднородной системы линейных уравнений.(28) Теорема Кронекера — Капелли.(29) Полилинейные отображения.

Определитель как полилинейнаякососимметрическая нормированная функция строк матрицы.(30) Теорема о существовании определителя.(31) Теорема о единственности определителя.(32) Определитель распавшейся матрицы. Вырожденные и невырожденные матрицы.(33) Определитель транспонированной матрицы.(34) Разложение определителя по строке или столбцу.(35)(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)(57)(58)(59)(60)(61)Определитель произведения матриц.Присоединенная матрица, формулы Крамера.Базисный минор матрицы, ранг матрицы как порядок базисного минора.Теорема об окаймляющем миноре.Алгебраические операции и алгебраические системы.

Векторное пространствокак алгебраическая система.Полугруппы: определение и примеры. Полугруппа слов в алфавите X.Гомоморфизмы алгебраических систем. Теорема об обобщеннойассоциативности.Определение, примеры и простейшие свойства групп.Общая линейная группа, специальная линейная группа, ортогональная группа.Подгруппы. Понятие подгруппы, порожденной множеством.Циклические группы, порядок элемента в группе.Классификация циклических групп.Группа подстановок.Линейное представление группы подстановок. Четные и нечетные подстановки.Разложение подстановки на независимые циклы, декремент подстановки.Формула полного раскрытия определителя квадратной матрицы.Теорема Кэли о конечных группах.Смежные классы по подгруппе, теорема Лагранжа.Нормальные подгруппы и фактор-группы.Теорема о гомоморфизмах для групп.Определение ассоциативного кольца.

Кольцо с делением (тело), поле.Кольца матриц, формальных степенных рядов и многочленов.Идеалы и фактор-кольца.Теорема о гомоморфизмах для колец, кольца вычетов целых чисел.Максимальные идеалы и поля вычетов. Поле Zp .Теорема о простом подполе.Поле частных целостного кольца. Ряды Лорана..