1610840900-6b427cf5bfcd0cc0b9a85ea758232dac (Какие-то задачи с решением), страница 6

Следовательно, должны выполняться следующиеравенства: 6 A − 2 B − 3C = λ A, − 2 A + 3B − 6C = λ B, − 3 A − 6B − 2C = λ C, A + 4B + 5C + D = λ D.Первые три строки полученной системы представляют собой систему трех однородныхуравнений с тремя неизвестными, которая имеет ненулевое решение тогда и только тогда,когда определитель этой системы равен нулю. Имеем:6 −λ−2−3−23 −λ−6−3−6 = 0−2 −λ⇔ (λ + 7)(λ − 7) 2 = 0⇔ λ = −7, λ = 7.В случае λ = −7 имеем A =1, B = 2, C = 3, D = −3 и уравнение плоскости имеет видx + 2 y + 3z − 3 = 0 . В случае λ = 7 имеем: A + 2B + 3C = 0, A + 4B + 5C − 6D = 0.Из первого уравнения полученной системы следует, что все такие плоскости параллельнывектору {1,2,3} . Выразив теперь из второго уравнения системы переменную D иподставив в уравнение плоскости, получим:Ax + By + Cz +A + 4 B + 5C=0 ⇔6A( x + 16 ) + B( y + 23 ) + C ( z + 56 ) = 0,т.е. все инвариантные плоскости, соответствующие собственному значению λ = 7 ,проходят через точку(− 16 ,− 23 ,− 56 ) .

Таким образом, инвариантными являются всеплоскости, проходящие через прямуюx + 16 y + 23 z + 56.==123Ответ: Инвариантная точка( 13 , 13 , 23 ) ; инвариантные прямые: прямаяx − 13 y − 13 z − 23==123и все прямые, проходящие через точкуx + 2 y + 3z − 3 = 0 ; инвариантные( 13 , 13 , 23 )и лежащие в плоскостиплоскости: плоскость x + 2 y + 3z − 3 = 0 и все плоскости,проходящие через прямуюx + 16 y + 23 z + 56.==123Задача 44Дано изометрическое преобразование x′ = 54 x − 53 y + 6, 3 4 y′ = − 5 x − 5 y − 12.Найти ось симметрии и вектор переноса вдоль оси симметрии. Найти канонический видданного преобразования.Решение.

Данное преобразование является изометрическим преобразованием сопределителем4 5−3 5−3 5−4 5=−1 ,т.е. несобственным преобразованием. Любое несобственное изометрическоепреобразование плоскости есть скользящая симметрия, т.е. композиция симметрииотносительно оси и параллельного переноса на вектор, параллельный этой оси.Направляющий вектор оси симметрии будем искать как собственный вектор,соответствующий собственному значению λ = 1 :− 3 5  α   0  4 5 −1  =   ⇔ α + 3β = 0 ⇔ {α , β } = {3,−1} . − 3 5 − 4 5 − 1 β   0 Вектор сдвига вдоль оси симметрии будем искать следующим образом. Возьмемпроизвольную точку, например точку O с координатами O = (0,0) . Образ O′ точки Oпри данном преобразовании будет иметь координаты O′ = (6,−12) .

Ортогональнаяпроекция b вектора OO′ = {6,−12} на ось с направляющим вектором a ={3,−1} и будетискомым вектором сдвига. Найдем эту проекцию:(OO′, a)b=⋅ a = {9,−3} (рис. 80).| a |2Найдем какую-либо точку на оси симметрии. Пусть M 0 ( x0 , y0 ) − эта точка. Образ M 0′точки M 0 будет иметь координаты x0′ = 54 x0 − 53 y0 + 6, 3 4 y0′ = − 5 x0 − 5 y0 − 12.С другой, стороны, M 0 M 0′ = b , следовательно, M 0′ = ( x0 + 9, y0 − 3) . Имеем x + 9 = x − y + 6, 3 4 ⇔ x0 + 3y0 + 15 = 0 y0 − 3 −= 5 x0 − 5 y0 − 124 30 50 50.Значит, любая точка, лежащая на прямой x + 3 y +15 = 0 , лежит на оси симметрии, иуравнение оси симметрии есть x + 3 y +15 = 0 .

Выбрав прямоугольную систему координаттаким образом, что начало этой системы координат лежит на оси симметрии, первыйбазисный вектор параллелен этой оси, а второй ей перпендикулярен, получимканонический вид данного преобразования: x′ * = x* + 3 10,* * y′ = − y .Здесь число3 10есть длина вектора b .Ответ: Вектор переноса вдоль оси симметрии {9,−3} . Уравнение оси симметрииx + 3 y +15 = 0 . Каноническая запись преобразования x′ * = x* + 3 10,* * y′ = − y ..