1610840900-6b427cf5bfcd0cc0b9a85ea758232dac (Какие-то задачи с решением), страница 5

Найдем ортогональныеинварианты:S = 4,δ=2112= 3,2∆= 1−3 212−3 2−3 23−3 2 = −45 4.Так как δ > 0 , а S∆ < 0 , то данное уравнение и в самом деле определяет действительныйэллипс. Центр этого эллипса находим из системы уравнений 2x + y =− 0,  x = , 3 ⇔1x 0 + 2y0 2 =− 0  y0 = 2.30 02Координатуz102получаем из уравнения плоскости z = 3 − 2 x − 2 y =1 .

Итак, точкаO = ( 12 , 12 ,1) есть искомый центр линии пересечения плоскости и эллипсоида.Второй способ. Введем на плоскости аффинную систему координат O (0,0,3) ,e1 ={1,−1,0} , e2 ={1,0,−2} и напишем параметрические уравнения этой плоскости: x = u + v, y = − u, z = 3 − 2v.Подставив полученные выражения для переменных x, y, z в уравнение эллипсоида,получим уравнение линии пересечения этого эллипсоида с плоскостью в координатах(u , v ) :(u + v) 2 + u 2 +(3 − 2v) 25= 1 ⇔ 2u 2 + 2uv + 2v 2 − 3v + = 0 .44Найдем ортогональные инварианты:S = 4,δ=211= 3,22∆= 1012−3 203−3 2 = − .45 4Так как δ > 0 , а S∆ < 0 , то данное уравнение и в самом деле определяет действительныйэллипс.

Центр этого эллипса находим из системы уравнений2 u v =+ 0,  u = − 12, 3 ⇔u + 2v 2 =− 0  v = 1.Подставив найденные значения u, v в параметрические уравнения плоскости, найдемкоординаты x, y, z центра эллипса:Ответ:x = 12 , y = 12 , z = 1 .( 12 , 12 ,1) .Задача 38Написать уравнение плоскости, проходящей через прямуюx −2 y −3 z −2==2−10и касающейся эллипсоидаx2 y2 z 2++=1.16 12 4Решение.

Пусть M ( x0 , y0 , z0 ) − точка касания искомой плоскости с эллипсоидом.Уравнение касательной плоскости, проведенной к данному эллипсоиду в точке M , имеетвидx0yz( x − x0 ) + 0 ( y − y0 ) + 0 ( z − z0 ) = 0 ⇔161242xx0 yy0 zz0 x0 y02 z02⇔++= ++ = 1,16 124 16 12 4так как точка M принадлежит эллипсоиду. Кроме того, эта плоскость проходит черезпрямуюx −2 y −3 z −2==,2−10что означает, что точка ( 2,3,2) принадлежит плоскости, а вектор {2,−1,0} параллеленплоскости.

Имеем систему уравнений 2x0 3y0 2z0 16 + 12 + 4 = 1, x0 = 0,  x0 = 2, 2x0 y0   − = 0, ⇔  y0 = 0, или  y0 = 3, 16 12  z = 2  z = 0.2 2 2 0 0 x0 y0 z0 + + =1 1 6 12 4В первом случае получаем плоскость z − 2 = 0 , во втором − плоскость x + 2 y − 8 = 0 .Ответ: z − 2 = 0 , x + 2 y − 8 = 0 .Задача 39Дан гиперболический параболоидx2 y 2−= 2z28и плоскость2x + 3y − z = 0 .Написать уравнение плоскости, параллельной данной и пересекающей параболоид по парепрямых; найти эти прямые.Решение. Первый способ. Запишем уравнение искомой плоскости в виде2 x + 3 y − z + D = 0 . Рассмотрим следующую систему уравнений22x y − = 2 z,2 8 2x + 3 y − z + D = 0.Эта система определяет множество точек пересечения параболоида и плоскости.

Выразивиз второго уравнения переменную z и подставив в первое уравнение, получим z = 2 x + 3 y + D, 2 2x y − = 2(2 x + 3 y + D).2 8Согласно условию задачи последнее уравнение должно определять на плоскости z = 0пару прямых, преобразуем это уравнение:4 x 2 − y 2 − 32 x − 48 y − 16 D = 0⇔ 4( x − 4) 2 − ( y + 24) 2 = 16 D − 512.Ясно, что выражение, стоящее в правой части должно быть равно нулю, т.е. D = 32 .Уравнение искомой плоскости при этом будет иметь вид 2 x + 3 y − z + 32 = 0 .Найдем прямые пересечения параболоида и плоскости: 2x+ 3y z+− 32= 0,  2x+ 3y z+− 32= 0,⇔ 2 2 ⇔ 4(x− 4) − (y+ 4)2 = 0  (2x y−− 32)(2x y++ 6)1 = 0 2x+ 3y z+− 32= 0,  2x+ 3y z+− 32= 0, и 2x y−− 32= 0  2x y++ 16= 0.Второй способ.

Плоскость, пересекающая параболоид по паре прямых, являетсякасательной плоскостью к параболоиду. Пусть M ( x0 , y0 , z0 ) − точка касания искомойплоскости с параболоидом. Уравнение касательной плоскости, проведенной к данномупараболоиду в точке M , имеет видx0y( x − x0 ) − 0 ( y − y0 ) − ( z − z0 ) = 0 ⇔28xx0 yy0x02 y02xx0 yy0−− ( z − z0 ) =−= 2 z0 ⇔−− z − z0 = 0 ,282828так как точка M принадлежит параболоиду. Так как эта плоскость параллельнаплоскости2 x + 3 y − z = 0 , получаем систему уравнений x0 2 = ,2 y0 −= 3, ⇔8 x02 y02 − = 2 z02 8 x0 = 4, y0 −= 24, z −= 32.0Уравнение касательной плоскости при этом будет иметь вид 2 x + 3 y − z + 32 = 0 .Ответ: 2 x + 3 y − z + 32 = 0 , 2x+ 3y z+− 32= 0,  2x+ 3y z+− 32= 0, и 2x y−− 32= 0  2x y++ 16= 0.Задача 40Найти инвариантные точки и инвариантные прямые аффинного преобразования x′ = 7 x − y + 1, y′ = 4x + 2 y + 4.Система координат аффинная.Решение.

Инвариантные точки находим из системы уравнений x = 7x y+− 1,  x = − , ⇔ y = 4x+ 2y+ 4  y = − 2.12Для нахождения инвариантных прямых найдем собственные значения и собственныевекторы преобразования. Собственные значения находятся из уравнения7 −λ−142 −λ=0⇔ λ2 − 9λ +18 = 0⇔ λ1 = 3, λ2 = 6.Координаты {α , β } собственного вектора, соответствующего значению λ1 = 3 , находим изуравнения 4 − 1  α   0    =   ⇔ {α , β } = {1,4} . 4 − 1  β   0 Инвариантная прямая будет проходить через неподвижную точку в направлениисобственного вектора, т.е. ее уравнение будет иметь видx + 12 y + 2=⇔ 4 x − y = 0.14Координаты собственного вектора, соответствующего значению λ1 = 6 , находим изуравнения 1 − 1  α   0    =   ⇔ {α , β } = {1,1} . 4 − 4  β  0Уравнение инвариантной прямой при этом будет иметь видx + 12 y + 2=⇔ 2 x − 2 y − 3 = 0.11Ответ: Инвариантная точка(− 12 ,− 2) , инвариантные прямые 4 x − y = 0 и2 x − 2 y −3 = 0 .Задача 41Найти инвариантные точки и инвариантные прямые аффинного преобразования x′ = 135 x + 45 y − 85 , 4 7 4 y′ = 5 x + 5 y − 5 .Система координат прямоугольная.Решение.

Инвариантные точки находим из системы уравнений x = x+ y− ,  2x y 2=−+ 0, 474⇔y = 5 x+ 5 y− 5  2x y 2=−+ 0,13 4 8555т.е инвариантными являются все точки прямой 2 x + y − 2 = 0 . Собственные значениянаходятся из уравнения13 5 − λ4 54 57 5 −λ=0⇔ λ2 − 4λ + 3 = 0⇔ λ1 = 1, λ2 = 3.Координаты собственного вектора, соответствующего значению λ1 =1 , находим изуравнения 8 5 4 5  α   0    =   ⇔ {α , β } = {1,−2}. 4 5 2 5  β  0Мы получили направляющий вектор прямой 2 x + y − 2 = 0 , состоящей из инвариантныхточек. Ясно, что эта прямая является инвариантной по отношению к данному аффинномупреобразованию.

Координаты собственного вектора, соответствующего значению λ1 = 3 ,находим из уравнения − 2 5 4 5  α   0    =   ⇔ {α , β } = {2,1}. 4 5 − 8 5  β  0Это вектор нормали к уже полученной нами прямой. Таким образом, все прямые,перпендикулярные прямой 2 x + y − 2 = 0 , также являются инвариантными по отношениюк данному аффинному преобразованию.Ответ: Инвариантными точками являются все точки прямой 2 x + y − 2 = 0 и только этиточки. Инвариантные прямые: прямая 2 x + y − 2 = 0 и все прямые, перпендикулярные кней.Задача 42Найти инвариантные точки, прямые и плоскости аффинного преобразования x′ = 2 x + y + 1 = 0, y′ = 2 y + z + 2 = 0, z ′ = 2 z + 3.Система координат аффинная.Решение. Инвариантные точки находим из системы уравнений x = 2x + y + 1= 0, y = 2y + z + 2 = 0, ⇔ z = 2z + 3 x −= 2, y = 1, z −= 3.Собственные значения находим из уравнения2 −λ0012 −λ001 =02 −λ⇔ ( 2 − λ)3 = 0⇔ λ = 2.Собственный вектор, соответствующий полученному собственному значению, находим изуравнения 0 1 0  α   0     0 0 1   β  =  0  ⇔ {α , β , γ } = {1,0,0} .0 0 0  γ  0   Значит, уравнение инвариантной прямой будет иметь видx + 2 y −1 z + 3==.100Пусть теперь Ax + By + Cz + D − инвариантная плоскость данного аффинногопреобразования.

Прообраз этой плоскости будет иметь видA(2 x + y + 1) + B ( 2 y + z + 2) + C ( 2 z + 3) + D = 0 ⇔⇔ 2 Ax + ( A + 2 B ) y + ( B + 2C ) z + A + 2 B + 3C + Dи должен совпадать с самой плоскостью. Следовательно, должны выполняться следующиеравенства: A + 2 B = 2 B, B + 2C = 2C, ⇔ A + 2B + 3C + D = 2D A = 0, B = 0, 3C = D.Можно положить, например, C =1, D = 3 , и уравнение искомой инвариантной плоскостибудет иметь вид z + 3 = 0 .Ответ: Инвариантная точка ( −2,1,−3) , инвариантная прямаяx + 2 y −1 z + 3==,100инвариантная плоскость z + 3 = 0 .Задача 43Найти инвариантные точки, инвариантные прямые и инвариантные плоскости аффинногопреобразования x′ = 6x − 2 y − 3z + 1, y′ = − 2 x + 3 y − 6 z + 4, z′ = − 3x − 6 y − 2 z + 5.Решение.

Инвариантные точки находим из системы уравнений x = 6x − 2y − 3z + 1, y −= 2x + 3y − 6z + 4, ⇔ z −= 3x − 6y − 2z + 5 x= ,1 y = 3, z = 2.313Собственные значения находим из уравнения6 −λ−2−3−23 −λ−6−3−6 = 0−2 −λ⇔ (λ + 7)(λ − 7) 2 = 0⇔ λ1 = −7, λ2 = 7.Собственный вектор, соответствующий значению λ1 = −7 , находим из уравнения 13− 2−3−210−6− 3  α   0    − 6   β  =  0  ⇔ {α , β , γ } = {1,2,3} .5   γ   0 Уравнение инвариантной прямой при этом будет иметь видx − 13 y − 13 z − 23.==123Собственный вектор, соответствующий значению λ1 = 7 , находим из уравнения −1− 2−3−2−4−6− 3  α   0    − 6   β  =  0  ⇔ α + 2β + 3γ = 0 .− 9   γ   0 Таким образом, собственными векторами являются все векторы, параллельные плоскостиx + 2 y + 3 z = 0 , а инвариантными прямыми − все прямые, проходящие через единственную( 13 , 13 , 23 ) , и параллельные этой плоскости, т.е.

все прямые,1 1 2проходящие через точку ( , , ) и лежащие в плоскости x + 2 y + 3z − 3 = 0 . Пусть3 3 3инвариантную точкутеперь Ax + By + Cz + D − инвариантная плоскость данного аффинного преобразования.Прообраз этой плоскости будет иметь видA(6 x − 2 y − 3z + 1) + B (−2 x + 3 y − 6 z + 4) + C ( −3x − 6 y − 2 z + 5) + D = 0 ⇔(6 A − 2 B − 3C ) x + (−2 A + 3B − 6C ) y + (−3 A − 6 B − 2C ) z + A + 4 B + 5C + D = 0и должен совпадать с самой плоскостью.