L-9-Autmn2017 (Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017)
Описание файла
PDF-файл из архива "Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ü9 â : 26.10.2017ã箪 ¯«®áª®á⥩¯à¥¤¥«¥¨¥ 9.1. ®¢®à¨¬, çâ® ¯«®áª®á⨠1 , . . . , k ,1, ®¡à §ãîâ ¯ã箪¯«®áª®á⥩ ¢ 3-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ V ää , ¥á«¨ ©¤¥âáï ¯àï¬ ï d â ª ï, çâ®d ⊂ i , i = 1, . . . , k . áᬮâਬ ¯¥à¥á¥ª î騥áï (¥ ᮢ¯ ¤ î騥!) ¯«®áª®á⨽k >2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0,1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0.ãáâì d | ¯àï¬ ï, ïîé ïáï ¯¥à¥á¥ç¥¨¥¬ íâ¨å ¯«®áª®á⥩. ëïᨬ, ¯à¨ª ª¨å ãá«®¢¨ïå ¯«®áª®áâì Ax + By + Cz + D = 0, ®â«¨ç ï ®â ¯«®áª®á⥩ 1 , 2 ,ᮤ¥à¦¨â ¯àï¬ãî d.¥¬¬ 9.1.
¥à¥§ ¯à®¨§¢®«ìãî ¯àï¬ãî l á ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬, ª®««¨¥ àë¬ ¢¥ªâ®àã á ª®®à¤¨ â ¬¨ (a, b, c), ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§ â®çªã M0 c ª®®à¤¨ â ¬¨ (x0 , y0 , z0 ), ¨ ¥ª®â®àãî â®çªã M1 c ª®®à¤¨ â ¬¨ (x1 , y1 , z1 ), M1 ∈/ l,¯à®å®¤¨â ¥¤¨á⢥ ï ¯«®áª®áâì.®ª § ⥫ìá⢮. ¥ªâ®àë (a, b, c) ¨ (x1 −x0 , y1 −y0 , z1 −z0 ) ¥ª®««¨¥ àë, ¯®í⮬ããà ¢¥¨¥ ¯«®áª®á⨠, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ l, âïã⮩ ¢¥ªâ®àë v1 = (a, b, c) ¨v2 = (x1 −x0 , y1 −y0 , z1 −z0 ), ¨¬¥¥â ¢¨¤ M0 + V0 , £¤¥ V0 = L(v1 , v2 ). ª ª ª M1 ∈ ,â® ¯® ¯® «¥¬¬¥ 8.2 ¨§ «¥ªæ¨¨ ü8 ¬ë ¨¬¥¥¬ = M1 + V0 .¥¥®à¥¬ 9.1.
àï¬ ïᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¯«®áª®á⨠Ax + By + Cz + D = 0 ⇔Ax + By + Cz + D = λ1 (A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + λ2 (A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) ¤«ï¥ª®â®àëå ç¨á¥« λ1 , λ2 , ¥ à ¢ëå 0.®ª § ⥫ìá⢮. (⇐) 祢¨¤®.(⇒) áᬮâਬ â®çªã á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x0 , y0 , z0 ), ¥ ¯à¨ ¤«¥¦ éãî ¯«®áª®áâï¬ (10.4). ®£¤ Ai x0 + Bi y0 + Ci z0 + Di 6= 0, i = 1, 2. ®£¤ ©¤ãâáï ç¨á« λi ,i = 1, 2, ¥ à ¢ë¥ 0, â ª¨¥, çâ®dλ1 (A1 x0 + B1 y0 + C1 z0 + D1 ) + λ2 (A2 x0 + B2 y0 + C2 z0 + D2 ) = 0. áᬮâਬ ¯«®áª®áâìλ1 (A1 x + B1 y + C1 z + D) + λ2 (A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0.祢¨¤®, çâ® í⮩ ¯«®áª®á⨠¯à¨ ¤«¥¦ â ¯àï¬ ï d ¨ â®çª á ª®®à¤¨ â ¬¨(x0 , y0 , z0 ). â ª ª ª «î¡ ï ¯«®áª®áâì ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¥ª®â®à®© ¯àאַ©12¨ â®çª®©, í⮩ ¯àאַ© ¥ «¥¦ 饩, á¬.
«¥¬¬ã 9.1, â® âॡ㥬 ï ¨¬¯«¨ª æ¨ï¤®ª § .¥§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¦¥¨¥ ¯àï¬ëå ¨ £¨¯¥à¯«®áª®á⥩¯à¥¤¥«¥¨¥ 9.2. ¥ªâ®à ξ ª®¬¯« ॠ£¨¯¥à¯«®áª®á⨠= M0 + V , ¥á«¨ξ ⊂ V ,£¤¥ M0 ∈ | ¥ª®â®à ï â®çª , V ⊂ V ää | ¥ª®â®à®¥ (n − 1)-¬¥à®¥¢¥ªâ®à®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮.⢥ত¥¨¥ 9.1. ¥ªâ®à ξ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (ξ1 , . . . , ξn ) ª®¬¯« ॠ£¨¯¥à¯«®áª®á⨠: A1 x1 + · · · + An xn + D = 0 ⇔ A1 ξ1 + · · · + An ξn = 0.®ª § ⥫ìá⢮. ¡®§ 稬 M0 = (~x1 , .
. . , x~n ), = M0 + V .(⇒) ãáâì ¢¥ªâ®àë u1 , . . . , un−1 ®¡à §ãîâ ¡ §¨á V . ®£¤ ¢¥ªâ®àë ξ, u1 , . . . ,n−P1un−1 ª®¬¯« àë, ¯®í⮬ã áãé¥áâ¢ãîâ ç¨á« λ1 , . . . , λn−1 â ª¨¥, çâ® ξ =λi u i .i=1®£¤ M0 + ξ ∈ ⇒ 0 = A1 (~x1 + ξ1 ) + · · · + An (~xn + ξn ) + D= A1 ξ1 + · · · + An ξn .(⇐) áᬮâਬ â®çªã M0 + ξ = (~x1 + ξ1 , . .
. , x~n + ξn ), £¤¥M0= (~x1 , . . . , x~n ) ∈ ⇔ A1 x~1 + · · · + An x~n + D = 0.®£¤ A1 (~x1 + ξ1 ) + · · · + An (~xn + ξn ) + D = 0, â. ¥.M0 + ξ ∈ = M0 + V ⇒ ξ ∈ V .¥¥®à¥¬ 9.2. ¥ªâ®à ξ á ª®®à¤¨ â ¬¨ (ξ1 , . . . , ξn ) ª®¬¯« ॠ£¨¯¥à¯«®áª®á⨠: A1 x1 + · · · + An xn + D = 0⇔ ¤«ï «î¡®© ¯àאַ© l á ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ ξ¢ë¯®«ï¥âáï ®¤ ¨§ ¤¢ãå ¢®§¬®¦®á⥩: ¨«¨ l ⊂ , ¨«¨ l ∩ = ∅.®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¯àï¬ãî l = M0 + tξ , t ∈ R, £¤¥ M0 = (~x1 , .
. . , x~n ) |¥ª®â®à ï â®çª .(⇒) ®¤áâ ¢¨¬ ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ï xi = x~i + tξi , i = 1, . . . , n, ¯àאַ© l ¢¢ëà ¦¥¨¥ A1 x1 + · · · + An xn + D, ¢ १ã«ìâ â¥, á ãç¥â®¬ ã⢥ত¥¨ï 9.1, ¯®«ã稬¢ëà ¦¥¨¥A1 x~1 + · · · + An x~n + D.(9.1) ¢¥á⢮ ¢ëà ¦¥¨ï (9.1) ã«î íª¢¨¢ «¥â® ⮬ã, çâ® l ⊂ ; ¥á«¨ ¦¥ ¢ëà ¦¥¨¥ (9.1) ¥ à ¢® ã«î, â® ¯àï¬ ï l ¨ £¨¯¥à¯«®áª®áâì ¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï.(⇐) ãáâì l ⊂ ⇒ = M0 + V ⇒ ξ ∈ V .ãáâì l ∩ = ∅, ®¤ ª® A1 ξ1 + · · · + An ξn 6= 0.
®ïâ®, çâ® ¢ëà ¦¥¨¥A1 (~x1 + tξ1 ) + · · · + An (~xn + tξi ) + D3+A x~ +D®¡à é ¥âáï ¢ ã«ì ⮫쪮 ¯à¨ t = − A1Ax~11ξ+1···+···+A ξ , â. ¥. ¯àï¬ ï l ¨ £¨¯¥à¯«®áª®áâì ¨¬¥îâ ¥¤¨á⢥ãî â®çªã ¯¥à¥á¥ç¥¨ï, ç⮠ï¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥¬. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¥á«¨ l ∩ = ∅, â® ®¡ï§ â¥«ì® ¤®«¦® ¡ëâì A1 ξ1 + · · · + An ξn = 0 ⇒¯® ã⢥ত¥¨î 9.1 ¢¥ªâ®à ξ ¨ £¨¯¥à¯«®áª®áâì ª®¬¯« àë.¥«¥¤á⢨¥ 9.1. A1 ξ1 + · · · + An ξn 6= 0, A21 + · · · + A2n 6= 0, ξ12 + · · · + ξn2 6= 0 ⇔¯àï¬ ï á ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬ ξ ¨ £¨¯¥à¯«®áª®áâì, ®¯à¥¤¥«ï¥¬ ï ãà ¢¥¨¥¬A1 x1 + · · · + An xn + D = 0, ¨¬¥îâ ¥¤¨á⢥ãî â®çªã ¯à¥á¥ç¥¨ï.§ ⥮६ë 9.2 ¨ á«¥¤á⢨ï 9.1 ¢ë⥪ ¥â á«¥¤ãîé 葉६ 9.3 (® ¢§ ¨¬®¬ à ᯮ«®¦¥¨¨ ¯àאַ© ¨ £¨¯¥à¯«®áª®áâ¨).
áᬮâਬ ¯àï¬ãî l : x1ξ−1x~1 = · · · = x ξ−x~ ¨ £¨¯¥à¯«®áª®áâì : A1 x1 + · · · + An xn +D = 0.10 l ∩ = ∅ ⇔ A1 ξ1 + · · · + An ξn = 0, A1 x~1 + · · · + An x~n + D 6= 0,20 l ⊂ ⇔ A1 ξ1 + · · · + An ξn = 0, A1 x~1 + · · · + An x~n + D = 0,30 ¬®¦¥á⢮ l ∩ á®á⮨⠨§ ¥¤¨á⢥®© â®çª¨ ⇔ A1 ξ1 + · · · + An ξn 6= 0.nnn nnnn§ ¨¬®¥ à ᯮ«®¦¥¨¥ ¤¢ãå ¯àï¬ëå ¢ 3-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥ áᬮâਬ ¤¢¥ à §«¨çë¥ (¥ ᮢ¯ ¤ î騥!) ¯àï¬ë¥, ª ®¨ç¥áª¨¥ ãà ¢¥¨ïª®â®àëå ¨¬¥îâ ¢¨¤l0:x − x0a=y − y0b=z − z0,cl1:x − x1α=y − y1β=z − z1.γ(9.2)ë ¬®¦¥¬ ¯®« £ âì, çâ® ¥ 㬥ìè¨â ®¡é®áâ¨, çâ® (x0 , y0 , z0 ) 6= (x1 , y1 , z1 ).
®£¤ ¯àï¬ë¥ l0 , l1 «¥¦ â ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨? ᫨ ®¨ ¨ «¥¦ â ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨,â® ¢ ⮩, ª®â®à ï ᮤ¥à¦¨â ¯àï¬ãî l0 ¨ â®çªã á ª®®à¤¨ â ¬¨ (x1 , y1 , z1 ). ®£¤ ¢¥ªâ®àë á ª®®à¤¨ â ¬¨ (a, b, c), (α, β, γ ), (x1 − x0 , y1 − y0 , z1 − z0 ) ¤®«¦ë ¡ëâ쪮¬¯« àë, ¯®í⮬㠥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ ⮣®, çâ® ¯àï¬ë¥ l0 , l1 «¥¦ â ¢ ®¤®©¯«®áª®áâ¨, á®á⮨⠢ ⮬, çâ®x1 − x0detaαy1 − y0bβz1 − z0c = 0.γ(9.3)®ª ¦¥¬, çâ® ãá«®¢¨¥ (9.3) ï¥âáï ¨ ¤®áâ â®çë¬.«ãç © 1. ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¯àï¬ëå l0 , l1 ¨§ (10.5) ª®««¨¥ àë.
®£¤ ¯àï¬ë¥ l0 , l1 ¯ à ««¥«ìë. ¥á«®¦® ¢¨¤¥âì, çâ® ¯«®áª®áâì, ᮤ¥à¦ é ï ¯ à ««¥«ìë¥ ¯àï¬ë¥ l0 , l1 , ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢¥¨¥¬x − x0det x1 − x0ay − y0y1 − y0bz − z0z1 − z0 = 0.c4«ãç © 2. ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¯àï¬ëå l0 , l1 ¥ª®««¨¥ àë. ®£¤ ¯«®áª®áâì,ᮤ¥à¦ é ï ¯àï¬ë¥ l0 , l1 , ¨¬¥¥â ¢¨¤x − x0det aαz − z0c = 0.γy − y0bβ(9.4)¥©á⢨⥫ì®, ¢ í⮬ ¬®¦® ã¡¥¤¨âìáï ¯®¤áâ ®¢ª®© ¢ (9.4) ¯ à ¬¥âà¨ç¥áª¨åãà ¢¥¨© x = x0 + sa, x = x1 + tα,l0 :y = y0 + sb,l1 :y = y1 + tβ,z = z0 + sc,z = z1 + tγ,¥ § ¡ë¢ ï ¯à¨ í⮬, çâ® ¨¬¥¥â ¬¥áâ® (9.3). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬¨ ãáâ ®¢«¥ á«¥¤ãîé 葉६ 9.4 (® ¢§ ¨¬®¬ à ᯮ«®¦¥¨¨ 2-å ¯àï¬ëå ¢ 3-¬¥à®¬ ¯à®áâà á⢥).
¢¥ ¯àï¬ë¥l0:x − x0a=y − y0b=z − z0,cl1:x − x1α=y − y1β=z − z1γ10 áªà¥é¨¢ îâáï (¥ ¯ à ««¥«ìë ¨ ¥ «¥¦ â ¢ ®¤®© ¯«®áª®áâ¨) ⇔x1 − x0detaαy1 − y0bβz1 − z0c 6= 0,γy1 − y0bβz1 − z0c = 0;γ20 «¥¦ â ¢ ®¤®© ¯«®áª®á⨠⇔x1 − x0detaα¯à¨ í⮬: ¥á«¨ ¢¥ªâ®àë (a, b, c), (α, β, γ ) ª®««¨¥ àë, â®(a, b, c), (α, β, γ ) ¥ª®««¨¥ àë, â® l ∩ l1 6= ∅.l k l1 ;¥á«¨ ¢¥ªâ®àë ááâ®ï¨¥ ® â®çª¨ ¤® k-¬¥à®© ¯«®áª®á⨥®à¥¬ 9.5. ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥¡¢V ää , (·, ·)¤«ï «î¡®© k-¬¥à®© ¯«®áª®á⨠¨ «î¡®© â®çª¨ A ∈/ ©¤¥âáï ¥¤¨á⢥ ï â®çª C ∈ â ª ï, çâ®−→|AC| = ρ(A, ) = inf ρ(A, B ).B∈®ª § ⥫ìá⢮. áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ìãî â®çªã B ∈ . ãáâì = A0 + 0 ,£¤¥ A0 ∈ V ää | ¥ª®â®à ï â®çª , 0 | ¥ª®â®à®¥ k-¬¥à®¥ ¢¥ªâ®à®¥ ¯®¤¯à®áâà á⢮ ¨§ V ää .
®£¤ ¯® ⥮६¥ ® ¯ à ««¥«ì®¬ ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨¨ ©¤ãâá磻¨áâ¢¥ë¥ ¢¥ªâ®àë v0 ∈ 0 , v⊥0 ∈ ⊥0 â ª¨¥, çâ®−→BA = v0+ v⊥0 .(9.5)5 ©¤¥âáï ¥¤¨á⢥ ï â®çª M¨¬¥¥¬−→ −→−−→∈−−→−−→â ª ï, çâ® v0 = BM , ⮣¤ M A = v⊥0 , ¨ ¬ë−−→ −−→−−→−−→ −−→−−→ −−→(BA, BA) = (BM + M A, BM + M A) = (BM , BM ) + (M A, M A).(9.6)¥¯¥àì à áᬮâਬ ª ªãî-«¨¡® â®çªã B1 ∈ , B1 6= B . ®£¤ , à áá㦤 ï â ª¦¥,−−→ −−−→ª ª ¨ ¤«ï â®çª¨ B , ©¤¥âáï ¥¤¨á⢥ ï â®çª M1 ∈ â ª ï, çâ® B1 A = B1 M1 +−→−−−→−−→−−→ −−−→M1 A, B1 M1 ∈ 0 , M1 A ∈ ⊥0 .
।¯®«®¦¨¬, çâ® M1 6= M , ⮣¤ BA = BM1 +−−→−−−→−−−→−−→−→M1 A, ¯à¨ í⮬ BM1 ∈ 0 , BM1 6= BM , ¨ ¬ë ¯®«ã稫¨, çâ® ¢¥ªâ®à BA ¬®¦®¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ (9.5) ¥ ¥¤¨áâ¢¥ë¬ á¯®á®¡®¬. «¥¤®¢ ⥫ì®, ¤®«¦® ¡ëâì−−→−→M1 = M , â. ¥. ¢¥ªâ®à M A ®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ¤«ï ¢á¥å ¢¥ªâ®à®¢ BA, B ∈ .«¥¤®¢ ⥫ì®, ¬¨¨¬ã¬ ¢ëà ¦¥¨ï (9.6) ¤®á⨣ ¥âáï ¢ ⮬ á«ãç ¥, ª®£¤ B = M ,−−→â. ¥. ρ(A, ) = |M A|.¥−→ ¬¥ç ¨¥ 9.1. ¥ªâ®à −AM , á¬. ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⥮६ë 9.5, §ë¢ ¥âáï ¯¥à¯¥-¤¨ªã«ï஬, ®¯ãé¥ë¬ ¨§ â®çª¨ A k-¬¥àãî ¯«®áª®áâì . ª¨¬ ®¡à §®¬,à ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ A ¤® k-¬¥à®© ¯«®áª®áâ¨ à ¢® ¤«¨¥ ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà , ®¯ã饮£® ¨§ â®çª¨ A k-¬¥àãî ¯«®áª®áâì . ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ ¤® £¨¯¥à¯«®áª®á⨡¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ Rn , h·, ·i à áᬮâਬ £¨¯¥à¯«®áª®áâì = A + V0 , A ∈ Rn , dim V0 = n − 1, ãà ¢¥¨¥ ª®â®à®© A1 x1 + · · · + An xn + D = 0. ª ª ª dim V0 = n − 1, â® dim V0⊥ = 1.
§ ã⢥ত¥¨ï 9.1 ¢ë⥪ ¥â, çâ® V0⊥ =L(~n¢¥è ), £¤¥ ~n¢¥è = (A1 , . . . , An ).¥¯¥àì à áᬮâਬ â®çªã M ∈/ , M = (y1 , . . . , yn ). ª á«¥¤ã¥â ¨§ ⥮६ë 9.5,¤«ï ⮣®, çâ®¡ë ¢ëç¨á«¨âì à ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ M ¤® £¨¯¥à¯«®áª®á⨠, ¥®¡å®−−→¤¨¬® ©â¨ â®çªã B ∈ â ªãî, çâ® M B ∈ L(~n¢¥è ), ( ¯®¬¨¬, çâ® â ª ï â®çª B ¥¤¨á⢥ ), ¨ ©â¨ ¤«¨ã ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïà , ¢ë¯ã饮£® ¨§ â®çª¨ M £¨−−→¯¥à¯«®áª®áâì , â.