L-16-Autmn2017 (Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017)
Описание файла
PDF-файл из архива "Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ü16 â : 20.12.2017¢¨¦¥¨ï 3-¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢®£® ¯à®áâà á⢠§ «¨â¨ç¥áª®© ä®à¬ë § ¯¨á¨ ää¨ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¨ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï á«¥¤ã¥â, çâ® «¨â¨ç¥áª ï ä®à¬ § ¯¨á¨ «î¡®£® ¤¢¨¦¥¨¥ fA,b ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠R3 ¨¬¥¥â ¢¨¤fA,b a11x: u = y → a21c31za12a22c32 b1a13xa23 y + b2 = Au + b,a33zb3A ∈ SO(3). ¥¥ ¡ë«® ãáâ ®¢«¥®, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì® ®à¨¥â¨à®¢ ë© ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á (v, v1 , v2 ) (§¤¥áì v = Av | ¨¢ ਠâë© ¢¥ªâ®à ¬ âà¨æëA) ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ R3 â ª®©, çâ® ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ¬ âà¨æ A ¨¬¥¥â ¢¨¤1 0eAϕ = 0 cos ϕ0 sin ϕ0− sin ϕ = C −1 AC,cos ϕ£¤¥ C | ¬ âà¨æ á ¢¥ªâ®à-á⮫¡æ ¬¨ (v, v1 , v2 ). «¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ ä䨮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (~x, y~, z~), ¨¤ãæ¨à®¢ ®© ९¥à®¬ (O; v, v1 , v2 ), x~¡ ¢ x y = C y~ ,zz~¤¢¨¦¥¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠R3 § ¯¨áë¢ ¥âáï ª ª ~b1x~x~1 00u~ = y~ → 0 cos ϕ − sin ϕ y~ + ~b2 = Aeϕ u~ + ~b, ~b = C −1 b.
(16.1)~b3z~0 sin ϕ cos ϕz~⬥⨬, çâ® ¯à¨ ϕ = 0 ä®à¬ã« (16.1) | ¯ à ««¥«ìë© ¯¥à¥®á í«¥¬¥â ~b. áᬮâਬ á«ãç © ϕ 6= 0. ¥¥ ¬ë ¤®ª § «¨, çâ® ¢ á«ãç ¥ ϕ 6= 0 ã ®â®¡à ¦¥¨ïµ ¶µ¶µ ¶ µ ¶~b2y~cosϕ − sin ϕy~→+~b3z~sin ϕ cos ϕz~áãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥ ï ¥¯®¤¢¨¦ ï â®çª (~y0 , z~0 ), â. ¥.µ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶~b2cos ϕ − sin ϕy~0y~0+~b3 = z~0 .sin ϕ cos ϕz~0(16.2)®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï (16.1), (16.2), ¬ë ¯®«ãç ¥¬x~1 y0 → 0z000cos ϕsin ϕ ~b10x~x~ + ~b1− sin ϕ y0 + ~b2 = y0 .~b3cos ϕz0z01(16.3)2 ¯¨è¥¬ ®â®¡à ¦¥¨¥ (16.3) ¢ ä䨮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (x , y , z ), ¨¤ãæ¨à®¢ ®© ९¥à®¬ (O0 ; v, v1 , v2 ), £¤¥ â®çª O0 ¨¬¥¥â ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (O, v, v1 , v2 )ª®®à¤¨ âë (0, y0 , z0 ).
ᯮ«ì§ãï «¥¬¬ã ® ᤢ¨£¥ æ¥âà ä䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â, ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ~b1x1 000x y → 0 cos ϕ − sin ϕ y + y0 + ~b2 − y0 ~b3z0 sin ϕ cos ϕz0z + z0 ~b1x1 00y + 0 .= 0 cos ϕ − sin ϕ0 sin ϕ cos ϕz0 ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ ãáâ ®¢«¥ á«¥¤ãîé 葉६ 16.1 (® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥ ¤¢¨¦¥¨ï áâ ¤ à⮣® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠R3 ). î¡®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ R3 | ¨«¨¯ à ««¥«ìë© ¯¥à¥®á, ¨«¨ ª®¬¯®§¨æ¨ï ¯®¢®à®â ¢®ªà㣠®á¨, ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ª®â®à®© | ¨¢ ਠâë© ¢¥ªâ®à ¬ âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï, ¨ ᤢ¨£ ¢¤®«ìí⮩ ®á¨.¥á®¡áâ¢¥ë¥ ®à⮣® «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï3-¬¥à®£® ¥¢ª«¨¤®¢®£® ¯à®áâà á⢠¥ ¥á®¡á⢥®¥ ®à⮣® «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥á⢠R3 ¨¬¥¥â ¢¨¤ a11xu = y → a21a31za12a22a32fA,b a13xb1a23y + b2 = Au + b,a33zb3¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà -A ∈ O(3),det A = −1.(16.4) ¥¥ ¬ë ãáâ ®¢¨«¨, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì® ®à¨¥â¨à®¢ ë© ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á (w, w1 , w2 ) (§¤¥áì w = −Aw) â ª®©, çâ® ¢ í⮬ ¡ §¨á¥ ¬ âà¨æ A¨¬¥¥â ¢¨¤−100e = 0 cos ϕ − sin ϕ = W −1 AW,A0 sin ϕ cos ϕ£¤¥ á⮫¡æë ¬ âà¨æë W | ¢¥ªâ®àë w, w1 , w2 .
«¥¤®¢ ⥫ì®, ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â(~x, y~, z~), ¨¤ãæ¨à®¢ ®© ९¥à®¬ (O, w, w1 , w2 ), ®â®¡à ¦¥¨¥ (16.4) ¨¬¥¥â ¢¨¤ ~b1x~−100x~euu~ = y~ → 0 cos ϕ − sin ϕy~ + ~b2 = A~ + ~b, ~b = W −1 b. (16.5)~b3z~0 sin ϕ cos ϕz~ ¯¨è¥¬ ®â®¡à ¦¥¨¥ (16.5) ¢ ä䨮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (x , y , z ), ¨¤ãæ¨à®¡¢¢ ®© ९¥à®¬ (O0 , w, w1 , w2 ), £¤¥ â®çª O0 ¨¬¥¥â ª®®à¤¨ âë ~b21 , 0, 0 ¢ á¨á⥬¥3ª®®à¤¨ â (O, w, w1 , w2 ). ®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï «¥¬¬ã ® ᤢ¨£¥ æ¥âà ä䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â), ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ~ ~ ~b1 −1x00b1x + b212 y → 0 cos ϕ − sin ϕ y + ~b2 − 0 ~b3z0 sin ϕ cos ϕz0 −100x0 0 cos ϕ − sin ϕ y + ~b2 .~b3z0 sin ϕ cos ϕ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ ãáâ ®¢«¥ á«¥¤ãîé 葉६ 16.2 (® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¬ á¬ëá«¥ ¥á®¡á⢥®£® ®à⮣® «ì®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ R3 ).
î-¡®¥ ¥á®¡á⢥®¥ ®à⮣® «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ R3 | ª®¬¯®§¨æ¨ï ᨬ¬¥âਨ ®â®á¨â¥«ì® ¥ª®â®à®© ¯«®áª®á⨠á®á¤¢¨£®¬ ¢ í⮩ ¯«®áª®á⨠(ϕ = 0), ¨«¨ ¯®¢®à®â®¬ ¢ í⮩ ¯«®áª®á⨠(ϕ 6= 0).§®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ Rn¯à¥¤¥«¥¨¥ 16.1. ãáâì (X, dX ) | ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà á⢮, â. ¥.
¥ª®â®à®¥¬®¦¥á⢮ á § ¤ ë¬ ¥¬ à ááâ®ï¨¥¬ dX . â®¡à ¦¥¨¥ f : X¥âáï ¨§®¬¥âਥ© ¬¥âà¨ç¥áª®£® ¯à®áâà á⢠(X, dX ), ¥á«¨dX (A, B ) = dX (f (A), f (B ))→X §ë¢ -∀A, B ∈ X.§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï 16.1 áà §ã ¦¥ ¢ë⥪ ¥â¢®©á⢮ 16.1. §®¬¥âà¨ï ï¥âáï ¢§ ¨¬®-®¤®§ çë¬ ®â®¡à ¦¥¨¥¬. ¯®¬¨¬, çâ® áâ ¤ à⮥ ¥¢ª«¨¤®¢® à ááâ®ï¨¥ d ¢ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥Rn á® áâ ¤ àâë¬ áª «ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ h·, ·i ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ä®à¬ã«¥qn³X´ 12−−→ −−→−−→2d(X, Y ) = hXY , XY i = |XY | =(xi − yi ) ,i=1£¤¥ X = (x1 , . . .
, xn ), Y= (y1 , . . . , yn ).¥®à¥¬ 16.3. ãáâì f : (Rn , d) → (Rn , d) | ¨§®¬¥âà¨ï. ®£¤ f | ä䨮¥¯à¥®¡à §®¢ ¨¥.®ª § ⥫ìá⢮. ¯. 1. §®¬¥âà¨ï á®åà ï¥â ¯àאַ«¨¥©®¥ à ᯮ«®¦¥¨¥ â®ç¥ª.¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâì â®çª¨ A, B, C «¥¦ â ®¤®© ¯àאַ©, ¯à¨ç¥¬ B «¥¦¨â ¬¥¦¤ã A ¨ C . ®£¤ d(A, C ) = d(A, B ) + d(B, C ), â ª ª ª f | ¨§®¬¥âà¨ï, â®d(f (A), f (C )) = d(f (A), f (B )) + d(f (B ), f (C )).(16.5)4 ᫨ ¡ë â®çª f (B ) «¥¦ « ¡ë ®¤®© ¯àאַ© á â®çª ¬¨ f (A), f (C ), ® ¥ ¬¥¦¤ã¨¬¨, â®, á ®¤®© áâ®à®ë, ¬ë ¡ë ¨¬¥«¨ max{d(A, B ), d(B, C )} < d(A, C ), á ¤à㣮© | ¨«¨ d(f (A), f (B )) > d(f (A), d(f (C ))), ¨«¨ d(f (A), f (B )) > d(f (B ), d(f (C ))),ç⮠ï¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥¬. ¥¯¥àì ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® â®çª f (B ) ¥ ¯à¨ ¤«¥¦¨â ¯àאַ©, ¯à®å®¤ï饩 ç¥à¥§ â®çª¨ f (A), f (C ).
® ⮣¤ ®¡ï§ â¥«ì® ¡ë ¢ë¯®«ï«®áì áâண®¥ ¥à ¢¥á⢮ d(f (A), f (C )) < d(f (A), f (B )) + d(f (B ), f (C )), ç⮯à®â¨¢®à¥ç¨â (16.5).«ï ⮣®, ç⮡ë ã¡¥¤¨âìáï ¢ í⮬, à áᬮâਬ â®çª¨ A, A + αt, A + βs, £¤¥|α| = |β| = 1, s, t ∈ R, ¥ «¥¦ 騥 ®¤®© ¯àאַ© (®â¬¥â¨¬, çâ® «î¡ë¥ âà¨â®çª¨, ¥ «¥¦ 騥 ®¤®© ¯àאַ© ¢á¥£¤ ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ A, A + αt,A + βs, £¤¥ |α| = |β| = 1, s, t ∈ R). ë ¨¬¥¥¬vu nuXd(A + αt, A + βs) = t (tαi − sβi )2 , α = (α1 , . .
. , αn ), β = (β1 , . . . , βn ),i=1d(A, A + αt) = |t||α| = |t|, d(A, A + βs) = |s||β| = |s|. ¤à㣮© áâ®à®ë,nXi=1(tαi − sβi )2 = s2 + t2 − 2st(α1 β1 + · · · + αn βn ) > (t − s)2 = t2 + s2 − 2st,¯®áª®«ìªã ¨§ ¥à ¢¥á⢠®è¨ | ã类¢áª®£® (á¬. «¥ªæ¨î ü4), ¢ë⥪ ¥â, çâ®|hα, βi| < |α||β| = 1 (¢¥ªâ®àë α, β ¥ ª®««¨¥ àë, § ç¨â, ª®á¨ãá 㣫 ¬¥¦¤ã¨¬¨ ¯® ¬®¤ã«î ¬¥ìè¥ 1). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¨¬¥¥¬d(A + αt, A + βs) > |t − s| ⇒ d(A + αt, A + βs) + |s| > |t − s| + |s| > |t|⇔ d(A + αt, A + βs) + d(A + βs, A) > d(A + αt, A).«¥¤®¢ ⥫ì®, â®çª B ¬®¦¥â ⮫쪮 «¥¦ âì ¬¥¦¤ã â®çª ¬¨ A, B .¯. 2. §®¬¥âà¨ï ¯¥à¥¢®¤¨â á¥à¥¤¨ë ®â१ª®¢ ¢ á¥à¥¤¨ë ®â१ª®¢.
¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ C | á¥à¥¤¨ ®â१ª , ᮥ¤¨ïî饣® â®çª¨ A, B , â. ¥. d(A, C ) =d(C, B ), â®d(f (A), f (C )) = d(f (C ), f (B )),¯®áª®«ìªã f | ¨§®¬¥à¨ï. ®£¤ ¯® ¯. 1 â®çª f (C ) | á¥à¥¤¨ ®â१ª , ᮥ¤¨ïî饣® â®çª¨ f (A), f (B ).¯. 3. ¢¥¤¥¬ ®¡®§ 票¥ h(x) = f (x) − f (0). ë ¨¬¥¥¬ h(0) = 0.
¥á«®¦®¢¨¤¥âì (४®¬¥¤ã¥¬ ¯à®¢¥à¨âì ¥¯®á।á⢥®), çâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ h(x) | ¨§®¬¥âà¨ï.5¯. 4. ®ª ¦¥¬, çâ® h(A + B ) = h(A) + h(B ) ∀A, B .®çª A+ B2| á¥à¥¤¨ ®â१ª , ᮥ¤¨ïî饣® â®çª¨ A, B . ® ¯. 2 ¬ë ¨¬¥¥¬³A + B ´=h(A) + h(B ).(16.6)22 ¤à㣮© áâ®à®ë, â®çª A+2 B | ¥é¥ ¨ á¥à¥¤¨ ®â१ª , ᮥ¤¨ïî饣® â®çª¨ 0 ¨A + B .
®£¤ ¯® ¯. 2 ¬ë ¨¬¥¥¬³ A + B ´ h(0) + h(A + B )h(A + B )==.(16.7)h222§ (16.6), (16.7) ¢ë⥪ ¥â, çâ® h(A + B ) = h(A) + h(B ).¯. 5 ®ª ¦¥¬, çâ® h(tA) = th(A) ∀t ∈ R ∀A 6= 0. ¡®§ 稬 B = tA. ®£¤ h|t|d(0, h(A)) = |t|d(0, A) = d(0, tA) = d(0, B ) = d(0, h(B )) = d(0, h(tA)).(16.8)®çª¨ A, tA, 0 «¥¦ â ®¤®© ¯àאַ©. ãáâì, ¯à¨¬¥à, 1 > t > 0. â® § ç¨â, çâ®â®çª tA «¥¦¨â ¢ãâਠ®â१ª , ᮥ¤¨ïî饣® â®çª¨ 0 ¨ A, â. ¥. td(0, A) = d(0, tA). ç¨â, ¯® ¯. 1 â®çª h(tA) «¥¦¨â ¢ãâਠ®â१ª , ᮥ¤¨ïî饣® â®çª¨ 0 ¨ h(A).®£¤ , ãç¨âë¢ ï (16.8), ®¡ï§ â¥«ì® ¤®«¦® ¡ëâì h(tA) = th(A).®ç® â ª¦¥ à áᬠâਢ îâáï á«ãç ¨ t < 0, t > 1.¯.
6. § ¯¯. 4, 5 ¢ë⥪ ¥â, çâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ h(x) | «¨¥©®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠Rn .¯. 7. ¨¥©®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ h(x) ¥¢ë஦¤¥®, â. ¥. à £ ¬ âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï h(x) à ¢¥ n (®¯à¥¤¥«¥¨¥ à £ ¨ ï¤à ¬ âà¨æë á¬. ¢ ªãàᥠ«£¥¡àë).¥©á⢨⥫ì®, ¥á«¨ à £ ¬ âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï h(x) ¬¥ìè¥ n, â® ï¤à® ¬ âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï h(x) ¥ã«¥¢®¥, íâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ⮬ã, çâ® ¨§®¬¥âà¨ï (¢ç áâ®áâ¨, ®â®¡à ¦¥¨¥ h(x)) | ¢§ ¨¬®-®¤®§ 箥 ®â®¡à ¦¥¨¥.¯. 8. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬¨ ãáâ ®¢«¥®, çâ® f (x) = h(x) + f (0), £¤¥ h(x) |¥¢ë஦¤¥®¥ «¨¥©®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠Rn . . ¥. f (x) | ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥.¥¥¬¬ 16.1.| «¨¥©®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥, ïî饥áï ¨§®¬¥âਥ© («¨¥© 﨧®¬¥âà¨ï) ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠(Rn , d) ⇔ h | «¨¥©®¥ ®à⮣® «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥.®ª § ⥫ìá⢮.