L-14-Autmn2017 (Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017)
Описание файла
PDF-файл из архива "Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
â : 06.12.2017 ü14ää¨ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ª ª £à㯯 ®¢®ªã¯®áâì ¢á¥å ää¨ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© ¯à®áâà á⢠V ää ®¡®§ ç ¥âáïA(n), n = dim V ää .¯à¥¤¥«¥¨¥ 14.1. ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯à®áâà á⢠V ää , áá®æ¨¨à®e e~1 , . . . , e~n ), §ë¢ ¥âáï ᮡá⢥ë¬, ¥á«¨ ¡ ¢ ®¥ á ९¥à ¬¨ (O, e1 , . . . , en ), (O,§¨áë {e1 , . . . , en }, {e~1 , . . . , e~n } ®¤¨ ª®¢® ®à¨¥â¨à®¢ ë, ¨ ¥á®¡áâ¢¥ë¬ ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥. ®-¤à㣮¬ã, ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¯à®áâà á⢠V ää , áá®æ¨e e~1 , . .
. , e~n ), §ë¢ ¥âáï ᮡá⢥ë¬, ¥á«¨¨à®¢ ®¥ á ९¥à ¬¨ (O, e1 , . . . , en ), (O,®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¥£® ¬ âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¯®«®¦¨â¥«ìë©, ¨ ¥á®¡á⢥ë¬, ¥á«¨ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¥£® ¬ âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ®âà¨æ ⥫ìë©.¢®©á⢮ 14.1.f, g ∈ A(n) ⇒ g ◦ f ∈ A(n).®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f áá®æ¨¨à®¢ ® á ª®®à¤¨ â묨 ९¥à ¬¨ (O, e1 , . . . , en ), (O1 , e~1 , . . . , e~n ), ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ g | ᪮®à¤¨ â묨 ९¥à ¬¨ (O1 , e~01 , . .
. , e~0n ), (O2 , e^01 , . . . , e^0n ). ç¨âë¢ ï á«¥¤á⢨¥ 13.2«¥ªæ¨¨ ü13, ¬ë ¬®¦¥¬ áç¨â âì, ¥ ¬¥ìè ï ®¡é®áâ¨, çâ® ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ g áá®æ¨¨à®¢ ® á ª®®à¤¨ â묨 ९¥à ¬¨ (O1 , e~1 , . . . , e~n ), (O2 , e^1 , . . . , e^n ).®£¤ ®¯à¥¤¥«¥ ª®¬¯®§¨æ¨ï g ◦ f ¯à¥®¡à §®¢ ¨© f, g, ïîé ïáï ää¨ë¬¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ¯à®áâà á⢠V ää , áá®æ¨¨à®¢ ë¬ á ९¥à ¬¨ (O, e1 , . . .
, en ),(O2 , e^1 , . . . , e^n ); ¯à¨ í⮬ ¥á«¨ f (x) = Cx+γ = x0 , g(x0 ) = C 0 x0 +γ 0 , â® «¨â¨ç¥áª ïä®à¬ã« ä䨮£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï g ◦ f ¨¬¥¥â ¢¨¤(g ◦ f )(x) = C 0 (Cx + γ ) + γ 0 = C 0 Cx + C 0 γ + γ 0á ¬ âà¨æ¥© ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï C 0 C , det C 0 C = det C det C 0 6= 0.¢®©á⢮ 14.2.(14.1)¥f, g, h ∈ A(n) ⇒ f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g ) ◦ h.®ª § ⥫ìá⢮. ᯮ«ì§ãï á«¥¤á⢨¥ 13.2 «¥ªæ¨¨ ü13 ¨ ä®à¬ã«ã (14.1), ᢮©á⢮ 14.2 ¤®ª §ë¢ ¥âáï â®ç® â ª¦¥, ª ª ¨ ᢮©á⢮ 14.1.¥¢®©á⢮ 14.3.f ∈ A(n) ⇒ ∃!g= f −1 ∈ A(n).®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f áá®æ¨¨à®¢ ® á ª®®à¤¨ â묨 ९¥à ¬¨ (O, e1 , . . . , en ), (O1 , e~1 , . .
. , e~n ). â®¡à ¦¥¨¥ f ¡¨¥ªâ¨¢®, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ®¯à¥¤¥«¥® ®¡à ⮥ ª ¥¬ã ®â®¡à ¦¥¨¥ g = f −1 .¥á«®¦® ¢¨¤¥âì, çâ® g ï¥âáï ää¨ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ¯à®áâà á⢠V ää , áá®æ¨¨à®¢ ë¬ á ª®®à¤¨ â묨 ९¥à ¬¨ (O1 , e~1 , . . . , e~n ) ¨ (O, e1 , .
. . , en ).12 ¯¨è¥¬ ä®à¬ã«ã ä䨮£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï f −1 . ãáâì f (x) =det C 6= 0. ®£¤ ¥á«®¦® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® f −1 (y) = C −1 y − C −1 b.Cx + b= y,¥¥®à¥¬ 14.1. ®¢®ªã¯®áâì ää¨ëå ¯à¥®¡à §®¢ ¨© A(n) ¯à®áâà á⢠®¡à §ã¥â £à㯯ã, £¤¥ £à㯯®¢ ï ®¯¥à æ¨ï ý·þ (㬮¦¥¨¥) ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®¯à ¢¨«ãg · f = g ◦ f,V ää ¥¤¨¨æ £à㯯ë | ⮦¤¥á⢥®¥ ®â®¡à ¦¥¨¥ ¯à®áâà á⢠V ää ᥡï.®ª § ⥫ìá⢮ ¢ë⥪ ¥â ¨§ ᢮©á⢠14.1{14.3.¥à⮣® «ìë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ïáâ ¤ à⮣® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠Rn㤥¬ §ë¢ âì ¥ª®â®à®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f : V ää → V ää ®¡®¡é¥® ää¨−→ë¬, ¥á«¨ ¨¤ãæ¨à®¢ ®¥ ¨¬ ®â®¡à ¦¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ f∗ : V ää → V ää , f∗ (AB ) =−−−−−−→f (A)f (B ), A, B ∈ V ää , ï¥âáï «¨¥©ë¬.¯à¥¤¥«¥¨¥ 14.2. ¡®¡é¥® ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E ᮠ᪠«ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ (·, ·) á®åà ï¥â ¤«¨ë ¢¥ªâ®à®¢, ¥á«¨(f∗ a, f∗ a) = (a, a)∀a ∈ E.⬥⨬, çâ® ®¡®¡é¥® ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f , á®åà ïî饥 ¤«¨ë ¢¥ªâ®à®¢, ¢§ ¨¬®-®¤®§ ç®.
¥©á⢨⥫ì®, ¯à¥¤¯®«®¦¨¬ ¯à®â¨¢®¥, â. ¥. 諨áì â®çª¨ A, B â ª¨¥, çâ® f (A) = f (B ), ⮣¤ −−−−−−→−→f∗ (AB ) = f (A)f (B ) = 0,−→AB 6= 0,¨ ¬ë ¯à¨å®¤¨¬ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î−→−→−→ −→0 = (f∗ (AB ), f∗ (AB )) = (AB, AB ) 6= 0.⢥ত¥¨¥ 14.1. ãáâì| ®¡®¡é¥® ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥. ®£¤ á®åà ï¥â ¤«¨ë ¢¥ªâ®à®¢ ⇐⇒ (f∗ a, f∗ b) = (a, b) ∀a, b ∈ E .®ª § ⥫ìá⢮. (⇐) ®ç¥¢¨¤® (b = a).(⇒) ᯮ«ì§ãï «¨¥©®áâì f∗ , ¯®«ãç ¥¬ff(f∗ (a + b), f∗ (a + b)) = (a + b, a + b) = (a, a) + 2(a, b) + (b, b)= (f∗ (a), f∗ (a)) + 2(f∗ (a), f∗ (b)) + (f∗ (b), f∗ (b)) ⇒ (a, b) = (f∗ (a), f∗ (b)).¥3⢥ত¥¨¥ 14.2. ãáâì f | ®¡®¡é¥® ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E , {e1 , .
. . , en } | ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á E . ®£¤ : f | á®åà ï¥â ¤«¨ë ¢¥ªâ®à®¢ ⇔ {f∗ (e1 ), . . . , f∗ (en )} | ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á E .®ª § ⥫ìá⢮. (⇒) ® ã⢥ত¥¨î 14.1 ¬ë ¨¬¥¥¬½ (f∗ (ei ), f∗ (ej )) = (ei , ej ) =1, i = j,δij , £¤¥ δij | ᨬ¢®«ë ஥ªª¥à , â. ¥. δij =. ª¨¬ ®¡à §®¬0, i 6= j{f∗ (e1 ), . . . , f∗ (en )} | ®à⮮ନ஢ ï á¨á⥬ ¨§ n ¥ã«¥¢ëå ¢¥ªâ®à®¢. ¥ã«¥¢ë¥ ®à⮮ନ஢ ë¥ ¢¥ªâ®àë «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë, «¥ªæ¨î ü4.(⇐) ãáâì {e1 , . . .
, en }, {f∗ (e1 ), . . . , f∗ (en )} | ®à⮮ନ஢ ë¥ ¡ §¨áë ¢¥ªâ®nnPP஢. ¡®§ 稬 a = ai ei . ®£¤ f∗ (a) = ai f∗ (ei ). ®ª ¦¥¬, çâ® f á®åà ï¥âi=1i=1¤«¨ë ¢¥ªâ®à®¢. ë ¨¬¥¥¬(a, a) =n³Xi=1ai ei ,nXi=1´a i ei=nXa2i=1i=n³Xi=1ai f∗ (ei ),nXi=1´ai f∗ (ei )= (f (a), f (a)).¥â¢¥à¦¤¥¨¥ 14.3. ãáâì f | ®¡®¡é¥® ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E , {e1 , . . . , en } | ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á E . ®£¤ : f á®åà ï¥â¡ ¢¤«¨ë ¢¥ªâ®à®¢ ⇔ ¬ âà¨æ C = cij «¨¥©®£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï f∗ ®à⮣® «ì .®ª § ⥫ìá⢮. (⇒) ᯮ«ì§ãï ã⢥ত¥¨¥ 14.2, ¬ë ¨¬¥¥¬δij= (f∗ (ei ), f∗ (ej )) =n³Xl=1cil el ,nXm=1´cim emnX=k,l=1cil cjk (el , ek ) =nXk=1cik cjk ,®âªã¤ á«¥¤ã¥â, çâ® á⮫¡æë ¬ âà¨æë C ®à⮮ନ஢ ë, â.
¥. ¬ âà¨æ C ®à⮣® «ì .(⇐) ë ¨¬¥¥¬δij=nXk=1cik cjk=n³Xl=1cil el ,nXm=1´cim em= (f∗ (ei ), f∗ (ej )). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢¥ªâ®àë {f∗ (e1 ), . . . , f∗ (en )} ®¡à §ãîâ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á,¨ ¯® ã⢥ত¥¨î 14.2 ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f á®åà ï¥â ¤«¨ë ¢¥ªâ®à®¢.¥¯à¥¤¥«¥¨¥ 14.3. ८¡à §®¢ ¨¥ f : E¢ ¥âáï ®à⮣® «ìë¬, ¥á«¨→E¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠¡−−−−−−→ −−−−−−→¢ ¡−→ −→¢f (A)f (B ), f (C )f (D) = AB, CD∀A, B, C, D ∈ E.E §ë(14.2)4¥®à¥¬ 14.2. ãáâì E | ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮ ᮠ᪠«ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬(· , ·) ¨ ª®®à¤¨ âë¬ à¥¯¥à®¬ (O, e1 , .
. . , en ), £¤¥ {e1 , . . . , en } | ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á.10 à⮣® «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E ä䨮, ¥£®¬ âà¨æ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ®à⮣® «ì ;20 «î¡®¥ ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠E á ®à⮣® «ì®© ¬ âà¨æ¥© ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ®à⮣® «ì®.®ª § ⥫ìá⢮. 10 ᯮ«ì§ãï (14.2), ¥á«®¦® ¯®ª § âì, çâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ f ï¢−−−−−−→−→«ï¥âáï ¢§ ¨¬®-®¤®§ çë¬. áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥¨¥ f∗ : AB → f (A)f (B ).
®ª ¦¥¬, çâ® ®â®¡à ¦¥¨¥ f∗ ï¥âáï «¨¥©ë¬. ¥©á⢨⥫ì®,(14.2) ⇒ (f∗ (ei ), f∗ (ej )) = (ei , ej ) = δij ⇒¢¥ªâ®àë {f∗ (e1 ), . . . , f∗ (en )} ®¡à §ãîâ ®à⮮ନ஢ ë© ¡ §¨á ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®nPáâà á⢠E . ãáâì x =xi ei , ⮣¤ (x, ei ) = xi , i = 1, . . . , n, ®âªã¤ , ¨á¯®«ìi=1§ãï (14.2), ¬ë ¯®«ãç ¥¬ (x, ei ) = (f∗ (x), f∗ (ei )) = xi , ®âªã¤ ³X´ X−−−−−−→f (O)f (x) = f∗x i ei =xi f∗ (ei ).i=1i=1nn(14.3)§ (14.3) ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f∗ «¨¥©®; ªà®¬¥ ⮣®, ¨§ (14.3) á«¥¤ã¥â, çâ® f ï¥âáï ää¨ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬, áá®æ¨¨à®¢ ë¬ á ९¥à ¬¨(O, e1 , . . . , en ), (f (O), f∗ (e1 ), .
. . , f∗ (en )). § ãá«®¢¨ï (14.2) ¢ë⥪ ¥â, çâ® f á®åà ï¥â ¤«¨ë ¢¥ªâ®à®¢, ⮣¤ , ¨á¯®«ì§ãï ã⢥ত¥¨¥ 14.3, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¬ âà¨æ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ä䨮£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï f ï¥âáï ®à⮣® «ì®©.20 ® ã⢥ত¥¨î 14.3 ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f á®åà ï¥â ¤«¨ë ¢¥ªâ®à®¢.®£¤ ¯® ã⢥ত¥¨î 14.1 ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ f ®à⮣® «ì®.¥¢¨¦¥¨¥ áâ ¤ à⮣® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠.¢¨¦¥¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨯।¥«¥¨¥ 14.3. ®¡á⢥®¥ ®à⮣® «ì®¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ áâ ¤ à⮣® ¥¢-ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠(Rn , h· , ·i) §ë¢ ¥âáï ¤¢¨¦¥¨¥¬.¯à¥¤¥«¥¨¥ 14.4.
ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ Lb : x → x + b, £¤¥ x, b ∈ (Rn , h· , ·i),| 䨪á¨à®¢ ë© í«¥¬¥â, §ë¢ ¥âáï ᤢ¨£®¬ ¨«¨ ¯ à ««¥«ìë¬ ¯¥à¥®á®¬ í«¥¬¥â b.祢¨¤®, çâ® ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ Lb ï¥âáï ¤¢¨¦¥¨¥¬ ¯à®áâà á⢠n(R , h· , ·i), ¥ ®áâ ¢«ïî騬 ¬¥á⥠¨ ®¤®© â®çª¨ ¯à®áâà á⢠.b5¯à¥¤¥«¥¨¥ 14.5. ¢¨¦¥¨¥ ¯à®áâà á⢠(Rn , h· , ·i), ®áâ ¢«ïî饥 ¬¥á⥥ª®â®àãî â®çªã O, §ë¢ ¥âáï ¢à 饨¥¬ á æ¥â஬ ¢¢à 饨© á æ¥â஬ ¢ â®çª¥ O ®¡®§ ç ¥âáï RotO (n).O.®¢®ªã¯®áâì ¢á¥å ¬¥ç ¨¥. ¯à¥¤¥«¥¨¥ 14.5 ¥ ¯®¤à §ã¬¥¢ ¥â ¥¤¨á⢥®áâì æ¥âà ¢à 饨ï.¯à ¦¥¨¥ 14.1.
®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ ¢à 饨¥ ®áâ ¢«ï¥â ¬¥á⥠â®çª¨ A, B ,â® ®® ®áâ ¢«ï¥â ¬¥á⥠¨ ¯àï¬ãî, ª®â®à®© ¯à¨ ¤«¥¦ â â®çª¨ A, B .¯à ¦¥¨¥ 14.2. ®ª ¦¨â¥, çâ® RotO (n) ï¥âáï £à㯯®©.â ¤ à⮥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮ (R2 , h·, ·i) ¬ë §ë¢ ¥¬ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®áâìî.¥®à¥¬ 14.2 (£¥®¬¥âà¨ç¥áª¨© á¬ëá« ¤¢¨¦¥¨© ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®áâ¨).î¡®¥ ¤¢¨¦¥¨¥ ¥¢ª«¨¤®¢®© ¯«®áª®á⨠| ¨«¨ ¯ à ««¥«ìë© ¯¥à¥®á, ¨«¨ ¢à 饨¥.®ª § ⥫ìá⢮. § ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¤¢¨¦¥¨ï ¢ë⥪ ¥â, çâ® ¢ ¯àאַ㣮«ì®© á¨á⥬¥ª®®à¤¨ â ¤¢¨¦¥¨¥ ¯«®áª®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ¯à ¢¨«ãµ ¶µxcos α→ysin α− sin αcos ᶵ ¶ µ ¶x+ bb1 .y2(14.2)।¯®«®¦¨¬, çâ® α = 2πk, k ∈ Z, ⮣¤ ¤¢¨¦¥¨¥ (14.2) | ᤢ¨£ Lb í«¥¬¥âb = (b1 , b2 ).