L-13-Autmn2017 (Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017)
Описание файла
PDF-файл из архива "Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ü13 â : 29.11.2017।«®¦¥¨¥ 13.1. ãáâì ¤ ® ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ â®ç¥ªV ää ,A0 , A1 , . . . , Ar ∈dim V ää = n. ãé¥áâ¢ã¥â ¥¤¨á⢥ ï pr -¬¥à ï ¯«®áª®áâì, ᮤ¥à¦ é ï â®çª¨ A0 , A1 , . . . , Ar , £¤¥ pr | ¬ ªá¨¬ «ì®¥ ç¨á«® «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë墥ªâ®à®¢, ¨¤ãé¨å ¨§ ª ª®©-«¨¡® 䨪á¨à®¢ ®© â®çª¨ ¨§ A0 , A1 , . . . , Ar ¢® ¢á¥®áâ «ìë¥.−−−→−−−−→®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì {A0 Ai1 , .
. . , A0 Ap } | ¡®à «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ëå ¢¥ªâ®à®¢, â ª®© çâ®r−−−→−−−−→−−−→−−−→{A0 Ai1 , . . . , A0 Apr } ⊆ {A0 A1 , . . . , A0 Ar },−−−→−−−−→£¤¥ ç¨á«® pr | ¬ ªá¨¬ «ì® ¢®§¬®¦®¥. ¡®§ 稬 0 = L(A0 Ai1 , . . . , A0 Ap ),−−−→−−−−→ = A0 + 0 . ª ª ª ¢¥ªâ®àë {A0 Ai1 , .
. . , A0 Ap } ïîâáï ¡ §¨á®¬ ¢¥ªâ®à®£®−−−→−−−→¯à®áâà á⢠L{A0 A1 , . . . , A0 Ar }, â® {A0 , . . . , Ar } ⊂ .®ïâ®, çâ® áãé¥á⢮¢ ¨¥ k-¬¥à®© ¯«®áª®á⨠0 â ª®©, çâ® {A0 , A1 , . . . , Ar } ∈−−−→−−−−→0 , k < pr , ¯à®â¨¢®à¥ç¨â «¨¥©®© ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¢¥ªâ®à®¢ {A0 Ai1 , . .
. , A0 Ap }.¥¯¥àì ¯à¥¤¯®«®¦¨¬, çâ® è« áì ¥é¥ ®¤ pr -¬¥à ï ¯«®áª®áâì 0 â ª ï, çâ®{A0 , A1 , . . . , Ar } ∈ 0 . ®£¤ {A0 , A1 , . . . , Ar } ∈ (0 ∩ ) ⇒ 0 = .¥rrr áᬮâਬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ â®çª¨ A0 , . . . , Ar . ¡®§ 稬 ç¥à¥§ rr-¬¥àãî ¯«®áª®áâì, ᮤ¥à¦ éãî í⨠â®çª¨. ®£¤ ¤«ï «î¡®© â®çª¨ X ∈ r (¯®®¯à¥¤¥«¥¨î k-¬¥à®© ¯«®áª®áâ¨) ¬ë ¨¬¥¥¬X−−−→−−−→= A0 + λ1 A0 A1 + · · · + λr A0 Ar ,λ1 , . . . , λr ∈ R.(13.1)®-¤à㣮¬ã, ⮦¤¥á⢮ (13.1) ¬®¦® § ¯¨á âì ª ªX= A0 + λ1 (A1 − A0 ) + · · · + λr (Ar − A0 ) ⇔ X = λ0 A0 + λ1 A1 + · · · + λr Ar ,λ0= (1 − λ1 − · · · − λr ). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï «î¡®© â®çª¨ X ∈ r ®¤®§ ç® ®¯à¥¤¥«¥ ¡®à ç¨á¥«λ0 , .
. . , λr , λ0 + · · · + λr = 1, â ª®©, çâ® X = λ0 A0 + λ1 A1 + · · · + λr Ar .¯à¥¤¥«¥¨¥ 13.1. ®íää¨æ¨¥âë (λ0 , . . . , λr ),+ · · · + λr = 1, §ë¢ îâáï¡ à¨æ¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ª®®à¤¨ â ¬¨ â®çª¨ X , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬¨ 㯮à冷ç¥ë¬ ¡®à®¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ëå â®ç¥ª A0 , . . . , Ar .λ0 ¤à㣮© áâ®à®ë, ¢ ᨫ㠮祢¨¤ëå ýá®®¡à ¦¥¨© ᨬ¬¥âਨþ ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à (λi , λ0 , . . .
, λi−1 , λi+1 , . . . , λr ) ïîâáï ¡ à¨æ¥âà¨ç¥áª¨¬¨ ª®®à¤¨ â ¬¨ ⮩¦¥ â®çª¨ X , ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¬¨ 㯮à冷ç¥ë¬ ¡®à®¬ â®ç¥ª Ai , A0 , . . . , Ai−1 , Ai+1 , Ar .12¯à¥¤¥«¥¨¥ 13.2. ®¦¥á⢮ â®ç¥ª M ∈ r , ¢á¥ ¡ à¨æ¥âà¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨ â몮â®àëå ®â®á¨â¥«ì® A0 , .
. . , Ar ∈ r ¯®«®¦¨â¥«ìë (¥®âà¨æ ⥫ìë) §ë¢ ¥âáï ®âªàëâë¬ (§ ¬ªãâë¬) ᨬ¯«¥ªá®¬ á ¢¥àè¨ ¬¨ A0 , . . . , Ar .®ï⨥ ᨬ¯«¥ªá â¥á® á¢ï§ ® á ¯®ï⨥¬ æ¥âà ¬ áá ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ªmi Ai , i = 0, 1, . . . , r + 1. ç « § ¬¥â¨¬, çâ® æ¥âà ¬ áá ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ªmi Ai , i = 0, 1, . . .
, r + 1, ®ç¥¢¨¤® ᮢ¯ ¤ ¥â á æ¥â®¬ ¬ áá ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ªmm0 +m1 +···+m Ai , i = 0, 1, . . . , r + 1, ¯®í⮬㠤 «¥¥ ¬ë ¯®« £ ¥¬, çâ® ¬ ááë ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ª 㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨î m0 + m1 + · · · + mr = 1. ©¤¥¬ ¡ à¨æ¥âà¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨ âë æ¥âà ¬ áá Z ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ªirm0 A0 , . . .
, mr Ar ,£¤¥ â®çª¨ A0 ,. . . ,Ar £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë. ë á ãç¥â®¬ ãá«®¢¨ï m0 + m1 +· · · + mr = 1 ¬ë ¨¬¥¥¬−−→−−→m0 ZA0 + · · · + mr ZAr = 0 ⇔ m0 (A0 − Z ) + · · · + mr (Ar − Z ) = 0⇔Z= m0 A0 + · · · + mr Ar . (13.2) áᬮâਬ ä®à¬ã«ã (13.2) ¤«ï ¤¢ãå ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ª m0 A0 , m1 A1 . í⮬á«ãç ¥, à áᬠâਢ ï ¢á¥¢®§¬®¦ë¥ ¥®âà¨æ ⥫ìë¥ m0 , m1 , â ª¨¥, çâ® m0 +m1 =1, ¬ë ¯®«ã稬, çâ® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® æ¥âà ¬ áá ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ª m0 A0 ,m1 A1 ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯àאַ«¨¥©ë¬ ®â१ª®¬, ᮥ¤¨ïî騬 â®çª¨ A0 , A1 (§ ¬ªãâë© ®¤®¬¥àë© á¨¬¯«¥ªá á ¢¥àè¨ ¬¨ A0 , A1 ).¥¯¥àì à áᬮâਬ ä®à¬ã«ã (13.2) ¤«ï âà¥å ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ª m0 A0 , m1 A1 ,m2 A2 , m0 + m1 + m2 = 1.
¡®§ 稬 m0 = m0 + m1 . ਠ«î¡®¬ 䨪á¨à®¢ ®¬ ç¨á«¥ t > 0 £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® æ¥âà ¬ áá tm0 Z 0 ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ª tm0 A0 , tm1 A1ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯àאַ«¨¥©ë¬ ®â१ª®¬, ᮥ¤¨ïî騬 â®çª¨ A0 , A1 , ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®© ¢¥«¨ç¨¥ m0 = m0 + m1 . ¤à㣮© áâ®à®ë, £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® æ¥âà ¬ áá Z ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ª tm0 Z 0 , mt2 Z2 , £¤¥ tm0 + mt2 = 1, t ≥ 0 ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯àאַ«¨¥©ë¬ ®â१ª®¬, ᮥ¤¨ïî騬 â®çª¨ Z 0 , A2 .
® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¬ â¥à¨ «ì ïâ®çª Z ï¥âáï æ¥â஬ ¬ áá ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ª tm0 A0 , tm1 A1 , mt2 A2 . ª¨¬®¡à §®¬, ¬¥ïï § ç¥¨ï ¬ áá m0 , m1 â ª, çâ®¡ë ¢ë¯®«ï«®áì 0 ≥ m0 + m1 ≥ 1,¬ë ¯®«ã稬, çâ® £¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® æ¥âà ¬ áá ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ª m0 A0 ,m1 A1 , m2 A2 , m0 + m1 + m2 = 1, ¯®«®áâìî ý§ ¯®«¨âþ £à ¨æã ¨ ¢ãâ८áâìâà¥ã£®«ì¨ª á ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ â®çª å A0 , A1 , A2 (§ ¬ªãâë© ¤¢ã¬¥àë© á¨¬¯«¥ªá ᢥàè¨ ¬¨ A0 , A1 ).ᯮ«ì§ãï ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ à áá㦤¥¨ï ª ª ¡ §ã ¨¤ãªæ¨¨, ¥á«®¦® ¯®«ãç¨âì á«¥¤ãî饥3।«®¦¥¨¥ 13.2.
¥®¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¬¥áâ® æ¥â஢ ¬ áá ¬ â¥à¨ «ìëå â®ç¥ªm0 A0 , . . . , mr Ar ,£¤¥ m0 + · · · + mr = 1, â®çª¨ A0 , . . . , Ar £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨ ¥§ ¢¨á¨¬ë, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© § ¬ªãâë© r-¬¥àë© á¨¬¯«¥ªá á ¢¥àè¨ ¬¨ ¢ â®çª åA0 , . . . , Ar .ë¯ãª«ë¥ ¬®¦¥á⢠¨ ¨å ᢮©á⢠¯à¥¤¥«¥¨¥ 13.3. ®¦¥á⢮ X ⊂ V ää §ë¢ ¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬⇔A, B ∈ X ⇒ λA + (1 − λ)B ⊆ X∀λ ∈ [0, 1].⢥ত¥¨¥ 14.1. î¡®© ᨬ¯«¥ªá (®âªàëâë© ¨«¨ § ¬ªãâë©) ï¥âáï ¢ë¯ãª«ë¬ ¬®¦¥á⢮¬.®ª § ⥫ìá⢮.
áᬮâਬ, ¯à¨¬¥à, r-¬¥àë© § ¬ªãâë© á¨¬¯«¥ªá S . ãáâìA, B ∈ S ⇒AA A = λ0 A0 + · · · + λr Ar ,B= λB0 A0 + · · · + λBr Ar ,rPi=0rPi=0λAi= 1,λAi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , r,λBi= 1,λBi ≥ 0, i = 0, 1, . . . , r.®£¤ λA +(1 − λ)B=¡¢¡ A¢BBλλA+(1−λ)λA+···+λλ+(1−λ)λ000rr Ar= λ~ 0 A0 + · · · + λ~ r Ar .¥âà㤮 ¢¨¤¥âì, çâ® ¤«ï ª ¦¤®£® λ ∈ [0, 1] ¢ë¯®«ï¥âáï λ~ 0 + · · · + λ~ r = 1, λ~ i ≥ 0,i = 0 , 1, .
. . , r .¥â¢¥à¦¤¥¨¥ 13.2. 10 ¥à¥á¥ç¥¨¥ «î¡®£® ç¨á« ¢ë¯ãª«ëå ¬®¦¥á⢠| ¢ë¯ãªkP«®¥ ¬®¦¥á⢮. 20 ãáâì X1 , . . . , Xk | ¢ë¯ãª«ë¥ ¬®¦¥á⢠. ®£¤ αi Xi ,i=1αi ∈ R, i = 1, . . . , k | ¢ë¯ãª«®¥ ¬®¦¥á⢮.¢S ¡®ª § ⥫ìá⢮. 10 ᫨ ®â१®ª [A, B ] =λA + (1 − λ)B ¯à¨ ¤«¥¦¨âλ∈[0,1]ª ¦¤®¬ã ¨§ ¢ë¯ãª«ëå ¬®¦¥á⢠Xi , â® ¨ [A, B ] ⊂20 ãáâì â®çª kPA∈kPi=1αi Xi ,⮣¤ kPA=kPi=1Tαi uiXi .¤«ï ¥ª®â®àëåui ∈ Xi ;¯ãáâìâ®çª B ∈αi Xi , ⮣¤ B =αi vi ¤«ï ¥ª®â®àëå vi ∈ Xi .
ª ª ª ª ¦¤®¥i=1i=1¬®¦¥á⢮ Xi ¢ë¯ãª«®, â® λui + (1 − λ)vi ∈ Xi ∀λ ∈ [0, 1]. ®£¤ λA + (1 − λ)B=kXk¡¢ Xαi λui + (1 − λ)vi ∈αi Xi .i=1i=1¥4 ¬¥â¨¬, çâ® ¤«ï «î¡ëå ç¨á¥« a, b ¨ ¯à®¨§¢®«ì®£® ¬®¦¥á⢠X ¢á¥£¤ ¢ë¯®«ï¥âáï ¢ª«î票¥(a + b)X ⊆ aX + bX.(13.3)¯à ¦¥¨¥ 13.1.
¡¥¤¨â¥áì ¢ á¯à ¢¥¤«¨¢®á⨠(13.3).⢥ত¥¨¥ 13.3. ãáâìX| ¢ë¯ãª«®¥ ¬®¦¥á⢮,a ≥(a + b)X = aX + bX .®ª § ⥫ìá⢮. ᨫã (13.3) ¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì, çâ®aX0,b ≥0. ®£¤ + bX ⊆ (a + b)X.(13.4) ᫨ a = b = 0, â® (13.4) ®ç¥¢¨¤®, â ª çâ® ¯®« £ ¥¬ a + b > 0. ãáâì c ∈ aX + bX ,⮣¤ c = ax1 + bx2 ¤«ï ¥ª®â®àëå x1 , x2 ∈ X , ⮣¤ c = ax1 + bx2= (a + b)´³ abx1 +x2 ∈ (a + b)Xa+ba+b¢ ᨫ㠢ë¯ãª«®á⨠X .¥¯à¥¤¥«¥¨¥ 13.4. ëà ¦¥¨¥¢ë¯ãª«®© ª®¬¡¨ 樥© â®ç¥ªkPai = 1.kPi=1ai xi , ai ∈ R xi ∈ X ix1 , . . . , xk= 1, .
. . , k, §ë¢ ¥âáאַ¦¥á⢠X , ¥á«¨ ai ≥ 0, i = 1, . . . , k,i=1⢥ত¥¨¥ 13.4. ë¯ãª«®¥ ¬®¦¥á⢮Xᮤ¥à¦¨â «î¡ë¥ ¢ë¯ãª«ë¥ ª®¬-¡¨ 樨 ᢮¨å â®ç¥ª.®ª § ⥫ìá⢮. ¥®¡å®¤¨¬® ¯®ª § âì, çâ® ¤«ï «î¡®£® n ≥ 2 ¨§ ⮣®, çâ®x=nXi=1ai x i ,xi ∈ X, ai ≥ 0,nXi=1ai= 1,á«¥¤ã¥â, çâ® x ∈ A.㤥¬ ¤®ª §ë¢ âì ã⢥ত¥¨¥ 13.4 ¬¥â®¤®¬ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© ¨¤ãªæ¨¨. à¨n = 2 ¬ë ¯®«ãç ¥¬ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ë¯ãª«®£® ¬®¦¥á⢠, ª®¨¬ ¨ ï¥âáï X . ãáâ줫ï n = k ¨áª®¬®¥ ã⢥ত¥¨¥ ¤®ª § ®, ¤®ª ¦¥¬ ¤«ï n = k + 1. ®áâ â®ç®kPà áᬮâà¥âì á«ãç ©, ª®£¤ ai = α > 0.
®£¤ i=1x=k+1Xi=1ai xi=α·k³Xa ´ii=1α® ¨¤ãªæ¨®®¬ã ¯à¥¤¯®«®¦¥¨î x^ã⢥ত¥¨¥ ¤®ª § ® ¤«ï n = k + 1.+ ak+1 xk+1 = αx^ + ak+1 xk+1 .∈ X, â ª ª ªα+ ak+1 = 1, â® ¨áª®¬®¥¥5¯à¥¤¥«¥¨¥ 13.5. ë¯ãª« ï ®¡®«®çª ¬®¦¥á⢠X (®¡®§ ç ¥âáï Conv X ) |¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¢á¥å ¢ë¯ãª«ëå ¬®¦¥áâ¢, ᮤ¥à¦ é¨å X .® ã⢥ত¥¨î 13.2 ¬®¦¥á⢮ Conv X ¢ë¯ãª«®.¥®à¥¬ 13.1. ®¦¥á⢮ Conv X á®á⮨⠨§ â¥å ¨ ⮫쪮 ¨§ â¥å â®ç¥ª,ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ¢ë¯ãª«ë¬¨ ª®¬¡¨ æ¨ï¬¨ ª®¥ç®£® ç¨á« â®ç¥ª ¨§ X .®ª § ⥫ìá⢮. ¡®§ 稬 ᨬ¢®«®¬ Bª® ¬®¦¥á⢮ ¢á¥¢®§¬®¦ëå ¢ë¯ãª«ë媮¬¡¨ 権 â®ç¥ª ¨§ X .
ª ª ª X ⊆ Conv X , â® ¢ ᨫ㠢ë¯ãª«®á⨠¬®¦¥á⢠Conv X ¯® ã⢥ত¥¨î 13.4 ¬ë ¯®«ãç ¥¬, çâ® Bª® ⊆ Conv X .®ª ¦¥¬, çâ® ¬®¦¥á⢮ Bª® ¢ë¯ãª«®. ãáâì b1 , b2 ∈ Bª® . ë ¨¬¥¥¬ b1= b2=mP1i=1mP2i=1ai ui ,ui ∈ X,ci vi ,vi ∈ X,mP1i=1mP2i=1aici= 1,= 1,ai ≥ 0,(13.5)ci ≥ 0.ᯮ«ì§ãï (13.5), ¬ë ¬®¦¥¬ ¯à¥¤áâ ¢¨âì b1 , b2 ¢ á«¥¤ãî饬 ¢¨¤¥ b1mmPPb1i yi , yi ∈ X,b1i = 1, b1i ≥ 0,i=1i=1mmPP b2 =b2i yi , yi ∈ X,b2i = 1, b2i ≥ 0,i=1i=1¡¢£¤¥ m ≤ m1 + m2 , {y1 , . . . , ym } = {u1 , . . . , um1 } ∪ {v1 , . . . , vm2 } .¤«ï «î¡®£® λ ∈ [0, 1] ¬ë ¯®«ãç ¥¬=λb1 + (1 − λ)b2m ¡P=mX¡i=1(13.6)ᯮ«ì§ãï (13.6),¢λb1i + (1 − λ)b2i yi ∈ Bª® ,¢â ª ª ªλb1i + (1 − λ)b2i = 1, λb1i + (1 − λ)b2i ≥ 0.
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®ª § «¨,i=1çâ® ¬®¦¥á⢮ Bª® ¢ë¯ãª«®.§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¬®¦¥á⢠Bª® á«¥¤ã¥â, çâ® X ∈ Bª® , ª ⮬㠦¥ ¬®¦¥á⢮Bª® ¢ë¯ãª«®, ¯®í⮬ã, ãç¨âë¢ ï ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¢ë¯ãª«®© ®¡®«®çª¨, ¬ë ¯®«ãç ¥¬Conv X ⊆ Bª® . ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¤®ª § «¨, çâ® Conv X = Bª® .¥ää¨ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï¯à¥¤¥«¥¨¥ 13.6 ( «¨â¨ç¥áª®¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ä䨮£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï). áᬮâਬ ¯à®áâà á⢮ V ää , n = dim V ää , ¢ ª®â®à®¬ § ¤ ë ¤¢¥ ää¨ë¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â (x1 , . . . , xn ), (~x1 , . . .
, x~n ), ¨¤ãæ¨à®¢ ë¥ á®®â¢¥âá⢥®6९¥à ¬¨ (O, e1 , . . . , en ), (O1 , e~1 , . . . , e~n ). â®¡à ¦¥¨¥ F : V ää → V ää §ë¢ ¥âáï ää¨ë¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥¬ ¯à®áâà á⢠V ää , áá®æ¨¨à®¢ ë¬ á ९¥à ¬¨nP(O, e1 , . . . , en ), (O1 , e~1 , . . . , e~n ), ¥á«¨ ¤«ï ¢á¥å í«¥¬¥â®¢ a ∈ V ää , a = ai ei , ¢ëi=1¯®«ï¥âáïnXF (a) =ai e~i ,i=1â. ¥. ¢ ý®¢®©þ ä䨮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ã ®¡à § F (a) ⥠¦¥ ª®®à¤¨ âë,çâ® ¨ 㠯ம¡à § a. í⮬ á«ãç ¥ ¡ã¤¥¬ £®¢®à¨âì, çâ® ä䨮¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨¥ F : V ää → V ää áá®æ¨¨à®¢ ® á ¤¢ã¬ï ää¨ë¬¨ á¨á⥬ ¬¨ ª®®à¤¨ â(O, e1 , .