L-12-Autmn2017 (Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017)
Описание файла
PDF-файл из архива "Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
â : 22.11.2017 ü12ਬ¥¥¨ï ¢¥ªâ®à®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï10 ®à¬ã« ¤«ï ¢ëç¨á«¥¨ï 㣫 α ¬¥¦¤ã ¯àאַ© ¨ ¯«®áª®áâìî. «ï«î¡ëå âà¥å ¥ª®««¨¥ àëå ¢¥ªâ®à®¢ a, b, c, ¨á室ïé¨å ¨§ ¥ª®â®à®© â®çª¨ M , ¬ë¨¬¥¥¬|P3 (a, b, c)| = |(a, b, c)| = |P2 (a, b)| · h,(12.1)£¤¥ h | ¢ëá®â , ®¯ãé¥ ï ¨§ ª®æ ¢¥ªâ®à c ¯«®áª®áâì, ¯à®å®¤ïéãî ç¥à¥§â®çªã M , âïãâãî ¢¥ªâ®àë a, b.
ç¨âë¢ ï, çâ® h = |c| sin α, ¨§ (12.1) ¬ë¯®«ãç ¥¬|ha ⊗ b, ci||(a, b, c)|=.sin α =|a ⊗ b||c||a ⊗ b||c|20 ®à¬ã« à ááâ®ï¨ï ®â â®çª¨ ¤® ¯àאַ©. ááâ®ï¨¥ ®â â®çª¨ x~ ¤® ¯àאַ© l : x(s) = x0 + as, £¤¥ x0 | ¥ª®â®à ï â®çª ¨§ R3 , a | ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à¯àאַ© l, ¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥â¨à®¢ ®¬ ¯à®áâà á⢥ R3 à ¢®|a ⊗ (~x − x0 )|.|a|(12.2)®à¬ã« (12.2) ¢ëà ¦ ¥â ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , âïã⮣® ¢¥ªâ®àë a,x − x0 , ¤¥«¥ãî ¤«¨ã ®á®¢ ¨ï.30 ®à¬ã« à ááâ®ï¨ï ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï áªà¥é¨¢ î騬¨áï ¯àï¬ë¬¨. ááâ®ï¨¥ ¬¥¦¤ã ¤¢ã¬ï áªà¥é¨¢ î騬¨áï ¯àï¬ë¬¨ x(s) = x~ + as, x(t) = x0 + bt,£¤¥ x~, x0 â®çª¨ ¨§ R3 , a, b | ¯à ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®àë ¯àï¬ëå, ¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥â¨à®¢ ®¬ ¯à®áâà á⢥ R3 à ¢®|(a, b, x~ − x0 )|.|a ⊗ b|(12.3)®à¬ã« (12.3) ¢ëà ¦ ¥â ®¡ê¥¬ ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ , âïã⮣® ¢¥ªâ®àë a, b,x − x0 , ¤¥«¥ë© ¯«®é ¤ì ¥£® ®á®¢ ¨ï.40 ॠ«ì®¥ ⮦¤¥á⢮ ¢ âà¥ã£®«ì¨ª¥.
¯«®áª®á⨠à áᬮâਬ âà¥−−→㣮«ì¨ª 4ABC . ãáâì â®çª D «¥¦¨â ¢ãâਠâà¥ã£®«ì¨ª . ¡®§ 稬 M A = a,−−→−−→M B = b, M C = c. ®ª ¦¥¬, çâ®S (bc) · a + S (ca) · b + S (ab) · c = 0,1 S (ab) | ¯«®é ¤ì 4AM B,S (bc) | ¯«®é ¤ì 4BM C,S (ca) | ¯«®é ¤ì 4CM A.2¥©á⢨⥫ì®, ¬ ¨§¢¥áâ®, çâ® ¯® ⮦¤¥áâ¢ã ª®¡¨ ¢ë¯®«ï¥âáï[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0.(12.4)® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¬ë ¨¬¥¥¬ [b, c] = 2S (bc) · e, [c, a] = 2S (ca) · e, [a, b] = 2S (ab) · e, £¤¥e | ¢¥ªâ®à, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïàë© . ®£¤ ¨§ (12.4) ¬ë ¯®«ãç ¥¬£¤2S (bc) · [a, e] + 2S (ca) · [b, e] + 2S (ab) · [c, e] = 2 S (bc) · a + S (ca) · b + S (ab) · c, e = 0. ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ «î¡®¬ α 6= 0 ãà ¢¥¨¥ [x, α] = 0 ¨¬¥¥â ¢ ª ç¥á⢥ à¥è¥¨ï x ¨«¨¢¥ªâ®à, á® ¯à ¢«¥ë© α, ¨«¨ ã«¥¢®© ¢¥ªâ®à.
ª ª ª ¥ã«¥¢ë¥ ª®¬¯« à륢¥ªâ®àë a, b, c «¥¦ â ¢ ¯«®áª®á⨠, ¯¥à¯¥¤¨ªã«ïன e, â® S (bc) · a + S (ca) · b +S (ab) · c = 0.¶µha, ci ha, di05 ha ⊗ b, c ⊗ di = det hb, ci hb, di .(஢¥àï¥âáï ¥¯®á।á⢥®.)ää¨ë¥ § ¬¥ë ª®®à¤¨ â ¨ ¨å ᢮©á⢠V ää à áᬮâਬ ¤¢¥ á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â | (O, e1 , . . . , en ), (O1 , e~1 , . . . , e~n ). ®£¤ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®© â®çª¨ M ∈ V ää ¬ë ¨¬¥¥¬n−−→ XOM =αi ei ,i=1n−−−→ XO1 M =βi e~i ,i=1£¤¥ (α1 , . .
. , αn ), (β1 , . . . , βn ) | ää¨ë¥ ª®®à¤¨ âë â®çª¨ M ¢ ää¨ëå á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â (O, e1 , . . . , en ), (O1 , e~1 , . . . , e~n ) ᮮ⢥âá⢥®. ª ª ª {e~1 , . . . , e~n } | ¡ §¨á, â® ¬ë ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì e~1= c11 e1 + · · · + c1n en ,(12.5)...e~n = c1 e1 + · · · +cn1 .
âà¨æ C | ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á {e1 , . . . , en }ncnn en . 1c1 . . ....¡®§ 稬 C = c1n . . . cnnª ¡ §¨áã {e~1 , . . . , e~n }. ë ¨¬¥¥¬ det C 6= 0.ëïᨬ ¢§ ¨¬®á¢ï§ì ¬¥¦¤ã (α1 , . . . , αn ),(β1 , . . . , βn ). ãáâì (γ1 , . . . , γn ) | ää¨ë¥ ª®®à¤¨ âë â®çª¨ O1 ¢ á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (O, e1 , . . . , en ). ®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï (12.5), ¬ë ¨¬¥¥¬nXn−−→ −−→ −−−→ Xαj ej = OM = OO1 + O1 M =γj eji=1j =1+nXi=1βi e~i=nXγ j ejj =1nX=j =1+γj ejnXβii=1nX+j =1nXcij ejj =1nXeji=1cij βi ,3®âªã¤ 1c1.. .. = .
+ .αnγnc1nα1γ1...cn1...cnn...β1... ⇔ α = γ + Cβ= Fγ,C (β ),(12.6)βn£¤¥ α = (α1 , . . . , αn ), β = (β1 , . . . , βn ).®à¬ã« (12.6) §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© ä䨮£® ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ( ä䨮©§ ¬¥ë) ª®®à¤¨ â ¢ V ää . â®¡à ¦¥¨¥ Fγ,C ®¯à¥¤¥«ï¥â ¯¥à¥å®¤ ®â ( ää¨ëå)ª®®à¤¨ â(β1 , . . . , βn ) ª ( ää¨ë¬) ª®®à¤¨ â ¬(α1 , . . . , αn ). 1n11c~1 . . .
c~1 e1 = c~1 e~1 + · · · + c~n e~n ,...e=e 6= 0,ãáâì...C . ë ¨¬¥¥¬ det Ce~n = c~n1 e~1 + · · · + c~nn e~n ,c~1n . . . c~nne~i= ci1 e1 + · · · + cin en = ci1 (~c11 e~1 + · · · + c~1n e~n ) + · · · + cin (~cn1 e~1 + · · · + c~nn e~n )= e~1nXj =1~ + · · · + e~ncij cj1nXj =1cij c~jn ,i = 1, . . . , n.(12.7)e = E , £¤¥ E | ¥¤¨¨ç¥á«®¦® § ¬¥â¨âì, çâ® (12.7) íª¢¨¢ «¥â® ⮦¤¥áâ¢ã CC ï ¬ âà¨æ . ®¥ ⮦¤¥á⢮ £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á e = C −1 .{e~1 , . . . , e~n } ª ¡ §¨áã {e1 , . . .
, en } ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¬ âà¨æë C®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï (12.6), ¬ë ¯®«ãç ¥¬ 1c1c1n......cn1cnn à α1 γ1 !β1.. ... − . = . .αnγn 1c~ . . .β1γ~1 1 .. ...⇔ . = .. + .βnc~1n . . .γ~n...−1 1c1−c1n... γ~1 ...£¤¥ .. =....γ~ne e~1 , .
. . , e~n ).¤¨ â (O,cn1−1 cnnγ1....βnc~n1 α1 .. . =βαnc~nne = Fe (α),= γ~ + Cαe,γ~C| ª®®à¤¨ âë â®çª¨ O ¢ á¨á⥬¥ ª®®à-γn¢®©á⢮ 12.1. â®¡à ¦¥¨¥ Fγ,C : Rn → Rn ï¥âáï ¡¨¥ªæ¨¥©.®ª § ⥫ìá⢮. ë⥪ ¥â ¨§ ⮣®, çâ® det C 6= 0. ¥©á⢨⥫ì®, ¯ãáâìCα = β − γ= Cα0 ,α 6= α0 ⇒ C (α − α0 ) = 0 ⇒ α − α0= 0,4¨ ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥.¥¢®©á⢮ 12.2.
áᬮâਬ ¯à®áâà á⢮ V ää ¨ ¥ª®â®àë¥ â®çª¨ A, B, K, L ∈V ää ,â ª¨¥, çâ® ¢ë¯®«ï¥âáï−→−→AB = λKL,(12.8)λ ∈ R,¢ ¥ª®â®à®© ä䨮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â. ®£¤ ⮦¤¥á⢮ (12.8) ¥ § ¢¨á¨â®â ¢ë¡®à ä䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â ¢ V ää .®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ¥ª®â®à®© ä䨮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â (O, e1 , . . . , en ) ª®®à¤¨ âë â®ç¥ª A, B, K, L à ¢ë a, b, k, l ᮮ⢥âá⢥®. § (12.8) á«¥¤ã¥â, çâ®(b − a) = λ(l − k).e e~1 , . . . , e~n ) V ää , áᬮâਬ «î¡ãî ¤àã£ãî ää¨ãî á¨á⥬㠪®®à¤¨ â (O,~ ~l | ª®®à¤¨ âë â®ç¥ª A, B, K, L ®â®á¨â¥«ì® (O,e e~1 , . . . , e~n ) ᮮ⨠¯ãáâì a~, ~b, k,¢¥âá⢥®.
ᯮ«ì§ãï ä®à¬ã«ã (12.6), ¬ë ¯®«ãç ¥¬C (~b − a~) = (b − a) = λ(l − k) = λC · (~l − k~) ⇒ (~b − a~) = λ(~l − k~)¥«¥¤á⢨¥ 12.1. ®çª −→¤¥«¨â ¯à ¢«¥ë© ®â१®ª AB ¢ ®¤®¬ ¨â®¬ ¦¥ ®â®è¥¨¨ λ ¢¥ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¢ë¡®à ä䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ ⢠V ää .M ∈ V ä䢮©á⢮ 12.3. ¨¥© ï § ¢¨á¨¬®áâì ¨ «¨¥© ï ¥§ ¢¨á¨¬®á⨠¢¥ªâ®à®¢ ¥§ ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ä䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â V ää .®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì, ¯à¨¬¥à, ¢ ¥ª®â®à®© ä䨮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â ¬ëkP−−→ãáâ ®¢¨«¨, çâ® ¢¥ªâ®àë Ai Bi , i = 1, . . . , k, «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë, â.
¥.λi (bi −i=1ai ) 6= 0 ¤«ï «î¡ëå λi , i = 1, . . . , k , ¥ à ¢ëå ã«î ®¤®¢à¥¬¥®, £¤¥ ai , bi ,i = 1, . . . , k , | ª®®à¤¨ âë â®ç¥ª Ai , Bi , i = 1, . . . , k , ᮮ⢥âá⢥®. ãáâì ¢«î¡®© ¤à㣮© ä䨮© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨ â â®çª¨ Ai , Bi , i = 1, . . . , k, ᮮ⢥âá⢥® ¨¬¥îâ ª®®à¤¨ âë a~i , ~bi , i = 1, .
. . , k, ®¤ ª® ¯à¨ í⮬ 諨áì ¥ à ¢ë¥kP®¤®¢à¥¬¥® ç¨á« λ~ i , i = 1, . . . , k, â ª¨¥, çâ® λ~ i (~bi − a~i ) = 0. ®£¤ , ¨á¯®«ì§ãïi=1ä®à¬ã«ã (12.6), ¬ë ¯®«ãç ¥¬0=C ·0=C ·ç⮠ï¥âáï ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥¬.k¡Xi=1~ i (~bi − a~i )¢ =λkXi=1~ i (bi − ai ),λ¥5«¥¤á⢨¥ 12.2. §¬¥à®áâì ää¨ëå ¯®¤¯à®áâà á⢠¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à ä䨮© á¨áâ¥¬ë ª®®à¤¨ â.à⮣® «ìë¥ ¬ âà¨æë¯à¥¤¥«¥¨¥ 12.1. (n × n)-¬ âà¨æ A §ë¢ ¥âáï ®à⮣® «ì®©, ¥á«¨hAx, Axi = hx, xi,¡®§ 稬A=eia11...a 1n......x ∈ Rn .an1,ann| ¢¥ªâ®à á⮫¡¥æ, ã ª®â®à®£® i-¬ ¬¥á⥠á⮨â 1, ®áâ «ìëå ¬¥áâ å áâ®ïâ 0.¥®à¥¬ 12.1.
10 âà¨æ A ®à⮣® «ì ⇔ 20 á⮫¡æë ¬ âà¨æë A ®à⮮ନ஢ ë ⇔ 30 A A = Eë.®ª § ⥫ìá⢮.(10 ⇒ 20 ) ë ¨¬¥¥¬⇔ 40 A−11 = hei , ei i = hAei , Aei i =nXj =1= A 50 áâப¨ ¬ âà¨æë A ®à⮮ନ஢ -a2ij ,0 = hei , ej i = hAei , Aej i =nXk=1aik ajk .(10 ⇐ 20 ) à⮮ନ஢ ®áâì á⮫¡æ®¢ ¬ âà¨æë A ¬®¦® § ¯¨á âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬ hAei , Aej i = δij . ®£¤ ¬ë ¨¬¥¥¬hAx, Axi =nDXi=1xi Aei ,nXj =1Exi Aej=nXi,j =1xi xj hAei , Aej i = hx, xi.(20 ⇔ 30 ) 祢¨¤®.(30 ⇒ 40 ) A A = E ⇒ det A = ±1 ⇒ ∃A−1 .(30 ⇐ 40 ) 祢¨¤®.(40 ⇔ 50 ) ®áâ â®ç® § ¬¥â¨âì, çâ® ¯.
40 íª¢¨¢ «¥â¥ ⮦¤¥áâ¢ãª®â®à®¥, ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì, íª¢¨¢ «¥â® ¯. 50 .AA= E,¥«¥¤á⢨¥ 12.3. ãáâì A | ®à⮣® «ì ï ¬ âà¨æ . ®£¤ det A = ±1.®ª § ⥫ìá⢮ ¢ë⥪ ¥â ¨§ ¯. 30 .¡®§ 票¥ 12.1.O(n)¥| ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å ®à⮣® «ìëå (n × n)-¬ âà¨æ,SO(n) | ᮢ®ªã¯®áâì ¢á¥å ®à⮣® «ìëå (n × n)-¬ âà¨æ â ª¨å, çâ® ¨å ¤¥â¥à¬¨ â à ¢¥ 1.6 âà¨æë ¨§ SO(n) ¥é¥ §ë¢ îâ ᮡá⢥묨, ¬ âà¨æë ¨§ O(n) â ª¨¥, çâ®¨å ¤¥â¥à¬¨ â à ¢¥ −1 | ¥á®¡á⢥묨.¯à ¦¥¨¥ 12.1.O(n), SO(n)| £à㯯ë, ¢ ª®â®àëå à®«ì ¥¤¨¨æë ¨£à ¥â¥¤¨¨ç ï ¬ âà¨æ E , £à㯯®¢ ï ®¯¥à æ¨ï | 㬮¦¥¨¥ ¬ âà¨æ. áᬮâਬ á¨âã æ¨î, ª®£¤ V ää ï¥âáï ¥¢ª«¨¤®¢ë¬ ¯à®áâà á⢮¬ E á®áª «ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ (· ; ·), ¯à¨ç¥¬ ¢¥ªâ®àë e1 , .
. . , en ®à⮮ନ஢ ë ®â®á¨â¥«ì® ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï (· ; ·). í⮬ á«ãç ¥ á¨á⥬㠪®®à¤¨ â, ¨¤ãæ¨à®¢ ãî ९¥à®¬ (O, e1 , . . . , en ) ¬ë ¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¯àאַ㣮«ì®©. ¬¨¡ë«® ãáâ ®¢«¥®, çâ® «î¡®¥ n-¬¥à®¥ ¥¢ª«¨¤®¢® ¯à®áâà á⢮ E ¨§®¬®àä® áâ ¤ à⮬㠯à®áâà áâ¢ã Rn á® áâ ¤ àâë¬ áª «ïàë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ h· ; ·i, ¯®í⮬㠤 «¥¥ ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ¢ ª ç¥á⢥ E ¨¬¥® áâ ¤ à⮥ ¥¢ª«¨¤®¢®¯à®áâà á⢮ Rn , ¢ ª ç¥á⢥ ei , i = 1, . . . , n, | ¢¥ªâ®à-á⮫¡¥æ, i-¬ ¬¥á⥠ªª®â®à®£® à ᯮ«®¦¥® ç¨á«® 1, ®áâ «ìëå ¬¥áâ å á⮨â 0.।¯®«®¦¨¬, çâ® ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ C ®â ¡ §¨á e1 , . .
. , en ª ¡ §¨áã e~1 , . . . , e~nï¥âáï ®à⮣® «ì®©. ® ⥮६¥ 12.1 ¢¥ªâ®àë {e~1 , . . . , e~n } ®à⮮ନ஢ ë®â®á¨â¥«ì® h· ; ·i.ãáâì h· ; ·ie~ | áâ ¤ à⮥ ᪠«ï஥¯à®¨§¢¥¤¥¨¥, ¨¤ãæ¨à®¢ ®¥¢¥ªâ®à qq−→−→ −→ −→−→ −→¬¨ e~1 , . . . , e~n . ¡®§ 稬 |AB|e = hAB, ABi, |AB|e~ = hAB, ABie~ ∀A, B ∈ E . áᬮâਬ ¯àאַ㣮«ìë¥ ª®®à¤¨ âë (x1 , . .
. , xn ), (x1 , . . . , xn ), ᮮ⢥âá⢥®e e~1 , . . . , e~n ).¨¤ãæ¨à®¢ ë¥ à¥¯¥à ¬¨ (O, e1 , . . . , en ), (O,→−→−→ −−→−→ −−→¢®©á⢮ 12.4. |−AB|e = |AB|e~, hAB, AW i = hAB, AW ie~ ∀A, B, W ∈ E .®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì â®çª¨ A ¨ B ¨¬¥îâ ¢ á¨á⥬ å ª®®à¤¨ â (x1 , . . . , xn ) ¨(x1 , . . . , xn ) ᮮ⢥âá⢥® ª®®à¤¨ âë a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ) ¨ a =−→(a1 , . . . , an ), b = (b1 , .