L-10-Autmn2017 (Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017)
Описание файла
PDF-файл из архива "Лекции (9-16) Грешнов Осень 2017", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГУ, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
ü10 â : 08.11.2017®à¬ã« ®¡ê¥¬ k-¬¥à®£® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ ¢ n-¬¥à®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥¥®à¥¬ 10.1 (®¡ê¥¬ k-¬¥à®£® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ ).|Pk (a1 , . . . , ak )|2= det (a1 , a1 )...(a1 , ak )(ak , a1 )...(ak , ak )....®ª § ⥫ìá⢮ ¯à®¢¥¤¥¬ ¯® ¨¤ãªæ¨¨.k = 1. |a1 |2 = (a1 , a1 ).ãáâì á«ãç © (k − 1) ¤®ª § . ®ª ¦¥¬ á«ãç © k. ᯮ«ì§ãï ⥮६㠮 ¯ à ««¥«ì®¬ ¯à®¥ªâ¨à®¢ ¨¨, ¬ë ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì=akk−X1i=1(ai , a⊥k ) = 0, i = 1, .
. . , k − 1.µi ai + a⊥k,®£¤ , ¨á¯®«ì§ãï ᢮©á⢠®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ¨ ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ¬ë ¯®«ãç ¥¬det (a1 , a1 )......(a1 , ak )) =k−X1µi det (a1 , a1 )......(a1 , ai )i=1(ak , a1 ) . . . (ak , ai )(ak , a1 ) . . . (ak , ak ) (a , a )...(a1 , ak−1 )0 1 1...... ...... = |Pk−1 (a1 , . . .
, ak−1 )|2 |a⊥k |2+ det (ak−1 , a1 ) . . . (ak−1 , ak−1 )0 (ak , a1 ) . . . (ak , ak−1 ) (a⊥k , a⊥k )¯¯= ¯Pk (a1 , . . . , ak )¯2 .¥«¥¤á⢨¥ 10.1. «®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , âïã⮣® ¢¥ªâ®àë a, b áâ ¤ à⮣® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà á⢠Rn , n ≥ 2, à ¢ sµdetha, aihb, aiha, bihb, bi¶.(10.1) ç áâ®áâ¨, ¯«®é ¤ì ¯ à ««¥«®£à ¬¬ , âïã⮣® ¢¥ªâ®àë a = (a1 , a2 , a3 ),b = (b1 , b2 , b3 ), ¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ R3 à ¢ p(a2 b3 − a3 b2 )2 + (a3 b1 − a1 b3 )2 + (a1 b2 − a2 b1 )2 .1(10.2)2®ª § ⥫ìá⢮. ®à¬ã« (10.2) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥ ¨§ ä®à¬ã«ë (10.1) ¥¯®á।á⢥®.¥¥®à¥¬ 10.2. ¡ê¥¬ |Pk (a1 , a2 , .
. . , ak )| ¥ k-¬¥à®£® ¯ à ««¥«¥¯¨¯¥¤ ¢ n-¬¥à®¬¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ § ¢¨á¨â ®â ¯®à浪 ¢¥ªâ®à®¢ a1 , a2 , . . . , ak .®ª § ⥫ìá⢮. ë ¬®¦¥¬ ¨â¥à¯à¥â¨à®¢ âì ¢¥«¨ç¨ã |Pk (a1 , . . . , ak )|2 á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬. áᬮâਬ ª¢ ¤à âãî ¬ âà¨æã det AT A, £¤¥ A | ¯àאַ㣮«ì ï¬ âà¨æ , á⮫¡æë ª®â®à®© | ª®®à¤¨ âë ¢¥ªâ®à®¢ a1 , . . . , ak , ¯à¨ ¤«¥¦ é¨å n¬¥à®¬ã ¥¢ª«¨¤®¢®¬ã ¯à®áâà áâ¢ã.
®£¤ AT A = (a1 , a1 )...(a1 , ak )(ak , a1 )...(ak , ak )....¥à¥áâ ¢¨¬ ¤¢ á®á¥¤¨å á⮫¡æ ¬ âà¨æë A, ¯à¨¬¥à, ¯¥à¢ë© ¨ ¢â®à®©, ¯®«ã稬¬ âà¨æã A~, ¨ ¬ë ¨¬¥¥¬ (a , a )2 2(a 1 , a2 )A~T A~ = (a2 , a1 )(a1 , a1 )...(ak , a2 ) (ak , a1 )......(a2 , ak ) (a1 , ak ) ...(ak , ak );det A~T A~ = |Pk (a2 , a1 , .
. . , ak )|2 .®ïâ®, çâ® |Pk (a2 , a1 , . . . , ak )| = |Pk (a1 , a2 , . . . , ak )|. ª ª ª ¯¥à¥áâ ®¢ª®© á®á¥¤¨å á⮫¡æ®¢ ¢ ¬ âà¨æ¥ A ¬ë ¬®¦¥¬ ¯®«ãç¨âì «î¡®© ¯®à冷ª ¢¥ªâ®à®¢ ¢|Pk (a1 , a2 , . . . , ak )|, ⮠⥮६ 10.2 ¤®ª § .¥ âà¨æ à ¬ ¨ ¥¥ ᢮©á⢠¯à¥¤¥«¥¨¥ 10.1. ãáâì a = {a1 , . . . , ak } | ¥ª®â®àë© ¡®à ¢¥ªâ®à®¢ ¥¢ª«¨¤®-¢ ¯à®áâà á⢠(V, (·, ·)). âà¨æ¥© à ¬ á¨áâ¥¬ë ¢¥ªâ®à®¢ a §ë¢ ¥âáï (k ×k)¬ âà¨æ (a1 , a1 ) . . . (a1 , ak ).Ga = ...(ak , a1 ) .
. . (ak , ak )¢®©á⢮ 10.1. 10 âà¨æ ᨬ¬¥âà¨ç¥áª ï, 20 ¬ âà¨æ Ga ¥®âà¨æ â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ ï, 30 ¥á«¨ {a1 , . . . , ak } «¨¥©® ¥§ ¢¨á¨¬ë, â® ¬ âà¨æ Ga¯®«®¦¨â¥«ì® ®¯à¥¤¥«¥ ï.Ga®ª § ⥫ìá⢮. 10 ¢ë⥪ ¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨© ¬ âà¨æë à ¬ ¨ ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï. 20 ® ®¯à¥¤¥«¥¨î (k × k)-¬ âà¨æ A §ë¢ ¥âáï ¥®âà¨æ â¥«ì® (¯®«®¦¨â¥«ì®) ®¯à¥¤¥«¥®©, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¢¥ªâ®à «î¡®£® ¢¥ªâ®à u ∈ Rk ¬ë3¨¬¥¥¬ (Au, u) = u Au ≥ 0(> 0).
á«ãç ¥ A = Ga , ¨á¯®«ì§ãï «¨¥©®áâì ᪠«ïண® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ¬ë ¯®«ãç ¥¬u Ga u =k³Xi=1ui ai ,kXi=130 ᨫ㠫¨¥©®© ¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨u ∈ Rkâ ª®£®, çâ®kPi=1ui ai´ui ai ≥ 0,{a1 , . . . , ak }u = (u1 , . . . , uk ).(10.3)¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¥ã«¥¢®£® ¢¥ªâ®à = 0, á¬. (10.3).¥¢®©á⢮ 10.2. ãáâì a1 , . . . , ak | ¥ã«¥¢ë¥ ¢¥ªâ®àë. ®£¤ : ¢¥ªâ®àë a1 , . . . , ak«¨¥©® § ¢¨á¨¬ë ⇐⇒ det Ga = 0.®ª § ⥫ìá⢮.
(⇒) ç¨âë¢ ï ⥮६ã 10.2, ¤®áâ â®ç® à áᬮâà¥âì á«ãç © ak ∈L(a1 , . . . , ak−1 ). ®£¤ a⊥k= 0 ⇒ |Pk (a1 , . . . , ak )| = 0 ⇔ det Ga = 0.(⇐)0=pdet G(a1 , . . . , ak ) = |Pk−1 (a1 , . . . , ak−1 )||a⊥k |⇒¨«¨ |Pk−1 (a1 , . . . , ak−1 )| = 0, ¨«¨ |a⊥k | = 0. ᫨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¢â®à ï ¢®§¬®¦®áâì, â® ¢á¥ ¤®ª § ®, ¥á«¨ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯¥à¢ §¬®¦®áâì, â®0 = |Pk−1 (a1 , . . . , ak−1 )| = |Pk−2 (P, a1 , . . . , ak−2 )||a⊥k−1 |,¨ â. ¤. ©¤¥âáï i â ª®¥, çâ® |Pi (P, a1 , . . . , ai )| 6= 0 ⇒ a1 , . . . , ai+1 «¨¥©® § ¢¨á¨¬ë.¥£®« ¬¥¦¤ã ¯¥à¥á¥ª î騬¨áï (£¨¯¥à)¯«®áª®áâﬨ¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥â¨à®¢ ®¬ ¯à®áâà á⢥ Rnãáâì ¤ ë ¤¢¥ ¯¥à¥á¥ª î騥áï £¨¯¥à¯«®áª®á⨠¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®e :Ae1 x1 + · · · + Aen xn + De = 0. áâà á⢥ Rn : : A1 x1 + · · · + An xn + D = 0, 㣮« ¬¥¦¤ã í⨬¨ £¨¯¥à¯«®áª®áâﬨ ¯à¨¨¬ ¥âáï 㣮« ϕ ¬¥¦¤ã «î¡ë¬¨ ®à¬ «ï¬¨ ª í⨬ £¨¯¥à¯«®áª®áâï¬.
ª¨¬ ®¡à §®¬, ¬ë ¯®«ã稬 ¤¢ 㣫 (®áâàë© ¨â㯮©), ¥á«¨ ®à¬ «¨ ¥ ®à⮣® «ìë ¤à㣠¤àã£ã. áᬮâਬ ý¢¥è¨¥þ ®à¬ «¨ (A1 , . . . , An ), (Ae1 , . . . , Aen ). ®á¨ãá 㣫 ϕ ¬¥¦¤ã ¨¬¨ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï, á«¥¤ãï®¡é¥¬ã ¯à ¢¨«ã, ¨§ ä®à¬ã«ëcos ϕ =e1 + · · · + An AenA1 Aq.2222eeA1 + · · · + An A1 + · · · + Anp4e â㯮©, á«ãç ¥ cos ϕ < á«ãç ¥ cos ϕ > 0 㣮« ϕ > 0 ¬¥¦¤ã £¨¯¥à¯«®áª®áâﬨ , 0 | ®áâàë©.£®« ¬¥¦¤ã ¯¥à¥á¥ª î騬¨áï ¯àאַ© ¨ ¯«®áª®áâìî¢ áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ®à¨¥â¨à®¢ ®¬ ¯à®áâà á⢥ R3 áâ ¤ à⮬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà á⢥ R3 㣮« ¬¥¦¤ã ¯àאַ© l ¨ ¯«®áª®áâì ®¯à¥¤¥«¥¨î ¥áâì 㣮« ¬¥¦¤ã l ¨ ¥¥ ®à⮣® «ì®© ¯à®¥ªæ¨¥© ¯«®áª®áâì(çâ®, ª®¥ç®, ¤ ¥â 2 㣫 ϕ1 | ®áâàë©, ¨ ¤®¯®«ïî騩 ¥£® ¤® π â㯮© ϕ2 ).
ãáâì(a, b, c) | ¯à ¢«ïî騩 ¢¥ªâ®à ¯àאַ© l ¨ Ax + By + Cz + D = 0 | ãà ¢¥¨¥¯«®áª®á⨠, M = l ∩ . ¨¬¢®«®¬ ~l ®¡®§ 稬 ¯àï¬ãî á ¯à ¢«ïî騬 ¢¥ªâ®à®¬n = (A, B, C ) â ªãî, çâ® M ∈ ~l.ãáâì l1 | ¯àï¬ ï, ª®â®à ï ¯®«ãç ¥âáï ª ª ¯¥à¥á¥ç¥¨¥ ¯«®áª®á⨠Ax + By +Cz + D = 0 á ¯«®áª®áâìî 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 â ª®©, çâ® l, ~l ⊂ 1 ; ®â¬¥â¨¬,çâ® ¯àï¬ ï l1 ª ª à § ¨ ï¥âáï ®à⮣® «ì®© ¯à®¥ªæ¨¥© ¯àאַ© l ¯«®áª®áâì.
¯à¥¤¥«¨¬ á¨ãá 㣫 ϕ ®â ¯àאַ© l1 ¤® ¯àאַ© l ®¦® áç¨â âì, çâ® ϕ ≤ π2 ,¯®â®¬ã çâ® á¨ãáë ᬥ¦ëå 㣫®¢ à ¢ë. ®£¤ ¯®ïâ®, ç⮠㣮« π2 − ϕ ¡ã¤¥â㣫®¬ ¬¥¦¤ã ¯àï¬ë¬¨ l, ~l. ë ¨¬¥¥¬πaA + bB + cCcos( − ϕ) = √ 2 2 2 √ 22a + b + c A + B2 + C 2|aA + bB + cC|√⇒ sin ϕ1 = sin ϕ2 = √.a2 + b2 + c2 A2 + B 2 + C 2¤®¨¬¥ë¥ ¡ §¨áë ¨ ®à¨¥â æ¨ï ¯à®áâà á⢠¯à¥¤¥«¥¨¥ 10.2. §¨áë {e1 , . . . , en }, {e~1 , . . . , e~n },e~1= c11 e1 + · · · + c1n en ,...e~n= cn1 e1 + · · · + cnn en®¤®£® ¨ ⮣® ¦¥ ¢.
¯.V , dim V = n, §ë¢ îâáï ®¤®¨¬¥ë¬¨, ¥á«¨ det C > 0, £¤¥¬ âà¨æ C=c11...cn1c1n...cnn... §ë¢ ¥âáï ¬ âà¨æ¥© ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á {e1 , . . . , en } ª ¡ §¨áã {e~1 , . . . , e~n }; ¢ á«ãç ¥det C < 0 ¡ §¨áë {e1 , . . . , en }, {e~1 , . . . , e~n } §ë¢ îâáï à §®¨¬¥ë¬¨. ¬¥ç ¨¥ 10.1. ᥣ¤ det C 6= 0; ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¬ë ¡ë ¯®«ã稫¨ «¨¥©ãî§ ¢¨á¨¬®áâì ¢¥ªâ®à®¢ {e~1 , . . . , e~n }.5¯à¥¤¥«¥¨¥ 10.3. ®¢®ªã¯®á⨠®¤®¨¬¥ëå ¡ §¨á®¢ (ª®®à¤¨ âëå á¨á⥬) §ë¢ îâáï ®à¨¥â æ¨ï¬¨ ¢. ¯.V.¢®©á⢮ 10.2.
¤®¨¬¥®áâì ¡ §¨á®¢ | íâ® ®â®è¥¨¥ íª¢¨¢ «¥â®áâ¨.®ª § ⥫ìá⢮. 10 (à¥ä«¥ªá¨¢®áâì). î¡®© ¡ §¨á ®¤®¨¬¥¥ á ¬ á ᮡ®î, ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ §¤¥áì | ⮦¤¥á⢥ ï ¬ âà¨æ á ®¯à¥¤¥«¨â¥«¥¬, à ¢ë¬ 1.20 (ᨬ¬¥âà¨ç®áâì). ᫨ C | ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á {e1 , .
. . , en } ª ¡ §¨áãe = C −1 | ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á {e1 , . . . , en } ª{e~1 , . . . , e~n }, ¨ det C > 0, â® C¡ §¨áã {e~1 , . . . , e~n }, ¨ det Ce > 0. ¥©á⢨⥫ì®, â ª ª ª {e~1 , . . . , e~n } | ¡ §¨á, â®¬ë ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì11 e1 = c~1 e~1 + · · · + c~n e~n ,...en = c~n1 e~1 + · · · + c~nn e~n .c~n1e 6= . ë ¨¬¥¥¬, çâ® det C¡®§ 稬®£¤ e~ieC= 1c~1c~1n.........c~nn0, á¬.
§ ¬¥ç ¨¥ 10.1.= ci1 e1 + · · · + cin en = ci1 (~c11 e~1 + · · · + c~1n e~n ) + · · · + cin (~cn1 e~1 + · · · + c~nn e~n )= e~1nXj =1~ + · · · + e~ncij cj1nXj =1cij c~jn ,i = 1, . . . , n.(10.4)e = E , £¤¥ E | ¥¤¨¨ç¥á«®¦® § ¬¥â¨âì, çâ® (10.4) íª¢¨¢ «¥â® ⮦¤¥áâ¢ã CC ï ¬ âà¨æ . ®¥ ⮦¤¥á⢮ £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® ¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á e = C −1 .{e~1 , . . . , e~n } ª ¡ §¨áã {e1 , .
. . , en } ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯à¨ ¯®¬®é¨ ¬ âà¨æë C30 (âà §¨â¨¢®áâì). ᫨ ¡ §¨á {e~1 , . . . , e~n } ®¤®¨¬¥¥ á ¡ §¨á®¬ {e1 , . . . , en }(¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ A, det A > 0), ¡ §¨á {e1 , . . . , en } ®¤®¨¬¥¥ á ¡ §¨á®¬ {e^1 , . . . , e^n }(¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ B , det B > 0), â® {e~1 , . .
. , e~n } ®¤®¨¬¥¥ á ¡ §¨á®¬ {e^1 , . . . , e^n }(¬ âà¨æ ¯¥à¥å®¤ AB , det AB = det A det B > 0).¥®ïâ®, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ ⮫쪮 ¤¢¥ ®à¨¥â 樨: ¡ §¨áë, ¯à¨ ¤«¥¦ 騥®¤®© ®à¨¥â 樨, ®¤®¨¬¥ë, à §ë¬ | à §®¨¬¥ë.¡ëç® ¯à¨å®¤¨âáï ®¯à¥¤¥«ïâì ®¤®¨¬¥®áâì ¨«¨ à §®¨¬¥®áâì ¡ §¨á®¢{a1 , . . .
, an },{b1 , . . . , bn },¢¥ªâ®àë ª®â®àëå § ¤ ë ¨å ª®®à¤¨ â ¬¨ ¢ ¥ª®â®à®¬ âà¥â쥬 (ª ®¨ç¥áª®¬)¡ §¨á¥ {e1 , . . . , en }. ãáâì A, B | ¬ âà¨æë ¯¥à¥å®¤ ®â ¡ §¨á {e1 , . . . , en } ª ¡ §¨á ¬ {a1 , . . . , an }, {b1 , . . . , bn } ᮮ⢥âá⢥®. ¤ ®© á¨âã 樨 ®à¨¥â æ¨ï ¨®¤®¨¬¥®áâì ¡ §¨á®¢ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬.6¯à¥¤¥«¥¨¥ 10.4. §¨á {a1 , . . .
, an } ¯®«®¦¨â¥«ì® (®âà¨æ ⥫ì®) ®à¨¥â¨à®-¢ ⇔ det A > 0 (det A < 0).¯à¥¤¥«¥¨¥ 10.5. §¨áë {a1 , . . . , an }, {b1 , . . . , bn } ®¤®¨¬¥ë (à §®¨¬¥ë)⇔det A det B > 0 (det A det B < 0).⬥⨬, çâ® ¢ á¨âã 樨 ¢ë¡®à ª ®¨ç¥áª®£® ¡ §¨á {e1 , . . . , en } á ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© â®çª¨ §à¥¨ï áãé¥áâ¢ã¥â ¯à®¨§¢®«. ª, ¯à¨¬¥à, ¢¥é¥á⢥®© ¯àאַ©¢ë¡®à ®à¨¥â 樨 | íâ® ¢ë¡®à ®¤®£® ¨§ ¤¢ãå ¢®§¬®¦ëå ¯à ¢«¥¨© ¤¢¨¦¥¨ï(®¡ëç® ¯®«®¦¨â¥«ì®¥ | ¤¢¨¦¥¨¥ á«¥¢ ¯à ¢®); ¢ áâ ¤ à⮩ ¥¢ª«¨¤®¢®©¯«®áª®á⨠R2 ª ®¨ç¥áª¨© ¡ §¨á e1 , e2 | íâ® â ª®© ¡ §¨á, çâ®, ¡ã¤ãç¨ ¯à¨«®¦¥ë¬¨ ª ®¤®© â®çª¥, ¯ã⥬ ¯®¢®à®â ¯à®â¨¢ ç ᮢ®© áâ५ª¨ ¯® ªà âç ©è¥¬ã ¯ãâ¨¬ë ¬®¦¥¬ ᮢ¬¥áâ¨âì ¢¥ªâ®à e1 á ¢¥ªâ®à®¬ e2 .